高维具有间接信号生成的趋化模型解的有界性

张 云,辛 巧,2

(1.伊犁师范大学数学与统计学院,新疆 伊宁 835000;2.伊犁师范大学应用数学研究所,新疆 伊宁 835000)

0 引言

由KELLER和SEGEL[1]于1970年提出的Keller-Segel模型(简称经典的K-S模型)是经典的生物趋化性模型之一,经典的K-S模型描述了细菌团在趋化吸引下的聚合行为.目前,经典的K-S模型已受到国内外学者的广泛关注,关于解的存在性、有界性、爆破行为、渐近行为以及弱解已取得了一系列研究成果[2-8].在此基础上,由于许多趋化模型的化学信号不能直接由细胞自身直接产生,因此对于经典的K-S模型,具有间接信号以及Logistic源的研究是有意义的,如STROHM等[9]提出了一个北美物种山地松甲虫通过啃食树体的方式破坏生态平衡,山地松甲虫会在树上筑巢产卵分泌信息素以吸引飞行的山地松甲虫,但飞行中的山地松甲虫不会直接释放信息素,从而许多数学工作者考虑如下具有间接信号生成且带有Logistic源的趋化模型:

(1)

假设D(u)=(u+1)-α,S(u)=u(u+1)β-1,且f(u)=μu-μu2,其中α,β∈.对于f(u)=μu-μu2的情况,当N=3,D(u)=1,S(u)=u时, HU和TAO[10]证明了模型(1)的唯一经典解是一致有界的.同时,若则当t→∞时该模型的解在L∞(Ω)的范数下收敛于平衡点

受以上研究结果的启发,本文讨论具有间接信号生成以及Logistic源的生物趋化模型:

(2)

(3)

本文的主要结果如下:

定理1当N=4,δ>τ时,且模型(2)的初值(u0,v0,w0)满足(3)式,且非负函数u,v和w在Ω×(0,∞)上有界,则对任意的t>0,存在常数C>0,使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)≤C,

(4)

1 预备知识

引理1 假设非负函数u0,v0和w0满足式(3),则存在Tmax∈(0,∞]和非负函数(u,v,w)满足:

(5)

进一步地,若Tmax<+∞,则当t→Tmax时,有

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)→+∞.

(6)

根据以上存在性理论,对任意的s∈(0,Tmax),有

(7)

因此,不失一般性,假设存在C>0,使得

(8)

引理2 存在正常数C1>0,满足式(2)和式(3),使得对任意的t∈(0,Tmax),有

(9)

引理3 假设

(10)

2 趋化模型解的有界性估计

(11)

(12)

其中,ε是充分小的正数.

证明 设

根据文献[14],可以得到

(13)

为了估计式(13)右边第一项,借助Young不等式,对于任意的t∈(0,Tmax),有

设

(14)

其中,ρ0的定义见(9)式.

由式(14),结合Young不等式,对于任意的t∈(0,Tmax),有

(15)

将(15)代入式(13),对于任意的t∈(0,Tmax),可得

(16)

对于任意的t∈(0,Tmax),且对(16)结合常数变易法,有

(17)

其中,

除此之外,对于任意的t∈(0,Tmax),有

(18)

接下来,在模型(2)的第三个方程的两边同乘wp,并在Ω上积分,对于任意的s∈(0,Tmax),δ,τ>0,存在正数C5>0,使得

则

(19)

对于任意的s∈(0,Tmax),对式(19)运用常数变易法,有

为了方便计算,设

根据Fubini定理,可得

当C7<0,有

(20)

将式(20)代入式(18),有

(21)

接下来,将式(21)代入式(17),结合引理3,可得

其中,

因此引理4得证.

基于之前的估计,对于任意的l>N,可以得到‖u(·,t)‖Ll(Ω)的有界性.

引理5的证明过程可参见文献[14].

定理1的证明结合以上引理4和引理5,首先根据‖u‖Lp(Ω)先验估计,与‖w‖Lp+1(Ω)估计进行耦合,结合常数变易法以及抛物正则性理论,得到了在适当参数的范围内,‖u‖Lp(Ω)和‖w‖Lp+1(Ω)是有界的,再结合引理1,可得模型(2)的全局经典解是有界的,从而完成了定理1的证明.

3 结语

本文研究了具有间接信号生成且带有Logistic源的生物趋化模型的解的全局有界性,通过进行适当的先验估计,并利用常数变易法证明了该模型经典解在适当参数范围内是全局存在且唯一的,得到了高维情形下该模型的全局经典解是有界的．