具有扩散的生态-流行病模型的稳定性分析

2024-01-20王玲书陈若彤

北华大学学报（自然科学版） 2024年2期

王玲书,陈若彤

(河北经贸大学数学与统计学学院,河北石家庄 050061)

0 引言

扩散是自然界中普遍存在的现象,扩散可以使种群的个体迁出和迁入,增加或降低当地种群的密度,这对理解种群的进化具有重要意义。在生态系统中,捕食关系是种群之间相互作用的最普遍、最重要的形式之一。捕食系统是描述自然环境中捕食者以食饵为食的物种间关系的模型,捕食者或食饵具有扩散的捕食模型已经被许多学者所研究(参见文献[1-3])。在文献[1]中,作者研究了食饵具有扩散的捕食者-食饵模型的稳定性,并讨论了由捕食者的妊娠期引起的时滞对模型稳定性的影响。

ANDERSON和MAY在文献[4]中首次将种群模型和传染病模型结合起来提出了一个食饵染病的生态-流行病模型以来,生态-流行病模型已经被许多学者所研究(如文献[5-8])。由于传染病可以在捕食者之间、食饵之间或捕食者和食饵之间传播,从而使得生态-流行病模型有着丰富的研究内容。文献[5]假设疾病仅在捕食者之间传播,研究了下列生态-流行病模型:

(1)

其中:x(t)、S(t)和I(t)分别表示食饵、易感捕食者和染病捕食者种群在时刻t的密度。文献[5]讨论了模型(1)的非负平衡点的局部稳定性,给出了正平点处存在Hopf分支的充分条件。

基于文献[1]和[5],本文研究一个食饵具有扩散和捕食者染病的捕食-被捕食病模型,并讨论由捕食者种群的妊娠期引起的时滞对种群动力学性态的影响。为此,我们研究下列生态-流行病模型

(2)

其中:x1(t)和x2(t)分别表示斑块1和斑块2中食饵在时刻t的密度;S(t)和I(t)分别表示斑块1中易感捕食者和染病捕食者在时刻t的密度.参数r1、a11、a12、a21、d12、d21、r2、d1、d2和β均为正常数,其中r1表示斑块1中食饵的内禀增长率,a11为斑块1中食饵的种内竞争率,a12表示捕食者种群的捕获率,a21/a12表示捕食者种群的生育转化率,d12和d21表示食饵种群在两个斑块之间的扩散率,r2是斑块2中食饵种群的死亡率,d1和d2分别表示易感捕食者和染病捕食者的死亡率,β为疾病的传染率;τ≥0表示捕食者种群的妊娠期所引起的时滞。模型(2)假设生态系统由两个孤立的斑块组成,食饵种群在两个斑块间扩散而捕食者种群仅在斑块1中捕食食饵。

本文将基于以下初始条件来讨论模型(2)的稳定性

(3)

其中φi(θ)和φi(θ)(i=1,2)均为[-τ,0]上的非负连续函数。由泛函微分方程的基本理论[9]可知,模型(2)存在满足初始条件(3)的唯一正解。