有条件的分式化简与求值问题的解题策略

章瑜

【摘  要】  有条件的分式化简与求值问题，历来是中考的必考题型.本文结合几则典例，提出有条件的分式化简与求值问题的解题策略，以提高学生解题能力，提升学生数学素养.

【关键词】  初中数学；分式化简；求值

有条件的分式化简与求值问题，历来是中考的必考题型.在求解这类问题时，既要瞄准解题目标，又要抓住题目中的关键条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识，还常常用到以下几个解题策略

1  拆项变形，快速抵消

我们通常化简分式是将分式的个数尽量减少，而利用拆项法处理问题的时候，可以从反方向考虑问题，即将分式个数增多，使之出现能相互抵消的项，从而达到化简目的.

例1  计算，并求当时该代数式的值．

解析  本题直接通分，按常规方法计算是不可能的，但我们能用把每个分式写成两个分式的差，就可以先合并，再代入求值．

当时，原式．

点评  这里主要涉及到的两个拆项公式：和，它们都是逆用分式减法法则得到的.

2  着眼全局，整体代入

将条件等式适当变形后，将其整体代数待求分式，往往可以大大减少计算量.

例2  已知，则=__________.

解析  等式两边除以a，

得，

所以，

所以，

所以，

所以，原式===15．

故答案为15．

点评  本题若不用整体代换法，而是由条件等式求出的值，进而将其代入所求分式也可求值，但过程繁琐.

3  比例性质，化繁为简

有些分式求值题，若按常规方法求解可能比较麻烦甚至无法求解，而利用比列性质，则往往可以化繁为简，变难为易，从而优化解题过程.

例3  已知a，b，c为非零实数，且.

若，则的值是______.

解析  设，

又，

因为

所以，

即k＝1.

所以a＋b＝2c，b＋c＝2a，a＋c＝2b.

所以原式＝.

故答案为8.

点评  本题解答时用了比例的合分比性质，把已知连等式中的每一个比值式为一个整体，通过换元法间接求解.

4  未知当已知，三元变两元

当题目给出的等式有多个，且含有多个字母时，往往可将其中一个字母当成已知数，通过解方程组，把其他字母表示成含有该字母的表达式，进而将其代换到待求分式求值.

例4  已知3a－4b－c＝0，2a＋b－8c＝0，计算：的值.

解析  把c当作已知数，用c表示a，b ，

由3a－4b－c＝0，2a＋b－8c＝0，

解得a＝3c，b＝2c

所以＝＝.

点评  这类问题给出的已知条件往往是几个一次齐次方程，而待求分式的分子分母往往也是含有多个字母的齐次式.

5  打破常规，倒数代入

有些分式的分母比分子含有更多的项，我们可以把分子和分母颠倒位置再进行求解.

例5  已知：，则的值为------.

解析  由题意得，

由，

得，

所以，

即，

故答案为

点评  将已知条件取倒数，目的是为了将已知条件变形，以达到整体代换的目的.

6  结语

众所周知，所谓解数学题，就是应用已知條件探求未知结论的过程.如何运用已知条件，是顺利解题的关键，从以上几例的分析可以看出几个常用技巧：（1）直接运用条件；（2）变形运用条件；（3）综合运用条件；（4）挖掘隐含条件.

参考文献：

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