对于平面几何正方形构造辅助线问题的方法探讨

邹喜梅

【摘  要】  平面几何是初中数学的一个重要的考点，常在正方形、三角形、圆形等特殊几何图形的背景下出题.利用这些图形本身的几何性质，结合平面几何的数学思想，就可以找到此类问题的解题策略.

【关键词】  初中数学；正方形；倍长中线法

构造辅助线是平面几何问题中十分常见的一种方法，在一些特殊的，比较隐晦的解题情境下，构造辅助线则有较高的难度，很多题目往往就是靠一条辅助线就可以解决.下面就根据一些在正方形背景下的有关构造辅助线的问题来总结归纳此类题目的方法策略.

方法1  构造等腰直角三角形法

正方形因为其四边长度相等且存在四个直角的特性，有很多独特的几何性质.而作为三角形中较为特殊的等腰直角三角形就可以通过正方形得出，因此在解决此类正方形背景下的问题时，尝试着去构造等腰直角三角形是一种重要的辅助线画法.

例1  如图1所示，在正方形中，点在對角线上（且点不与点重合），连接，过点作，交边于点.其中，进而证得.

探讨  如图2，点在射线上（且点不与点重合），连接，过点作，交的延长线于点，.若，则四边形的面积为________.

解  如图2所示，连接，

，

是等腰直角三角形.

.

，

所以四边形的面积为.

评析  上述在构造了等腰直角三角形后，利用了腰长相等和勾股定理得到了需要的条件.在实际应用时需要注意到图形在变换过程中从正方形的边或者角得到的量，如果相等，则可以考虑利用此不变量构造等腰直角三角形进行解题，体现了等量的转化思想.

方法2  倍长中线法

倍长中线法是解决三角形中线问题的一类重要方法，下面简单介绍其内容：如图3所示.在中，点为的中点，因此边是的一条中线，将其延长至原来的两倍，就可以构造出全等三角形，从而利用全等三角形的有关性质来优化解题过程.

例2  如图4，在正方形中，为边的中点，分别为边上的点，若求的长.

解  如图4所示，延长交的延长线于点

四边形是正方形，

.

为边的中点，

，

全等于

，

.

，

，

，

评析  倍长中线法重要的是其思想原理：通过延长中线，寻找全等三角形.在正方形中，也可以围绕着中点进行研究，通过延长某一过中点的线段来构造全等的图形，从而将某些几何量进行位置上的转化，便于求解.

方法3  垂直平分法

垂直平分法的原理是在直角三角形的基础上，通过构造中点或者角平分线，使原来的直角三角形变为一个与其对称的直角三角形所合成的大三角形.这时就相当于对原三角形进行了一个位置上的变迁，条件也因此可以有更多的实用角度.

例3  如图5所示，点分别在正方形的边上，和交于点，过点作于点，若，，则线段的长为______.

解  如图5所示，在上截取，连接，

.

，

即.

，

全等于.

.

设，

在中，由勾股定理可得，代入可得.

在中，

.

评析  垂直平分法可以构造出更多的几何图形，本质上利用的是一个条件转移的方法，在遇到直角三角形时，可以尝试运用此方法.

结语

以上三种方法都是平面几何正方形背景下的常用方法，等腰直角三角形法是充分利用了正方形的几何特性，倍长中线法则关键在于其使用全等的思想，垂直平分法则是利用了“中点原理”.教学中要引导学生灵活选择，分析情境，在找到合适的解法思路后再着手解题.