应用“齐次化”思想解题分类解析

钱怡洁

(张家港市第二中学,江苏 张家港 215600)

数学中的齐次式是指一个多项式或者分式中各单项式的次数均相同的式子.初中数学中的许多乘法公式比如平方差公式、完全平方公式及勾股定理等都是典型的齐次式,它们体现了数学的结构之美和对称之美.对于一些非“齐次”的问题转化为“齐次”问题来处理,这就是数学解题中的“齐次化思想”[1].运用“齐次化”思想解题,可以迅速寻找到解题的思路,将问题化繁为简、化难为易,从而使问题得以圆满地解答.下面举例分类解析“齐次化”思想在解题中的应用.

1 在整式问题中的应用

例1 (2022年江苏省南通市中考10)已知实数m、n满足m2+n2=2+mn,则(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)的最大值为( ).

分析已知等式是非齐次式,目标式是“齐二次”多项式,首先分别将已知式代入完全平方和公式与完全平方差公式,利用非负性求出mn的范围,然后将目标式展开并将已知式代入得到关于mn的式子求解.

解因为(m+n)2=m2+n2+2mn,

将m2+n2=2+mn

代入得(m+n)2=2+mn+2mn=2+3mn.

因为(m-n)2=m2+n2-2mn,

将m2+n2=2+mn

代入得(m-n)2=2+mn-2mn=2-mn.

由(m-n)2≥0,得2-mn≥0,解得mn≤2,

当m-n=0时,取等号.

故选B.

点评本题充分利用完全平方公式及目标式的“齐次化”解答,考查了完全平方公式、整式的乘法等知识,是“齐次化”思想应用的典型考题.

2 在分式问题中的应用

例2 (第13届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题2)如果

分析已知给出的是“齐一次”连等整式,所求的是“齐一次”分式,将已知连等式引进参数,然后解方程组分别用参数表示a,b,c,最后代入所求式整体约去参数即可.

点评本题若由已知连等式转换得到的三元一次方程组分别求出a,b,c的值后,代入所求式求值,计算较繁,而这里应用“齐次化”思想求解则比较简捷.

分析所求式是一个“齐二次”分式,根据已知等式运用非负数的性质和两边夹法则求出a的值,代回已知等式后求出变量x,y的关系,最后利用“齐次化”思想求解.

从而得a=0.

将所求式的分子、分母都除以y2,得所以

故选B.

3 在方程问题中的应用

点评本题考查一元二次方程根与系数的关系及“齐次化”思想的解题应用.

4 在几何问题中的应用

图1 例5题图

解设FC=m,AF=n,因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以AB2=AF·AC.

又因为FC=DC=AB,

所以m2=n(n+m),

又Rt△AFE∽Rt△CFB,

点评本题通过引入参数,运用“齐次化”思想求解几何问题,体现了“齐次化”思想应用的广泛性.

5 在解直角三角形问题中的应用

例6(2022年江苏省扬州市中考18)如图2,在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sinA的值为____.

分析条件等式是关于三角形三边的“齐二次”关系,运用“齐次化”思想和直角三角形中锐角三角函数的定义解答.

解如图2所示,在△ABC中,∠C=90°,所以由勾股定理得c2=a2+b2,所以b2=c2-a2.

图2 例6题图

点评本题考查“齐次化”思想及勾股定理和锐角三角函数的定义在解题中的应用.