立足核心概念 明晰思维路径 积淀核心素养

崔涛　朱向东

1 原题呈现

如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，过点P作MN⊥DE分别交BC，AD于M，N.

（1）如图1，求证：MN=DE.

（2）如图2，点F与点C关于直线DE对称，连接FA并延長交直线DE于点G，连接BG.

①设∠ADE的度数为x，求∠DGF的度数；

②猜想AF与BG之间的数量关系，并证明.

2 解题思路分析

核心概念，居于学科知识的中心地位，具有广泛的适用性和解释力.在认知结构中，核心概念表现出网络状、持久性和可迁移等特点.对核心概念的深度理解，能够帮助学生把握知识本质，形成学科观念；推动知识关联的高效形成，发展应用能力；生长和优化认知结构，培养核心素养.

对于第（2）大问的第②小问，笔者立足核心概念，深挖概念背后的本质属性，明晰思维路径，联通知识网络.利用几何直观，图形化核心概念的内涵，给出如下解题方案：

第一种方案是以“轴对称”为问题分析的起点，构造基本图.利用图形关系，与正方形的相关性质形成关联.通过三角形相似或三角函数，落脚于线段的比，实现目标线段数量关系的求解.

第二种方案是立足“等腰三角形”，结合先验知识，添加常用辅助线.聚焦图形变化，与正方形的相关性质形成关联.通过几何直观，进一步拟定解题策略.通过三角形相似或三角函数，求得目标线段的数量关系.

3 解题方案实施

结合上面的两种方案，有如下6种具体思路和解法.

思路1：聚焦轴对称，构造基本图.通过几何直观，猜想并证明△CAF与△CBG相似.借助相似比，求得目标线段之间的数量关系.

思路2：以轴对称为起点，基本图为根本.通过构造和证明△CBH与△ABG全等，得到与线段AG等长的线段CH.最后，通过线段和差与等腰直角三角形BGH的相关性质，求得目标线段之间的数量关系.

4 反思

通过思维路径的明晰和解题方案的实施，不难发现，核心概念作为问题分析的起点、知识融合的关联点、素养提升的落脚点，贯穿解题活动的始终.核心概念背后潜藏的知识、方法和思想，反映出学科的主要观点和思维方式，搭建成学科骨架，内化为认知结构的主干.为了加深数学理解、追求数学本质、发展关键能力、养成必备品格，笔者立足“三会”，从核心概念的视角，对积淀核心素养的方法进行了如下几点思考：

4.1 丰富核心概念的图形化内涵，发展几何直观

在我国现代汉语词典中，对“直观”的解释是：用感官直接接受，直接观察.国内学者和教育家则认为：直观是直接从感觉和具体背后，发现抽象的实质.新课标对几何直观的定义为：运用图表描述和分析问题的意识和习惯.在教学和解题活动中，将核心概念的内涵图形化，有利于发现思维起点，洞察知识关联点，把握问题本质，培养数学眼光.

4.2 厘清核心概念潜藏的内在关联，提升推理能力

对核心概念的学习，应该更侧重于概念背后的知识、方法和思想，侧重于思维方式的建立和意识、观念的形成.在教学和解题活动中，应注重对学生循循善诱，启发引导.在探求概念实质的过程中，积累推理经验，体悟数学思想.在对问题的发现、提出、猜想与证明的过程中，深化逻辑思维，提升推理能力.养成讲道理、有条理的学科思维品质.

4.3 感悟核心概念的统摄性和解释力，凝练数学表达

思维的统摄性，是指在思考和处理复杂的系统性事物时，能够统筹兼顾各个部分，进行优化操作，使繁杂而浩大的思维工程有条不紊地进行.

核心概念在学科知识中的统摄性，体现在其对学科知识的包容性、关联性，以及普遍存在性和广泛迁移性.核心概念统摄学科知识的学习，学科思维的发展，学科观念的形成.在教学和解题活动中，应引领学生发挥好核心概念的普遍解释力，凝练好数学语言，多途径、分层次地对数学观点进行精准表达.渗透用数学语言表达现实世界的意识，发展用数学语言表达现实世界的能力.