探究一道题证明思路的教学设计

【摘  要】  探究平面几何证明题证明思路的思维活动过程的主要依靠在于，通过不断地赋予条件或结论以意义，终究能够找到集中条件与条件之间或条件与结论之间的关系，从而架设起从条件过渡到结论的桥梁.从这种赋予意义、集中条件与架设桥梁的心理活动过程中，萌生合适的探究平面几何证明题证明思路的方法，由此，解题主体形成了特定的认知方式.在教学设计及课堂实施中，教师应该通过平衡赋予意义、集中条件与架设桥梁三者之间的关系，选择启发学生使用合适的认知方式进行教学活动，实现教学目标.【关键词】  探究;证明思路；教学设计；赋予意义；认知方式

在探究平面几何证明题证明思路时，其基本策略就是赋予题设条件信息或题断结论信息以意义的过程.那么，关于条件信息或结论信息的意义来源于何处呢？这就是探究证明思路的主体已经掌握了的知识（例如，几何概念、公理、定理、性质、法则等），也就是说，将几何证明题所提供的条件或结论转化为已经通过平面几何课程内容的学习而得到的那些具体几何知识（例如，“一个封闭图形的面积等于其内部所有分割图形面积之和”这一公理，勾股定理，相似三角形的判定与性质定理等），这种“赋予”条件信息或结论信息意义的过程，就是探究平面几何证明题思维活动过程的主要体现.现在，举一道探究平面几何证明题证明思路的课堂教学的例子加以必要说明.

例1［1］  如图1，矩形ABCD中，点E是CD边上的中点，连结AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H.已知AB＝2a，AD＝b，求证：BH=2aba2+b2.

关于探究这道题的证明思路的思维活动过程，笔者通过认真地解题（解题教学准备工作中的教材分析就是仔细解题，竭尽所能探究出所有的解题途径.当然，这项要求大多数时候是难以实现的，不过教师应该设法得到几种典型的解法）认识到，在两种不同观念指令下，发现了探究证明思路活动的心理过程所萌生出的两种方法：“面积守恒法”与“三点定形法”.现将依据这两种方法的教学设计及课堂实施活动过程实录在这里，请同行教导与斧正.1  依据萌生“面积守恒法”的教学设计及课堂实施

这道题的总体条件就是矩形ABCD下的已知矩形的长与宽的具体度量值分别是2a与b，求线段BH关于以a与b为基本量的形式表达式.通过分析认识到，这里存在着一个关于矩形ABCD的面积不变量，或称之为“面积守恒”.在这种“面积守恒”中，隐含着度量线段BH长度量的一个等式，这个等式很可能决定一条证明思路，故称之为“面积守恒法”.探究证明思路的教学设计及课堂实施就是帮助学生通过不断地赋予条件信息或结论信息以意义，能够萌生“面积守恒法”的心理活动过程.

师：记所要证明的结论式BH=2aba2+b2为①，如何找到等式①的证明思路呢？

生：……（省略号表示学生思维暂时中断，下同）

师：为了叫出似曾相识的人的名字，我们会认真仔细瞅瞅这个人的脸面面貌，考察其面容的最主要的特点，从面容特点中联想或恢复叫出这个名字的记忆.大家能够说一说所要证明的结论①这个式子中的元素，如2ab，a2+b2，BH在这个图1中各表示的意义吗？  图2

生1：我发现，由于CD＝AB＝2a，点E是CD边上的中点，从而知道DE＝a，AD＝b，于是在Rt△DAE中，由勾股定理，知AE＝a2+b2②，而线段BH是线段AE上的高（生1这句话有点问题，如果出现了△ABE，就没有问题了——笔者注），于是让我想到了连结BE，如图2所示，此时，由于BH⊥AE，从而知AE·BH与△ABE的面积产生了关系，从而出现了意义.因为S△ABE=12·AE·BH，因此，AE·BH=2S△ABE③……

师：虽然生1探究证明思路的思维活动过程暂时中断了，但是通过她自己的不懈努力，赋予了AE·BH这个乘积表示△ABE的面积2倍这种意义，从而产生了构作辅助线BE的认识.这就得到了一项非常好的探究结果了.由条件②，知AE·BH=a2+b2·BH④，很显然，这个等式④右边的代数式，其实就是所要证明的结论等式①的左右两边都乘以a2+b2的结果，这样就得到所要证明的结论等式①可以转化为a2+b2·BH=2ab⑤，于是，现在只要证明等式⑤成立就行了.那么，如何证明等式⑤成立呢？

生：……

师：由于AE·BH=2S△ABE③，这个等式③的右边表达式2S△ABE还有其他意义吗？

生2：我看到了△ABE的面积是矩形ABCD的面积的一半（由于△ABE与矩形ABCD是两个同底等高的规则图形——笔者注），因此，2S△ABE就是这个矩形ABCD的面积.这就是说，所要证明的结论等式⑤的左边这个表达式表示的就是矩形ABCD的面积；由于所要证明的结论等式⑤的右边表达式2ab=2a·b=AB·AD，也是矩形ABCD的面积，所以等式⑤成立.

师：如此，打通了解题的思路.请大家写出证明过程.

生3：证明：如图2，连结BE，

因为S△ABE=12·S矩形ABCD（三角形面积等于同底等高的矩形面积的一半），

所以2S△ABE=S矩形ABCD（等式两边都乘以常数2，等号不变），

因为2S△ABE=2·12·AE·BH=AE·BH，S矩形ABCD=AB·AD（三角形面积与矩形面积的定义），

所以AE·BH=AB·AD（都等于同一个量的两个量也相等），

又因为AE＝a2+b2（直角三角形的勾股定理），AB＝2a，AD＝b（已知），

所以a2+b2·BH=2a·b（等量代换），

所以BH=2aba2+b2（等式性质）.

师：通过探究这道题的证明思路及基于此的证明表达过程，你学到了什么？

生4：探究平面几何证明题的證明思路具有许多途径，这里依据矩形ABCD的面积不变的特点，得到了以线段BH为未知量的方程AE·BH=AB·AD，从这个方程中求解出了线段BH的表达式.

师：非常好.我们称这种探究平面几何证明题的证明方法为“面积守恒法”.

注  1.在笔者的不断启示下，学生通过赋予这道几何证明题的条件信息或结论信息中相关元素以意义的探究活动过程，最终得到了解题通路.由此可以认识到，赋予平面几何证明题中的相关信息元素以意义的过程，对于探究平面几何证明题证明思路具有怎样的重要作用.因此，解题主体已经掌握了的一系列的知识、观念与经验，就是在这种赋予题设条件与题断结论的意义中，发现了条件与条件、条件与结论之间的关系，从而架起从题设条件到题断结论之间的桥梁.

2.在探究证明思路的技巧上，这条思路的发现主要依靠于图形及其条件中线段长度的度量性特点，即利用矩形与三角形面积公式所计算得出的面积的具体量之间的关系，而得到了关于一个以线段BH长度为未知数的方程（即等式AE·BH=AB·AD）的形式（由此萌生出了“面积守恒法”），由于三条线段AB＝2a，AD＝b，AE＝a2+b2都是已知量，从而求出线段BH的长度表达式为等式①的证明结论.因此，总体上说，探究这道证明题证明思路的方法就是偏于代数（利用方程知识）的相关观念，是学生代数认知方式作用的结果.

3.证明的表达过程犹如一朝分娩（当然，由于是逻辑表达，所以需要极强的严谨性，表述应该字斟句酌），而赋予条件或结论要素以意义的探究证明思路活动的过程却好像是十月怀胎，需要解题主体仔细辨别问题所提供的条件或结论中的相关要素，理解这些要素在问题背景之中的意义，从中找到集中条件的手段与方法，架设起从条件到结论的桥梁［2］.

关于上述这三点，是平面几何教师在教学设计及课堂实施中必须要高度注意的问题.几何教师应该认识到，这道题的教学活动还没有完，通过综合教材分析与学情分析结论，还需要教师引导学生探究其他的解题途径，这些探究证明思路的途径，也可能存在着教育教学价值（视学生过去学习与掌握了具体内容而定），构成了实现其他必须要实现的教学目标的优质资源.

2  依据萌生“三点定形法”的教学设计及课堂实施

“三点定形法”是证明四线段成比例确定两个相似三角形的最为常用的方法，也是一项证明四线段成比例时所通用的方法.由于在利用相似三角形证明四线段成比例的教学资源中，学生能够反复体验与感受很多次，就这道题对于学生而言，这种方法可能比不上“面积守恒法”对于促进学生萌生创造性思维的重要性.虽然如此，在课堂教学时间允许的情况下，还有顺便鼓励学生再行感受一次的必要，因此，依然存在着较好的教学价值.

师：大家通过一项一项地赋予条件或结论中相关要素以意义，利用这个矩形面积与其内部的同底等高三角形面积之间的2倍关系，成功地使用“面积守恒法”，探究出了这道题的证明思路.那么，还存在其他的证明思路吗？

生：……

师：将要证明是结论式BH=2aba2+b2①变形为乘积形式的等式a2+b2·BH=2ab⑥以后，希望证明等式⑥成立就行了.由于AB＝2a，AD＝b，EA＝a2+b2，所以把它们代入等式⑥，将等式⑥使用a，b这一对基本量表示线段长度的具体量替换成图1中的具体线段，知期待证明等式EA·BH=AB·AD⑦成立，就达到目的了.那么，在图1所附加的条件中，如何证明等式⑦成立呢？

生5：要证明等式⑦这一乘积式成立，首先将等式⑦转化为比例式，然后再依据比例式的具体特点，审时度势，选择相应的证明途径.我们知道，要是等式⑦成立，只要证明比例式EAAB=ADBH⑧成立.于是，这里可以采用过去学习过了的“三点定形法”进行探究，分别从比例式⑧中的分子与分母的两条线段中次第选择三个点E·A·A·B·=AD·BH·，即分子中的三点E，A与D，分母中的三点A，B与H，确定出所需要的两个具体△EAD与△ABH.于是，现在只需要证明△EAD∽△ABH成立.由于∠EDA＝∠BHA（直角都相等），∠AED＝∠BAH（两直线平行，内错角相等），知△EAD∽△ABH（两组对应角相等的三角形相似）.

师：请写出关于这种证明思路的证明过程.

生5：证明：如图1，在△EAD与△ABH中，

因为∠EDA＝∠BHA（直角都相等），∠AED＝∠BAH（两直线平行，内错角相等），所以△EAD∽△ABH（两组对应角相等的三角形相似），所以EAAB=ADBH（相似三角形的对应边成比例），又因为AB＝2a，AD＝b（已知），EA＝a2+b2（直角三角形勾股定理），所以a2+b22a=bBH（等量代换），所以BH=2aba2+b2（等式变形性质）.

注  1.这条思路的发现，来源于由AB＝2a，AD＝b，EA＝a2+b2，将要求证明的结论式BH=2aba2+b2中的由基础量a，b所表示的线段长度，转化为图1中的相应的具体线段.由于这个矩形ABCD所限定了这些线段长度之间的抽象关系，通过这种抽象活动行为，舍弃了关于线段长度所使用的基础量a，b的表达形式，而变成了四条具体线段AB，AD，EA与BH之间的抽象性关系.通过分析所要证明的结论式①，转化为证明乘积式EA·BH=AB·AD⑦成立，进而转化为证明比例式EAAB=ADBH成立，于是，由学生运用已经掌握了的“三点定形法”，即使用E·A·A·B·=AD·BH·这种形式确定出证明△EAD∽△ABH成立，目的就可以实现了.

顺便说一句，运用“三点定形法”需要教师在教学设计及课堂实施时，从探究第一道证明题的开始，就要反复地提醒学生，在表达线段及其表示该线段的字母排序时，需要将同一个线段分式所表示的分子与分母之间（即从分数线上下这个视点进行考察），例如E·A·AD·=A·B·BH·这样的表达形式（等号左边的分子上的点E，A与分母上的点D；或等号右边的分子上的点A、B与分母上的点H），或者等式两端的分子与分子之间、分母与分母之间（即从等号左右两边的同等位置上的元素进行考察），例如E·A·A·B·=AD·BH·等号左右两边的分子与分子，或分母与分母之间的形式，其对应的字母置于相同的对应位置，如此，才有利于由两條相交线段的三个具体的点而定出所需要的三角形［3］.关于帮助学生萌生与定型“三点定形法”，教师只要认真思考，在教学设计及课堂实施的过程中，其实是有迹可循的.

2.与前述采用依据“面积守恒法”引用方程的观点所形成的方法不同，这里使用依据三角形相似方法，是一种纯粹几何的方法，这种方法必须舍去线段长度的量（把使用基础量表示的具有特定长度的线段转化为抽象性的线段）的干扰，运用了抽象的线段在这个矩形框架限制下线段之间所产生的近乎于抽象的观念，所形成的是一种不变量的结果.

3.依据“面积守恒法”引用方程观点的方法与利用相似三角形的“三点定形法”，是由两种不同（代数的与几何的）认知方式所产生的.数学教师在教学中，选择这两种认知方式中的哪一种，需要通过学情分析，学生需要哪种认知方式更强烈些，哪种认知方式对于学生来说，其教育教学价值可能会高一些，就应该选择哪种认知方式进行教学设计及课堂实施.当然，也可以与笔者写作这篇文章一样，如果时间允许，引导学生使用这两种认知方式产生相应的认识，这是一种很好的选择.

4.针对这道题具体问题，一般而言，建议几何教师选择“面积守恒法”，这是因为，在施教相似三角形的相关教学内容时，这种“三点定形法”已经进行了多次运用，对于学生来说，多一次使用这种方法或少一次使用这种方法探究相关平面几何证明题证明思路对于探究证明思路能力的发展其实没有多大关系，而使用“面积守恒法”，学生既感到新颖，又是必须要掌握的方法.因此，如果教师在教学设计预案及课堂实施时受到了时间的绝对限制，笔者建议应该选择“面积守恒法”施教这道题.

总之，一方面，通过探究这道題的两种不同证明途径认识到，寻找平面几何证明题证明思路的过程，就是一种不断地赋予问题所提供的条件与结论信息以意义的过程.因为，这些元素的意义来源于解题主体所掌握了的知识（如概念、公理、定理或法则等），所形成的探究问题思路的一系列观念（例如分析法或综合法等），通过解题活动所积累起来的经验等.如此，在这种赋予意义的过程中，逐渐萌生出探究证明思路的具体方法，并在证明活动过程得以检验与调整，成功了，问题也就解决了，此时，就可以从这种成功的解题过程中，抽绎出具体的方法，例如，本例中的“面积守恒法”与“三点定形法”等，不成功则进行修订，或者萌生新想法，直到打通证明思路为止［4］.

另一方面，在这种赋予条件信息或结论信息以意义的过程中，可以发现即使对于同一道平面几何证明题，不同的学生也会存在着不同认知方式.例如，本例题中的“面积守恒法”与“三点定形法”就是两种不同的认知方式使用的结果.这对数学教师教学设计及课堂实施带来了极大启示，教师在课堂上面对几十名学生，这些学生的认知方式可能存在较大的差别，在这种情况下，教师选择帮助学生发展具体的认知方式时，就需要依据学生个性思维方式的特点，做好几十名同学认知方式之间的平衡工作，选择多数学生最为需要的认知方式进行探究发生知识认识的教学活动过程.3  结束语

探究平面几何证明题证明思路的思维活动过程的主要依靠的手段在于，通过不断地赋予条件或结论以意义，终究能够找到集中条件与条件之间或条件与结论之间的关系，从而架设起从条件到结论的桥梁.从这种赋予意义、集中条件与架设桥梁的心理活动过程中，萌生合适的探究平面几何证明题证明思路的方法，不同探究证明思路的出现导致了解题主体形成了特定认知方式.例如，本研究通过这道具体的探究平面几何证明题证明思路的例子，帮助学生开拓出了“面积守恒法”与“三点定形法”，依靠这两种不同的方法，学生使用了不同的认知方式（偏向于代数方向的认知活动过程与偏向于几何方向的认知活动过程）.对此，教师在教学设计及课堂实施中，需要仔细掂量，选择学生需要的认知方式进行教学活动，从而帮助学生提高探究证明思路的思维能力，实现教学目标.参考文献

［1］人民教育出版社中学数学室.初级中学课本：几何（第二册）［M］.北京：人民教育出版社，1989：52.

［2］［美］克雷奇，克拉奇菲尔德，利维森等.心理学纲要（上册）［M］.周先庚，林传鼎，张述祖等，译.北京：文化教育出版社，1980：188.

［3］张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径［J］.数学教育学报，2015，24（01）：33-37.

［4］张昆，张乃达.探究辅助线方法的教学设计研究——平面几何命题证明入门教学的视点［J］.中学数学杂志，2017（08）：9-12.作者简介  张昆（1965—），男，安徽合肥人，副教授，中学高级教师;主要研究数学教学、数学史、数学教育哲学；发表论文400余篇，其中26篇被人大复印报刊资料全文收录.