一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用

刘陈

摘要：结合五则典例，探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状、求代数式的值、构造倍根方程、求代数式的最值、求参数的值等方面的运用，帮助学生积累数学活动经验，发展学生核心素养.

关键词：一元二次方程；判别式；数学活动经验；核心素养

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，可用来判断三角形的形状，求代数式的值，构造倍根方程，求代数式的最值，求参数的值等，这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值，另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系，有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握.

1 判断三角形的形状

当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时，一元二次方程和三角形之间就有了联系，利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状^［1］.

例1 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，方程（a+c）x²+2bx+（a-c）＝0是关于x的一元二次方程.

（1）当x＝-1时，你能确定△ABC的形状吗？为什么？

（2）当方程有两个相等的实根时，你能确定△ABC的形状吗？为什么？

解析：（1）由題意，把x＝-1代入方程，得a+c-2b+a-c＝0，整理得a＝b.因为a，b，c分别为△ABC三边的长，所以△ABC为等腰三角形.

（2）由题意，Δ＝（2b）²-4（a+c）（a-c）＝0，整得得b²+c²＝a².因为a，b，c分别为△ABC三边的长，所以由勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形.

评注：当三角形的三边为一元二次方程的系数时，三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系，本题设置的两个问题对此做了很好的诠释.

2 求代数式的值

评注：本题第（2）小题以m作为联系的纽带，

根据第一个方程中根与系数的关系求出m的值，然后代入关于a，b的方程中消去m，从而显现出a，b的本质，再与勾股定理的逆定理结合，使问题转化为几何问题^［2］.

3 求代数式的最值

利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值，也可以求代数式的最值.当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于或等于0，可以据此求得字母的取值范围，当所求代数式化为含有该字母的代数式时，就可以求得它的最值.

例3 一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的数量关系，相应的命题被称为韦达定理，根据韦达定理解决下面问题：

4 探讨代数式的值能否为定值

对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题，应先假设这个代数式的值能为定值，从而建立方程求得字母的值，然后检验这个值能否满足原方程有实根，使原方程有实根的值就是符合题意的值.

评注：一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的，所以利用根与系数关系得到的字母的值，一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内.只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值.

积累数学活动经验是数学教学的目标之一.以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用，有利于学生明白二者之间的依存关系，以及如何利用这两个工具解答相关问题，也有利于学生积累解题经验，促进学生核心素养的发展.

参考文献：

［1］黄细把.一元二次方程“联姻”三角形［J］.今日中学生，2015（Z6）：25-26.

［2］朱亚邦.勾股定理（逆定理）应用的几种场景［J］.中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2017（3）：16-17.