数学三个世界理论视角下教学改革探索

周士民 范兴奎 刘敏 周丽美 范敏 王正杰

摘  要：为解决高等数学内容抽象、教学难和学习难的问题，该文提出以数学三个世界理论为指导，教学中贯彻以学生为中心，遵从认知规律，坚持联通主义学习模式、以核心知识学习为中心，对高等数学教学模式各要素全面改革。以此帮助学生学习，培养抽象思维能力，实现让学生动起来、教师强起来、效果实起来的本科教学改革目标。

关键词：数学三个世界;教学改革;学习;高等数学;教学模式

中图分类号：G642        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）01-0135-04

Abstract： In the process of advanced mathematics teaching， there remains the question that the teaching content is too abstract for the teachers to explain and thus too difficult for the students to understand， which often results in the students' deficiency in  learning. In order to solve that problem， this  paper proposes comprehensive reform of arious elements of teaching mode， which aims to implement students-centred teaching method by following cognitive laws， adhering to connective learning， and focusing more on  core knowledge. In this way， the students can be helped to learn much better， and thus cultivate their abstract thinking ability. Based on that， it is easier to achieve the undergraduate reform objectives that students will devote themselves to their studying， teachers can further improve their teaching skill and the teaching effect will be better.

Keywords： three worlds of Mathematics; teaching reform; learning; Advanced Mathematics; teaching mode

2019年教育部《关于深化本科教育教学改革 全面提高人才培养质量的意见》中指出，“围绕学生忙起来、教师强起来”“效果实起来”等要求，深化本科教育教学改革。“以学生为中心”正成为各方共识，而目前“以教师为中心”的教学模式仍然是我国大学课堂教学的主流，“以学生为中心”的教学模式仍处于启动时期，需要不断探索。

高等數学是高校理工类专业一门必修基础课，在帮助学生形成抽象思维能力和逻辑推理能力[1]，培养创新型人才方面有着不可替代的作用。然而这门课符号多、公式多，概念、定理抽象给学生带来学习困难。本门课教学和学习中存在的问题集中于以下方面：第一，知识多、进度快，学生跟不上教学节奏;第二，知识高度抽象;第三，听课后不会做题等。抽象能力是大学生必备素质，如何有效地进行抽象知识教学和学习是各高校教师极力探索的问题。2010年后形成的数学三个世界理论提出，抽象知识是可以相互转化的，并提出转化的方式，奠定了教学改革基础。而该理论下的教学研究，国内目前还集中于中学内容，相应的大学教学研究尚显不足。如何以学生为中心，激发学生求知欲，主动进行学习和探索，有效地进行抽象知识学习，对教学改革提出新课题。

一  数学三个世界理论及其学习思想

（一）  数学三个世界理论

认知分为具体化、符号化、形式化三个世界，抽象知识是可以转化的，结晶体概念（核心概念）简约性、发散性联结是抽象知识转化的根源，认知按累积性原则建构，知识以联结的方式存在，提倡联结主义教学和学习[2]。

（二）  数学三个世界理论学习思想

数学三个世界理论是在建构主义、认知主义基础上形成的新理论，继承和发展了原有理论的精华，又融入了新内涵，揭示了数学知识和数学思维的形成过程，成为指导数学学习的理论基础。

1  以学生为中心学习

数学三个世界理论提倡联结学习，学生是学习主体，教师是学习的促进者。教师的作用是在知识联结点、思维联结点组织教学活动，帮助学生创设联结[3]。教师的经验帮助学生建立联结，对其获得的知识和思维进行筛选、评价、指引，具有引导和帮助学生修正知识体系的作用。

2  按照认知规律学习

数学三个世界理论认为，人的认知按照具体化、符号化、形式化顺序层次逐渐提升，并在新层次上按照螺旋法则向更高层次发展。具体化世界，在这个世界中数学学习对象是具体的、形象的、可见的。符号化世界，将操作用符号表示，数学对象得到进一步概括、抽象。在认识事物基础上，对符号化世界进行自反抽象形成形式化定义，或证明形成形式化定理。

3  联通主义学习

联通主义理论认为，学习是联结的建立和网络形成的过程，是借助工具把人脑和脑外联通，以最大化和优化学习，创新性是发现思想或概念之间的联节，建立新联结的能力[4]。数学三个世界提倡教师创设具体化、符号化、形式化联结点，帮助学生建构知识体系。

4  核心知识学习

数学三个世界理论认为，结晶体概念（核心概念）具有简约性、发散性特点，是抽象知识转化的根源[5]。在教学中帮助学生理解和形成核心概念，与其他相关概念建立联结，进而形成概念体系。在形式化推理基础上，探讨定理间的联结点，建构定理体系。核心习题掌握后，寻找与其他习题联结点，形成习题体系，在对习题分析挖掘基础上，形成概念、定理、性质的深入理解。

二  基于数学三个世界理论的教学改革

数学三个世界理论下的教学模式改革，包括教学目标、教学内容、教学过程、师生交往系统、反馈方式、支持条件和评价方式等各要素全面改革。

（一）  教学目标的改革

教学目标不仅是传授知识、提高数学素养，而是帮助学生形成自我建构知识和解决问题的能力。一般认为大学生数学素养包括数学知识、数学能力、数学思想和数学品质，这四部分相互补充，相互渗透。从学生发展来看，数学能力是大学生能力的中心内容，而学生自我建构能力，是学生长远发展的目标。

（二）  教学内容改革

1  划分课程内容模块

根据微积分不同内容，将课程教学分解为概念课、定理课、习题课等，针对不同内容依据具体化、符号化、形式化认知规律设计教学内容。通过在线调查，了解学生在课程中抽象知识学习中存在的问题。以高等数学为例，学生对“极限、导数、积分形式化证明”“极限、微分、积分、曲线积分、曲面积分形式化定义”“曲线、曲面积分形式化推理与应用”的学习有难度。教师在准备教学内容时，在具体化、符号化、形式化转化过程中创设联结点，对不同知识模块，以及具体化、符号化、形式化认知差异性，设计不同情境，帮助学生理解抽象知识，建构知识体系。

2  内容设计与能力培养的统一

运用翻转课堂学习课前知识，学生学习具体化、符号化基础性问题时，设计联结点培养自我抽象、概括、发现、总结及合作能力。教师在课堂上针对学生存在的不足，设计联结点，与学生共同解决问题，学生思维活跃、分析问题、解决问题能力得到提升，同时促进其对抽象知识进行反思。在具体化认识、符号化表示，构建形式化概念过程中，设计联结点引导学生发现问题，培养学生抽象思维能力，提升其思维品质。学生在形式化核心概念学习时，设计联结点，培养其发散思维能力。教师设计联结，引导学生探究形式化理论之间关系，培养逻辑思维能力。

（三） ; 师生交往系统改革

采用高度集中型、温和型、放任型等多种方式结合的交往模式。教师是教师的组织者和协调者，教学内容，教学方法设计，教学条件的知识和思维联结点的创设，都是由教师决定，当然也要参考翻转课堂学生的反馈信息。课堂教学中，教师设计联结点让学生进行探索、讨论，在知识联结点、思维联结点、情境联结点给学生以启发，发扬教学民主，引导学生自我建构。学生能够独立解决的问题，放手让学生完成，教师起督促、检查、帮助的作用。如学习第一类曲线积分时，先引导学生观察均匀的铁丝的质量，等长度质量相等，只要知道单位长度铁丝质量（线密度），量出铁丝长度即可。非均匀铁丝质量，需要将无限细分时长度质量累加、求和、取极限。引出曲线积分概念。再联系求曲线长度方法，引出第一类曲线积分公式，不同情境下第一类曲线积分计算，由学生自主解决。

（四）  反馈方式改革

微信群、QQ群是课前、课后学习情况反馈的主要形式，主要由课代表负责收集、整理，包括学生知识、思维、学习情境出现的困惑，需要得到哪些帮助等，教师根据反馈信息在群里进行指导，或者由部分优秀生在群里进行指导，或者课下学习小组讨论完成。课堂反馈由学生听课表现、讨论表现、练习时的表现确定，在课堂上师生共同解决。

（五）  支持条件改革

1  运用翻转课堂

首先，将核心概念、核心定理、核心题目的基础知识翻转给学生，帮助学生形成前期认识，为课堂建构打下基础，充分运用“问题导向法”，以问题为导向，层层设计联结，让学生通过查资料、运用多媒体、互联网等途径尝试自主解决。其次，引导学生合作学习，指定研讨组组长，负责组织问题讨论。最后，将不能解决的问题反馈给课代表，每位学生完成翻转课堂质量和讨论情况由组长负责纪录，课代表统计，记作平时成绩，确保翻转课堂效果。课堂讲授时，主要在核心概念、核心定理、核心题目设计联结点，创设情境，引导学生自主建构知识体系。解决核心题目时，引导学生探究已有题目的联结点，形成解决问题的一般方法，并进一步变式，引导学生深化探究，拓展已有知识体系，课堂讲解始终围绕核心知识难点、疑点展开[6]。

2  运用虚拟仿真技术

将虚拟仿真技术应用到数学教学，帮助学生理解核心概念、核心定理，例如极限、微分、积分、导数等概念产生的背景，运用仿真情境，以具体化案例让学生了解它们产生的过程，增强亲身体验浸入感，更加深入理解形式化核心知识的内涵。再如定积分概念的讲解时，用仿真技术将曲线一段无限放大，感受曲线就是由无限细分的直线段构成，从而理解“化曲为直”的含义。在仿真条件下，将火箭曲面无限细分、放大，让学生观察曲面实际就是平面构成，分析曲面侧面向底面投影，进而得出曲面和平面的關系。课堂抽象知识教学始终贯彻虚拟仿真技术建立真实场景，以具体化方法加深对形式化定义和符号化产生过程的理解，弱化理解难度，提高学习兴趣[7]。

（六）  评价方式的改革

数学三个世界提倡联结学习，信息化条件下联通主义成为联结学习的理论基础。该理论认为，教师成为课程促进者，教学的影响者。因此，教师如何帮助学生在已有认知体系、外部认知体系、新概念体系之间建立联结，如何根据学生的讨论和反思，将学生从矛盾和迷茫中引导出来，如何把学生零碎知识点进行聚合，如预判学生学习出现的困难，有效地加以预防，成为评价教师能力的主要内容。学生参与学习的主动性、自主发现知识联结点的能力、元认知水平、主动创造知识能力、创新能力和水平成为评价学生的内容。学习内容的不断深化、更新，教学和学习模式的不断升级，也是评价教学和学习的重要内容。

三  数学三个世界理论下教学过程

教学过程按照运用翻转课堂预习、线上自主学习、收集疑难问题、课堂虚拟仿真条件下核心知识与核心题目学习、小组讨论形成结论和课后巩固提高等步骤展开。

（一）  设计翻转课堂

确定每节课的核心概念、核心定理、核心题目，从教材问题情境入手设计联结点。根据核心概念，引导学生探讨概念间联系，形成概念的全面理解。围绕核心定理，探究与其他定理、性质的关系，全面理解定理。以包含知识内容、解决问题方法为依据，确定核心题目，设计问题情境，探究与其他题目的联系，形成解决问题的一般方法。将上述内容反转给学生，形成对核心知识的前期认识。

（二）  线上自主学习

建立学习微信群，以课代表和部分优秀学生为中心，确定学习小组。基础知识、基本方法、基础题目由小组讨论自主解决，各小组之间相互分享形成解决问题的一般方法。为保证全体学生参与，可以用雨课堂签到的方式，作为平时成绩的一部分。学生不懂的基础问题也可以在微信群里反映，教师在知识联结点、思维联结点、已有解决问题方法联结点处予以启发指导。

（三）  收集疑难问题

学生自主学习中遇到问题，由课代表反馈给教师。例如定积分概念、第二类曲线积分概念、三重积分概念的理解，分部积分法、定积分换元法、二重积分极坐标换元法，第二类曲线积分计算方法，中值定理相关证明、级数应用等。遵循认知累积性建构原则，在新旧知识联结处创设联结，便于引导学生共同解决。对于新知识学习可能出现的问题，教师要有准确预判，设计问题情境，帮助学生解决。

（四）  核心知识学习

核心知识学习包括核心概念、核心定理学习。核心概念按照具体化、符号化、形式化认知顺序，为了帮助学生实现由具体化到符号化的转化，充分运用虚拟仿真技术，引导学生自主形成认知。如曲面积分中，以虚拟仿真动态还原“平面代替曲面”思想产生过程，让学生很自然地接受。积分、中值定理等“形式化”概念和理论学习，以虚拟仿真形式化概念和定理产生过程，在问题中，探究形式化概念与其他形式化概念的联结点、形式化定理之间的联结，通过反思抽象，深化对形式化概念和定理的理解。

（五）  核心题目学习

核心题目的确定，首先来自章节所学核心概念、核心定理，这类题目紧扣概念定理，帮助学生深入理解。其次来自典型方法、典型技能的运用，这类题目对应多种题型，具有触类旁通的效果。再次来自综合型题目，这类题目渗透着核心知识和技能方法的应用，利于提升学生创新能力、发展层次、竞争实力。教师在知识、思维、方法联结点处引导学生自主解决核心题目，并探究与其他题目的联结点，进而加深对核心概念、核心定理、核心方法的理解。

（六）  讨论形成结论

在课前自主学习、交流、分享经验，课上运用虚拟仿真分析问题的基础上，师生共同探究、讨论、形成问题解决的结论。对于具体化问题，在师生共同概括、压缩、抽象，形成概念，并用符号表示基础上，以核心题目探究概念间联系，形成概念体系。对于形式化问题，在分析已有知识和思维联结点基础上，师生共同解决核心题目，形成解决问题的一般方法。变换核心题目，加深对形式化概念、形式化定理的理解，将相关知识、方法加以归纳，形成问题解决的一般模式。对于应用问题，引导学生探求形式化知识与现实的联结点，理解形式化问题产生情境，形成解决应用问题的一般方法。

（七）  反思巩固提高

围绕课堂学习的核心概念、核心定理、核心题目设计课后习题，分为基础题和提高题两种类型，采用线上线下相结合的方式。基础题目由学生完成。提高题目先由学生自主解决，教师检查发现问题，或者学生在线反应疑难点。部分疑难问题教师在线提示或讲解，共同问题课堂讲评，形成解决问题的思路，规律、方法。每章节的设计在线单元练习由学生自主完成。

四  结束语

基于数学三个世界理论的教学改革是一种线上线下有效结合成功实践，其以帮助学生学习抽象知识，形成抽象思维能力，以学生为中心，培养合作学习和自主探究能力为目标，形成一种混合式教学基本框架。笔者在实践中体会到，要保证效果最大化，需要对以下环节予以加强。

（一）  学生忙起来

始终围绕核心知识学习，学生课前、课中、课后三个阶段都要忙起来。课前可采用小组点名和雨课堂点名的形式，保证所有学生都参与。课中学生能讨论解决的问题，放给学生自主解决，让学生充分练习中理解问题。课后让学生有练习、有问题，在学生线上线下都要参与相互学习和讨论，疑难问题先自主解决，而后集中反馈。教师引导学生找出所学知识，所解题目与核心概念、核心定理之间联结点，所解题目与核心题目联结点，系列题目之间的联结点，形成知识网络是学习的基本目标。

（二）  教师强起来

教师围绕核心知识学习，驾驭知识、驾驭学生、驾驭课堂及驾驭问题的能力都要强起来。教师研究课本每章节知识、课外知识、历年知识和题目新变化联结点，做到心中有数。教师要参与到学生線上和线下讨论中，充分了解学生建立知识和思维联结点存在的不足，使教学有针对性。教师对学生课堂提出的问题和可能出现的问题要有准确预判，才能更好驾驭课堂。在充分研究教学内容基础上，对疑难问题、课堂突发问题都能得心应手。

（三）  效果实起来

围绕核心知识学习，强化课前、课中、课后教学和学习实效。翻转课堂阶段学生反馈问题一定要准确，课代表收集问题一定要及时，为保证获得问题的准确性，教师适时参与到群中的步骤必不可少。解决课堂问题一定要落地，让学生确实弄懂、学会，必要时围绕核心概念、核心定理和新题目反复变式，帮助学生探究其中联结点，形成对问题的基本认识，总结出解决问题的基本方法，使学生真正理解知识，会解决这类问题。课后问题一定要有反馈，对课后布置的线上和线下问题和作业一定要有检查和反馈，可采用学生相互检查与教师检查相结合的形式，典型问题采用教师在群里讲评，或者课堂集中讲评的形式，保证教学和学习效果。

参考文献：

[1] 陈航.数学课程思政的探索与实践[J].中国大学教学，2020（11）：44-49.

[2] 周士民，聂立川，王君.认知发展研究新成果-David Tall的数学三个世界理论[J].数学教育学报，22（3）：8-11.

[3] 赵炬明，高筱卉.关于实施“以学生为中心”的本科教学改革的思考[J].中国高教研究，2017（8）：36-40.

[4] 王志军，刘璐，杨阳.联通主义学习行为分析方法体系研究[J].开放教育研究，2019（8）：18-30.

[5] DAVID T. Crystalline concepts in long-term mathematical invention and discovery[J]. For the Learning of Mathematics，2011（3）：3-8.

[6] 毛齐明，王莉娟，代薇.高校翻转课堂的实践反思与超越路径[J].高等教育研究，2019（12）：75-80.

[7] 颜媛媛.VR虚拟现实的理念实现与教学研究[D].石家庄：河北师范大学，2018.

基金项目：全国教育规划一般项目“虚实融合学习空间的深度学习机制及有效支持研究”（BCA220211）;山東省教学改革重点项目“基于数学建模创新实验班培养模式的探索和实践”（Z2021114）;青岛理工大学本科教学模式改革示范课程“高等数学”（F2020-082-高等数学）;青岛理工大学本科教学改革重点项目“‘四维融合、四课融通、四阶递进’数学建模育人模式的探索与实践”（F2023-060）

第一作者简介：周士民（1969-），男，汉族，山东淄博人，硕士，副教授，硕士研究生导师。研究方向为数学教育。