高中数学三角函数常规题型解题策略分析——以正余弦定理为例

张多昌

(甘肃省民乐县职业教育中心学校,甘肃 民乐 734500)

正余弦定理是高中数学中的重要内容,主要应用于三角函数中“解三角形”的相关问题中,考查的形式有选择题、填空题、解答题三种,难度为中等或者中等偏上.在实际解决问题中,学生通常需要以该定理为工具,结合三角恒等变换、面积公式等进行求解,对学生的转化思想和推理能力等数学学科的核心素养要求较高[1].然而,目前的教学中,发现有很大一部分学生轻视了对该定理的学习,只是生硬地记住定理公式,对其结构特征和应用方法不甚了解,导致在实际应用中难以解决问题[2].本文结合具体实例,对正余弦定理的应用策略进行讲解.

1 正弦定理和余弦定理介绍

在△ABC中,若角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则有

表1 正弦定理和余弦定理

2 正余弦定理在高中数学三角函数常规题型中的应用

2.1 求解三角形的边长或者角度大小

A．30° B．45° C．60° D．60°或120°

例2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,求A+B的大小( ).

解法探究利用余弦定理,可以解决已知三角形的三边长度,求解三角形角度大小的问题.

2.2 判断三角形的形状

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．等边三角形

D．直角三角形

2.3 结合不等式求解最值问题

2.4 求解三角形面积或者周长

2.5 求解与平面几何相关问题

图1 △ABC示意图

总之,正弦定理的解题策略主要是边化角,余弦定理的解题策略主要是角化边.近些年,对该定理的考查,不再仅仅是简单地套用公式,通常会与其他知识点(如三角形的内角和定理、三角形的面积公式、三角恒等变换及均值不等式等)结合,进行综合性考查,具有一定的难度,需要学生能够灵活运用数学知识.此外,强大的计算能力和转化思维,也是解题的关键.教师在教学过程中,要注意培养学生综合运用知识的能力,学会从不同角度思考问题,发散解题思维,形成解题策略,提高解题能力,发展数学核心素养[3].