2021年全国高中数学联赛(A1)卷解析几何题的解法探究

宋长芬

(福建省福州第八中学,福建 福州 350004)

2021年全国数学联赛(A1)卷的解析几何题,作为一试的最后一题,对考生的数学能力要求较高,有很好的区分度,有助于选拔优秀的竞赛选手,是个难得的好题.笔者经过探究,从解析法和参数法两个视角给出四种解法,供读者参考、研究.

1 赛题再现

图1 竞赛题图

2 解法探究

解法1 易知F1的坐标为(-1,0),F2的坐标为(1,0).设P、Q1、Q2的坐标分别为(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2), 由条件知x0,y0>0,y1<0,y2<0.

由椭圆定义,得

又|F1F2|=2,

以下先求y1-y2.

解法2利用椭圆的参数方程.

以下先求y1-y2.

解法3 利用椭圆的参数方程.

下面用α的三角函数表示sinβ.

由万能公式及

解法4 利用椭圆的参数方程.

由焦半径公式, 得

又因为kPF1=kQ1F1,

①

②

由①②及比例性质,得

下同解法3.

对于一道经典的联赛题,学生不仅要会做、做全,更要思考如何从多角度来求解. 通过探究一道题,达到会做一类题的效果,这不仅可以锻炼学生的数学思维,也开拓了学生数学视野,帮助其进一步认识数学的本质,从而提高数学能力、提升数学素养.