关于椭圆曲线y2=(x+47)(x2+472)的整数点
2024-01-16华程
华 程
(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)
1 主要结论
许多学者关注椭圆曲线
y2=(x+P)(x2+P2)
(1)
的整数点问题，这里P为奇素数.其中文献中，Weger利用较高深的方法对P=167，223，337，1201找到了(1)的全部整数点，分别是
当P=167时，(1)仅有整数点(x，y)=(-167，0)；
当P=223时，(1)仅有整数点(x，y)=(-223，0)；
当P=337时，(1)仅有整数点(x，y)=(-337，0)，(-287，±3130)，(2113，±105910)和(56784，±13571615)；
当P=1201时，(1)仅有整数点(x，y)=(-1201，0)，(599，±56940)，(1999，±131920)和(58849，±14424010)。
本文利用初等方法研究了P=47的整数点，获得如下定理
定理椭圆曲线
y2=(x+47)(x2+472)
(2)
仅有整数点(x，y)=(-47，0)。
2 一些引理
引理1 设P为素数，a为任一整数，则p|a或(P，a)=1。
证明：参见文献(p27，定理1.17)。
引理2 不定方程x2+y2=z2适合条件(x，y)=1，2|x的全部正整数解可表示为
x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2，其中a>b>0，(a，b)=1，2+(a+b)
证明：参见文献(p110，定理3.4)。
引理3 设p为素数，e≥0，则不定方程
(2epy2-1)2-2z2=-1
仅有正整数解z=1，5和p=2.
证明：参见文献(p69，习题2)。
引理4 不定方程x2+y2=z2适合条件(x，y)=1，x>y的全部正整数解可表示为
x=m2-n2+2mn，y=|m2-n2-2mn|，z=m2+n2
其中m>n>0，(m，n)=1，2⫮(m+n)。
证明：参见文献(p117，习题5)。
引理5 设p是一个素数，若不定方程u2-Dv2=±p有整数解，则当p|2D时，有1个结合类；当p⫮2D时，有2个结合类.
证明：参见文献(p33，定理4)。
证明：参见文献(p32，定理3)。
引理7 不定方程
x2-2y4=47
(3)
仅有正整数解(x，y)=(7，1)。
证明：由引理5、引理6知，方程X2-2Y2=47的一般解可由以下2个非结合类给出
这里n∈，是方程X2-2Y2=47的基本解，为Pell方程U2-2V2=1的基本解。
若方程(3)有整数解，必有n，使得
y2=±(un+7vn)或y2=±(un-7vn)=±(u-n+7v-n)
当n≥0时，un+7vn>0；当n<0时，un+7vn<0.因此可以归结为
y2=un+7vn，n≥0
(4)
或
y2=-un+7vn，n>0
(5)
易知，有
un+2=6un+1-un，u0=1，u1=3
(6)
vn+1=6vn+1-vn，v0=1，v1=2
(7)
u2n=un2+2vn2=2un2-1=4vn2+1，v2n=2unvn
(8)
un+2km=(-1)kun(modum)，vn+2km≡(-1)kvn(modum)
(9)
先讨论(5)式(约定：用“T”表示取模所得剩余序列的周期)。
对(5)式取模8，得T=4，且当n≡0，1，2，3(mod4)时，-un+7vn≡7，3，3，7(mod8)均为模8的平方非剩余，故(5)式不成立。
再讨论(4)式。
对(4)式取模8，得T=4，且当n≡2，3(mod4)时，un+7vn≡5(mod8)为模8的平方非剩余，故排除，剩n≡0，1(mod4)。
当n≠0时，可令n=2×2t×5×(2k+1)，t≥1，且令
则2m≡2(mod3)。
由(9)式可得
y2≡±(u2m+7v2m)≡±7v2m(modu2m)
(10)
注意到2|m时，um≡1(mod8)，u2m≡1(mod8)。令2s‖vm结合(8)式，则(10)式成为
(11)
因为{un}模7的剩余序列的周期为3，1，3，3，1，3，3，…，且当2m=2(mod3)时，u2m≡3(mod7)，u2m≡3(mod7)所以(11)式变为
矛盾。因此n=0，此时y2=u0+7v0=1，故y=1，从而x=7，于是(3)仅有正整数解(x，y)=(7，1)
证毕。
3 定理的证明
设(x，y)是(2)式的任意整数点.因为x2+472>0，所以由(2)式知，x≥-47。
当x=-47时，可得(2)式的整数点为(x，y)=(-47，0)，
当x=0时，(1)式可化为y2>473，显然没有整数解。
因此，下面只需考虑-47
情形Ⅰ -47 表1 椭圆曲线-47 综上，此情形，椭圆曲线(2)无整数点。 情形Ⅱx>0 令(x+47，x2+472)=d，则d=(x+47，2×472)，所以d|2×472，即d∈{1，2，47，2×47，472，2×472}。 ①当d=1时，(2)式可化为 x+47=s2，x2+472=t2，y=±st (12) 其中s>0，t>0，(s，t)=1。 x=2uv，47=u2-v2，t=u2+v2 (13) 其中u>v>0，(u，v)=1，u，v为一奇一偶。 由(13)的第2式得(u+v)(u-v)=47，所以u+v=47，且u-v=1。解得 u=24，v=23，代入(13)的第1式得x=1104。 此时，y2=52×132×172×1151，显然无整数解。 ②当d=2时，(2)式可化为 x+47=2s2，x2+472=2t2，y=±2st (14) 其中s>0，t>0，(s，t)=1。 如果47|x，则由(14)知47|s且47|t。令x=47x1，s=47s1，t=47t1，代入(14)得 x1+1=2×47s12，x12+1=2t12 其中x1>0，s1>0，t1>0，消去x1， 得 (2×47s12-1)2-2t12=-1 (15) 根据引理3，方程(15)无正整数解。 如果47⫮x，即(47，x)=1，则由(14)的第2式知，x，t都是奇数。根据引理4，可得 47=m2-n2+2mn，x=|m2-n2-2mn|，t=m2+n2 (16) 或 x=m2-n2+2mn，47=|m2-n2-2mn|，t=m2+n2 (17) 其中m>n>0，(m，n)=1，2⫮(m+n)。 先讨论(16)式。 由(14)式的第1式及(16)知，当x=m2-n2-2mn时，有 s2=m2-n2 (18) 考虑到2⫮s，由(18)式及引理2可得 s2=f2-g2，n=2fg，m=f2+g2 (19) 其中f>g>0，(f，g)=1，2⫮(f+g)。 将(19)式的后两式代入(16)式的第一式整理得 47=f4+4f3g-2f2g2+4fg3+g4，2⫮(f+g) 对上式两边取模8，得-1≡1(mod 8)，显然不可能。 当x=-m2+n2+2mn时，有s=2mn.因(m，n)=1，故得 m=f2，n=2g2 (20) 或 m=2g2，n=f2 (21) 将(20)代入(16)式的第一式整理得 47=f4-4g4+4f2g2 上式两边取模8，得-1≡1(mod8)，显然不可能。 将(21)代入(16)式的第2式整理得 47=-f4+4g4+4f2g2 即 (2g2+f2)2-2f4=47 (22) 根据引理7，由(22)式得出2g2+f2=7且f=1。 于是g2=3，无整数解。 再讨论(17)式。 由(14)式的第一式及(17)知，当47=m2-n2-2mn时，有s2=m2-n2.类似(18)的讨论可得 47=f4-4f3g-2f2g-2f2g2-4fg3+g4，2⫮(f+g) 对上式两边取模8，得-1≡1(mod8)，不可能。 当47=-m2+n2+2mn时，有s2=2mn，类似(20)与(21)式的讨论可得 47=-f4+4g4+4f2g2 即(22)式无整数解。 ③当d=47时，(2)式可化为 x+47=47s2，x2+472=47t2，y=±47st (23) 其中s>0，t>0，(s，t)=1。 由(23)式可知 47|x且47|t.设x=47x1，t=47t1，代入(23)得 x1+1=s2，x12+1=47t12 (24) 其中x1>0，t1>0。 若2|t1，对(24)的第二式取模4，知不可能，故2⫮t1由(24)的第一式代入第二式可得 47t12=s2-2s2+2，2⫮s 对上式两边取模8得-1≡(mod8)，也不可能。 ④当d=2×47时，(2)式可化为 x+47=2×47s2，x2+472=2×47t2，y=±2×47st (25) 其中s>0，t>0，(s，t)=1。 若2|t1则(26)的第二式得出x12≡7(mod8)，不可能，因此2⫮t1，由(26)的第一式代入第二式得 47t12=2a4-2a2+1 对上式取模8得-1≡1(mod8)，也不可能。 ⑤当d=472时，(2)式可化为 x+47=472s2，x2+472=472t2，y=±472st (27) 其中s>0，t>0，(s，t)=1。 由(27)可知 47|x，设x=47x1(x1>0)，代入(27)的第二式得x12+1=t2，推出x1=0。从而x=0，与x>0矛盾。 6)当d=2×472时，(2)式可化为 x+47=2×472s2，x2+472=2×472t2，y=±2×472st (28) 其中s>0，t>0，(s，t)=1。 由(28)可知，47|x。设x=47x1(x1>0)代入(28)得 x+1=2×47s2，x12+1=2t2 于是有(2×47s2-1)2-2t2=-1.根据引理3，此方程无正整数解。 综上，椭圆曲线(2)仅有整数点(x，y)=(-47，0)。 证毕。
