一道平行线中角度问题的教学实录

2024-01-11莫益群

数理化解题研究 2023年35期

关键词：辅助线平行线内角

莫益群

(浙江省宁波市余姚市三七市镇初级中学,浙江宁波 315412)

对平行线问题的处理和简单角度问题的计算,是初中生必备的能力.学生在解决这类试题的过程中,可以提高计算能力,培养直观想象素养.

1 试题呈现

笔者在课堂上呈现如下试题:

如图1所示,已知l∥m,∠1=135°,∠2=95°,求∠3.

图1 试题图

2 百花齐放,解法荟萃

经过2分钟的思考后,生1给出了如下解答.

生1:解法1 如图2所示,作直线n∥l.

教师点评生1的解法思路清晰、过程简洁,很精彩,充分利用了平行线的性质,两条平行线被第三条直线所截,这是平面几何中一个重要的解题模型[1].

图2 解法1图

生2观察生1的解答过程,受到启示,给出了如下的解法.

生2:解法2 延长AB,JC交于点H,如图3所示.

∵m∥l,∴∠1+∠BHC=180°.

∵∠2=∠BHC+∠BCH=∠BHC+180°-∠3,

∴∠1+∠2+∠3=∠BHC+180°-∠3+∠1+∠3=∠BHC+∠1+180°=180°+180°=360°,

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评与解法1相比,解法2也是通过构造平行线被第三条直线所截来做的,构造辅助线后图形不如解法1的对称,相应的解题过程也就更繁琐了.不过能有如此的探究精神,是值得表扬的.

如果应用对称的思想,则图1中AB、BC是平等的,延长AB,JC可以解决,那么延长CB、KA交于一点也必定可以解决,而且过程完全相似.同学们下课后自己去试试.

图3 解法2图

生3这时也举手了,说想到了一种简便方法.

生3:解法3 连接AC,如图4所示.

∵l∥m,∴∠KAC+∠JCA=180°.

又∵∠2+∠BAC+∠ACB=180°,

∴∠1+∠2+∠3

=∠2+∠BAC+∠ACB+∠KAC+∠JCA=180°+180°=360°,

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评解法3也是通过构造平行线被第三条直线所截来做的.与解法2相比,由于辅助线并没有改变原图的对称性,解答过程相应的也简单.生3构造了一个△ABC,用到了三角形的内角和.那么能够通过构造一个四边形来解决么?

图4 解法3图

同学们思考了2分钟后,生4举手了,说已经想到了如何利用四边形的内角和来解决了.

生4:解法4 过A点作直线AH交CJ于点H,如图5所示.

∵m∥l,∴∠KAH=∠AHC,

∴∠1+∠2+∠3=∠BAH+∠KAH+∠2+∠3=∠BAH+∠AHC+∠2+∠3=360°(四边形内角和为360°).

教师点评解法4也通过构造平行线被第三条直线所截来做,只是构造了四边形,不仅用了平行线的性质,而且用到了四边形的内角和.相对与解法2来说,作辅助线后更为对称,相应的解法也更简单.与解法3比较,因为AH可以有无数条,所以不如解法3的图形对称.从对称的角度来看,点A与点C是平等的,既然过A点作直线AH可以解这道题,那么,过点C作直线与l相交也必然可以解决这道题,而且过程完全相似,同学们下课后自行解决.