初中阶段化简绝值的几种方法小结

母万里

【摘  要】  著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”“数”与“形”作为数学问题中两个最主要的基本要素与研究对象，二者相互独立又紧紧相联，构建成一个和谐完美的统一体，相互融合，相互渗透，相互转化.本文给出初中阶段绝对值的几种化简方法，希望能够帮助学生们更好理解绝对值，化简绝对值.

【关键词】  初中数学；绝对值；化简

绝对值是历次月考的热点，也中考的必考点.刚入学的七年级新生在七年级上学期就要接触绝对值知识的学习.大多数学生在刚接触到绝对值知识时都感到神秘、抽象、难以理解，主要原因是学生未形成对初中数学知识的整体把握，知识体系不健全，自我反思总结能力不强.在九年级数学知识复习阶段，笔者对初中阶段绝对值的几种化简方法进行了总结.

1  知识回顾

1.1  绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

由绝对值的定义可知绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

1.2  绝对值的几何意义

几何意义  一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.

1.3  绝对值的化简

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2  化简绝对值的几种方法介绍

2.1  深刻掌握性质，运用性质化简.

如沪科版七年级数学教材上册1.2节，第11页例4：求下列各数的绝对值：

，+1，-0.1，4.5.

解  我们可以直接运用绝对值的性质，由性质可得：

是负数，负数的绝对值是其相反数，所以其绝对值为：－（）=，即=；

+1是正数，正数的绝对值为其本身，即|+1|=1；

－0.1是负数，负数的绝对值是其相反数，所以其绝对值为：-（-0.1）=0.1，即|-0.1|=0.1；

4.5是正数，正数的绝对值是其本身，所以其绝对值为：|4.5|=4.5.

解题总结  从九年级的知识高度再反观七年级数学教材的求绝对值例题感觉太简单，解决本题求绝对值的问题关键在于准确理解和掌握绝对值的性质，运用性质就可以轻而易举的求绝对值了.准确运用性质的提前条件是同学们务必对实数进行准确分类，那么按照什么标准分类就很关键.因为从绝对值的性质我们可以看出绝对值的求解与数的正负性有关，所以我们就按数的正负性来分类.对于给出的任何一个数能够准确判断它是正数、还是负数、或者是零，准确分类后运用绝对值的性质，就能快速求出数的绝对值.

2.2  观察数轴定正负，运用性质再化简.

例1  有理数a，b，c在数轴的位置如图1，请化简|a|+|b-cǀ-|c-aǀ.

图1

解析  由数轴可观察到，点a对应的数位于原点的左侧，则a<0，a是负数；点b、c对应的点位于数轴原点的右侧，则b>0，c>0，b、c都是正数；又由数轴上点的分布特点可知：a<b<c，b-c<0，c-a>0，则b-c是负数，c-a是正数.

由绝对值的性质可得|aǀ=-a；|b-cǀ=-（b-c）=c-b；|c-aǀ=c-a.

∴|aǀ+|b-cǀ-|c-aǀ=-a+c-b-c+a=-b.

例2  a、b、c在数轴上的位置如图2，求|a-cǀ-|a+bǀ+|b-cǀ的值.

图2

解析  由点在数轴上的分布特点可知，点a对应的数位于原点的右侧，点b、c对应的数位于原点的左侧，根据数轴上点的分布特点可得：

b<0，c<0，a>0，-b>0，b<c<a<-b；

则a-c>0，a-c是正数；

a+b=a-（-b）<0，a+b是负数；

b-c<0，b-c是负数.

∴|a-c|=a-c；|a+bǀ=-（a+b）=-a-b；|b-cǀ=-（b-c）=c-b，

则可得：|a-cǀ-|a+bǀ+|b-cǀ=a-c-（-a-b）+c-b=2a.

例3  已知a、b、c在数轴上的位置如图3，求|a+cǀ-|b-aǀ-2|a-cǀ+3|b-cǀ的值.

图3

解析  通过观察数轴上点的位置可知，点a、c对应的数位于数轴上原点的右侧，点b所对应的点位于数轴原点的左侧，则可得：

a>0，c>0，b<0，b<a<c.a+c>0，b-a<0，a-c<0，b-c<0；

∴|a+c|=a+c；

|b-a|=-（b-a）=a-b；

|a-c|=-（a-c）=c-a；

|b-c|=-（b-c）=c-b.

∴|a+c|-|b-a|-2|a-c|+3|b-c|=a+c-（a-b）-2（c-a）+3（c-b）

=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b

=2a+2b+2c.

例4  已知點a、b在数轴上的对应位置如图4，求+-的值.

图4

解  由数轴上点a、b所在的位置可得：

-1<a<0，1>b>0，-b<0， a>-b，b>a，b-1<0，a+b=a-（-b）>0，

则|aǀ=-a；|b-1ǀ=-（b-1）=1-b；|a+bǀ=a+b，

∴+-=+-=-1+（-1）-1=-3.

解题总结  观察4道例题可知，4道例题难度依次增加，通过数轴呈现点的位置，从求单个字母的绝对值到求几个字母的和差的绝对值再到化简分式绝对值，难度逐渐增大，但解决该类问题总有方法可依.该类问题总是以数轴为背景，在原点确定的前提下，在数轴上给出若干未知点，让化简这些点所对应数值的和与差的绝对值.这类型题目如何下手解决呢？纵观3道例题的解题过程，可以总结出，解该类题目必须做到数形结合，通过数轴观察点的位置，确定点在原点的哪一侧，从而判断出点所对应数值的正负性，位于原点左侧的点对应的数值为负数，位于原点右侧的点对应的数值为负数，这样一来数轴上任意一点在原点确定的情况下其正负性就可以确定了，当然如果该点位于原点，其绝对值更好求.这样一来，我们根据绝对值的性质就可以快速求出任意一点的绝对值.

那么数轴上任意两点差的绝对值如何求呢？类比任意一点的绝对值求法，同样根据数轴上点的分布特点，判断数轴上任意两点对应数值之差的正负性就可以了.当然如果出现一点位于原点的情况，就转化为任意一点的绝对值求解.如何判断数轴上任意两点对应数值之差的正负性呢？假如规定数轴的正方向为右侧，根据数轴上点的分布特点，则在数轴上自左向右，数轴上点对应的数值依次增大，相反如果自右向左，数轴上点对应的数值依次减小.根据数轴上点的特点，我们可以轻而易举的确定数轴上任意两点之差的正负性.那么我们根据绝对值的性质就可以快速求出任意两点差的绝对值.

数轴上任意两点对应数值之和的绝对值如何求呢？我们可以把加法转化为减法来求，如，这样就可以运用任意两点差的绝对值的求法来求任意两点对应数值之和的绝对值.这样操作的前提是要确定好点和在数轴上的位置，利用数轴上点的分布特点来判断的正负性，进而运用绝对值的性质求解.

2.3  理解几何意义，运用意义化简.

例5  求|aǀ的值.

解析  由绝对值的几何意义可知，|aǀ表示点a到原点的距离，所以|aǀ≥0，也就是说|aǀ的值可以为正数也可以为零.对|aǀ去绝对值有：

.

当然例5也可以对数a的正负性进行分类讨论，分类讨论后直接利用绝对值的性质求解.

例6  求|a-bǀ的值.

解析  首先，该题要求的是a与b差的绝对值，也就是求在数轴上表示数a的点与表示数b的点，这两点之间的距离，则|a-bǀ≥0.对|a-bǀ去绝对值有：

=.

例7  求 |4-（-3）ǀ.

解析  ∵4-（-3）表示数轴上表示4的点与表示-3的点，如图5，这两点之间的距离.

图5

由数轴可以清晰看出，这两点间的距离共有7个单位长度，则这两点间的距离就是7，故|4-（-3）ǀ=7.

例8  已知|X+3ǀ+|X-2ǀ=5，求满足等式的所有X的整数值.

解析  |X+3ǀ+|X-2ǀ=5表示在数轴上表示X的点到（-3）和2所对应的两点距离之和，如图6.

图6

从数轴上可以看到，到（-3）和2两点距离为5的点不可能在数轴上表示2的点的右侧，如果在2的右侧那么点X到（-3）和2两点距离大于5；同理，到（-3）和2两点距离为5的点也不可能在数轴上表示-3的点左侧，这个X只可能位于点-3和2之间（包含两端点），又要求X为整数，故X只能取2、1、0、-1、-2、-3这几个整数点.

解题总结  例1系求单项式a的绝对值，根据绝对值的几何意义，可以直接求出其绝对值；例2系求多项式a-b差的绝对值，也就是求数轴上a点与b点两点之间的距离，类比求|aǀ的方法可以很快求出|a-bǀ的值.例3系求具体两点（4和（-3））差的绝对值，可以借助数轴，从数轴可以直接看出4和（-3）两点之间的距离.例4也是通过数轴寻找满足条件的点，通过对点（-3）和点2的定位，可以容易确定X的整数值.例3和例4通过数形结合，能够快速准确求解.通过对一般的|aǀ和|a-bǀ绝对值的化简到数轴上具体两点表述数值差的绝对值求解，引导学生体验从一般到特殊的思想方法，感悟数学的一般化与特殊化.

2.4  数形结合，精准分类化解.

例9  化简 |X-2ǀ-|X+3ǀ+|X-4ǀ.

解  数轴上点2、点-3和点4将数轴分成4部分.

第一部分在点-3的左侧；第二部分在点-3和点2之间；第三部分在点2和点4之间；第四部分在点4的右侧.如图7数轴标注.

图7

则可分以下几种情况：

①当点X在点-3的左侧时，即X<-3时，X-2<0，X+3<0，X-4<0，

|X-2|=2-X；|X+3|=-X-3；|X-4|=4-X.

此时|X-2|-|X+3|+|X-4|=2-X-（-X-3）+4-X=2-X+X+3+4-X=9+X.

②当X位于-点3和点2之间时，即-3≤X≤2时，X-2<0，X+3>0，X-4<0.

|X-2|=2-X；|X+3|=X+3；|X-4|=4-X.

此时|X-2|-|X+3|+|X-4|=2-X-（X+3）+（4-X）=2-X-X-3+4-X=3-3X.

③当X位于点2和点4之间时，即2≤X≤4时，X-2>0，X+3>0，X-4<0.

|X-2|=X-2；|X+3|=X+3；|X-4|=4-X.

此时|X-2|-|X+3|+|X-4|=X-2-X-3+4-X=-1-X.

④当X位于点4的右侧时，即X≥4时，X-2>0，X+3>0，X-4>0，

|X-2|=X-2；|X+3|=X+3；|X-4|=X-4.

此时|X-2|-|X+3|+|X-4|=X-2-（X+3）+（X-4）=X-2-X-3+X-4=X-9.

解题总结  该题综合性较强，蕴含多种数学解题思想.该题在数形结合的大背景下采用分类讨论的思想对未知数X可能出现的4种情况进行了分类讨论.解决本题的关键是利用数形结合的便利，对X的可能出现情况精准分类，分类后直接运用数轴上任意两点对应数值之差的绝对值的化简方法即可做出来.

3  观察题目类型，精准选择化简方法.

在做求绝对值或者化简绝对值的题目时，我们要根据具体的题目类型选择恰当的解决方法，才能达到事半功倍的效果.如果遇到只是简单求一个具体数的绝对值，那么我们可以根据绝对值的性质直接求即可；如果求任意一个未知数的绝对值，可以直接利用绝对值的几何意义求解，也可以利用分类讨论的思想，再运用绝对值的性质求解.当遇到求任意两个未知数的和与差的绝对值时，我们要结合数轴，将两數和转化为两个数的差，运用绝对值的几何意义求解更方便.总之化简绝对值的方法要根据题目类型而选择确定，在化简时要注意数形结合和分类讨论思想的运用，这样才能让绝对值的化简有章可循，化简过程才能更便捷，化简结果才能更精准.