激活·建构·迁移：初中数学主题化习题课探索

摘要：结合具体案例阐述主题化习题课的内涵，其环节一般包括激活经验获得主题、聚焦本质建构方法、迁移应用发展能力三个关键步骤，对教师的专业能力提出了更高的要求.选择主题要符合学生的需求，在实施教学时要突出对学生思维能力的培养.

关键词：主题化；习题课；主题化习题课

数学习题是学生巩固知识、总结方法、形成经验的载体，是学生学习和教师教学不可或缺的一部分.然而，当前初中数学习题课存在习题不具备典型性、课堂一味强调大容量训练等问题，导致学生对习题课缺乏兴趣、思维难以提升.笔者结合多年教学经验，用主题化习题课研究融合知识技能的巩固提升和数学思想方法的理解，从单元知识网络结构化、问题解决思考有序化、数学应用拓展生活化三个视角探索主题化习题课教学的一般形式和方法.

1 主题化习题课的概述

所谓主题化习题课教学^［1］，是指在基础知识的回顾和整理及基础知识、基本技能训练后，综合运用单元知识对某些类别的典型或重要问题进行深入研究，体会数学思想方法，积累可迁移的解题经验.笔者将主题化习题课分为：主题化单元复习习题课、主题化专题复习习题课、主题化拓展性教学习题课.

主题化单元复习习题课（以下简称单元习题课），通常安排在某个章节或单元内容学习之后，学生通过适量的、有梯度的习题的解决，梳理出知识结构，串珠成链，体会其思想方法，达到单元知识网络化的目的.主题化专题复习习题课（以下简称专题习题课），一般安排在各单元学习之后，或是专题复习之时，运用“整体—联系”的视角，将各个相關知识串线成网；或是运用一种思想方法解决一类数学问题，做到问题解决思考有序化，它能有效解决教材中各块知识螺旋上升的问题.主题化拓展性教学习题课（以下简称拓展习题课）是将课内、课外的知识组织起来，形成一个具有挑战性的学习主题，实现跨学科知识的融合，学生通过运用数学知识或思想解决这类问题，实现发展思维、提升素养的目的，做到数学应用拓展生活化，它是教学的有益补充.

2 主题化习题课的教学

主题化习题课教学能将零散的、碎片化的知识进行整合，有助于学生提炼解决问题的一般方法，在知识的再认识过程中加深对其本质的理解，进一步领悟数学思想方法，达到知识的融会贯通、运用自如.笔者在研究的过程中形成了如下教学思路（如图1），使得单元知识网络结构化，问题解决思考有序化，数学应用拓展生活化.现分步骤进行阐述.

2.1 激活经验，获得主题

此环节的重点在于通过精心设置研究主题，以典型问题引导学生回忆已学内容，激发学习兴趣.在实施过程中要注意构建合适的主题，厘清知识结构或所呈现的思想方法，并制定好相应的教学目标；依据目标，选择典型的习题（或题组），学生自主解决问题，教师及时追问，以此达到激活学生经验的目的，所设置的习题应具备典型性、思考性、启发性，并且习题入口要宽，难度不宜过大.

2.1.1 单元习题课：激活旧知，思考知识之间的关联

单元习题课，重在激活旧知，启发学生思考零碎的知识点之间是否有关联，能否建立联系.例如，在学习二次函数的图象和性质之后安排的习题课，设计如下引例.

案例1 函数y=x²-2x-1图象上有两点P（x₁，p），Q（x₂，q），且p＞q.请你找出一组符合条件的x₁，x₂的值.

教学简述：学生通过尝试，写出x₁，x₂的值.教师提问“请判断你所写的值是否正确，你是怎样判断的？”自然获得代入法.接着，教师通过追问“有没有一眼望穿的方法？”顺势归纳出图象法，并引导学生将所写的x₁，x₂进行分类，根据对称轴（直线x=1）及p＞q的情况分成对称轴左侧、右侧、两侧三类，由此启发学生思考这三类情况涉及的数学知识.

分析：通过此例，一方面，学生归纳了解决此类问题的常用方法（代入法和图象法）；另一方面，通过启发学生思考解法背后隐藏的数学知识，在数学知识、解题策略之间架起来一座桥梁，构建了研究主题.

2.1.2 专题习题课：激活经验，思考问题解决的方法

专题习题课，重在激活经验，构建解决此类问题的一般方法，形成规范、有序思考问题的习惯.例如，在“运用对称解决一类几何问题”^［1］习题课中，设置如下引例.

案例2 在△ABC中，AB=AC，若P是AB边上一点，连接CP.请在AC边上找一点Q，连接BQ，使之变为轴对称图形，写出一组条件.

教学简述：通过添加条件（如BP=CQ），变成轴对称图形后，思考是否可以得到有关相等的角、相等的线段、全等图形的新结论.细思缘由，均源于等腰三角形的对称性.进一步生成新问题——在①AB=AC，②BQ=CP，③BP=CQ中任选两个为条件，另一个为结论构成命题，试写出其中的真命题.

分析：从熟悉的等腰三角形中积累经验，可先将不对称的图形，通过添辅助线，变成轴对称图形（如图2）；观察通过添辅助线后出现了怎样的新图形，从新图形中发现了怎样的结论或新的解题思路，由此归纳解决这类对称图形问题的一般方法，为运用此方法解决问题作准备.

2.1.3 拓展习题课：激活思维，思考研究问题的方法

拓展习题课，重在以知识点为纽带，激活思维，构建学习主题.如在“黄金分割主题化拓展性教学”^［2］中，由断臂维纳斯雕像抽象出黄金分割的概念、计算出黄金比后，设置如下引例.

案例3 （1）如图3，设AB＝a，BC＝b，记φ=a+ba=ab，则（）.

A.φ²=1+φ

B.φ²=1-φ

C.φ²=5+φ

D.φ²=5-φ

（2）如图3，B是线段AC的黄金分割点，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFE和正方形BCHG，得到矩形ACME（如图4）.通过计算，找出图4中的黄金矩形.

教学简述：对于第（1）题，学生得到φ²＝φ＋1后，教师启发，两边同除以φ后，得φ=1+1φ，进而可得φ=1+11+1φ，φ=1+11+11+……；若写成假分数，发现11，21，32，53，85，……；学生发现斐波那契数列，通过计算，发现这列数值接近黄金比的倒数1.62.对于第（2）题，学生通过计算，发现矩形HMFG也是黄金矩形，教师通过追问“在矩形HMFG中再得到一个黄金矩形”，近而体会无限分割的思想.

分析：通过黄金分割的代数表达和其在二维图形中的几何表达设置引例，关联繁分数斐波那契数列、黄金矩形等相关知识，激活问题解决的经验，体会用有限估计无限的思想以及无限分割的思想，为引出黄金螺线、斐波那契螺线作铺垫，以此为数学应用拓展生活化作准备.

2.2 聚焦本质，建构方法

主题化学习不只是学习单一的概念、原理，更重要的是基于理解将看似孤立的、静态的、分散的学习内容，内在地“组织”起来，形成有一定关联的知识结构.学习过程中需要引导学生用“怎样研究一类数学对象”的大观念引领知识体系的重构，其核心在相互联系中深化对知识的理解，体会数学思想方法，建构解决问题的方法.

2.2.1 单元习题课：单元知识网络化

单元习题课，重在将零碎的知识进行重构，使学生从整体上理解知识的本质，建构知识体系.

例如，在“解一元二次方程习题课”^［3］中，将开平方法的步骤中增加一步，由x²＝a，得（x＋a）（x＋a）＝0，则x＝±a，由此可将开平方法和因式分解法统一起来；对于配方法，将ax²＋bx＋c＝0（a≠0）配成（2ax＋b）²＝b²-4ac≥0后，利用因式分解得（2ax＋b＋b²-4ac）（2ax＋b-b²-4ac）＝0，则2ax＋b＋b²-4ac＝0或2ax＋b-b²-4ac＝0，进而获得一元二次方程的求根公式.这样，学生就理解了配方法、公式法和因式分解法一样，都是通过降次实现“化归”.这样将四种解法统一起来，理解四种解法的内在一致性，形成知识的网络化.

2.2.2 专题习题课：问题解决的思考有序化

专题习题课，重在从不同知识背景中建构出解决问题的一般方法，使问题解决的思考有序化.

在案例2中，已知AB=AC，BQ=CP，未必能推出BP=CQ.因为以B为圆心，以BQ长为半径作圆，与AC边有两个交点.此时可继续研究，将另一个交点记为Q′，如图5，连接BQ′后，观察产生的新图形——等腰三角形BQQ′和两对相似三角形（△BPF∽△BQA，△FQC∽△APC），此时就可以求任何一条线段的长度.引导学生尝试添加条件，给出一些线段的长度，求BF的长.

教师也可以增加难度，给出条件“AB=AC=10，BP=4，CQ=2”，让学生思考具体的解法.

最后形成解决此类问题的一般思考方式：在对称图形中，尝试先将不对称问题通过添辅助线将之转化成轴对称图形问题，然后观察产生了哪些新的圖形，从新图形的解题套路中获得解题思路.

2.2.3 拓展习题课：数学拓展应用生活化

拓展习题课，重在通过数学的学习，建立数学和现实生活的联系，使学生学会用数学的眼光观察世界，掌握研究问题的一般方法.例如，在案例3中，学生体会到无限分割的思想后，得到斐波那契螺线和黄金螺线（如图6），同时展示如图7的图片.

培养学生能用数学的眼光从现实生活中发现斐波那契螺线、黄金螺线，建立他们与黄金矩形的广泛联系，同时也获得了一类几何对象的研究方法.

2.3 迁移应用，发展能力

主题化学习还需要将知识或方法迁移到新的问题情境中加以应用，经历数学知识的“再创造”过程，体会知识的本质，而不是机械的记忆、模式化的套用和重复性的训练.在主题化习题课中，所使用的问题应具有一定的梯度和层次性，帮助学生充分挖掘问题的核心与本质，在变化和应用中促使学生深入思考，在不断转化过程中把握问题的本质，寻找新的解决问题的方法，在问题解决过程中，促进对数学知识的深入理解以及方法的掌握，拓展思维的深度和广度，从而发展数学能力，实现深度学习.

在单元习题课“一元二次方程解法习题课”的迁移环节，可给出习题“解方程x-1＝2”.面对这样相对陌生的问题，学生需要对知识进行迁移.由解一元二次方程的经验可知，解方程最终需要化成“x＝？”的形式，怎样化归，学生自然会想到两边平方.这样，学生就将一元二次方程解法中的“通过降次”实现化归，正向迁移到“通过两边平方”实现化无理方程为有理方程的化归，做到思想方法上的迁移.

在专题习题课“运用对称解决一类几何问题”^［1］的迁移环节，安排如下习题：

如图8，在矩形ABCD中，CE平分∠ACB，点F是AD的中点，若∠1=∠2，求ABBC的值.

利用矩形ABCD中AD边的中点F，通过连接BF（如图9），或取BC中点M，连接DM（如图10），将之变成轴对称图形，然后观察，产生新的图形等腰三角形，即可推得答案，实现解题策略上的迁移.

在拓展习题课“黄金分割主题化拓展性教学”迁移环节，安排学生研究由人马图抽象成的正五边形ABCDE，如图11.学生根据前两个环节，获得了研究几何对象的经验，将此迁移到正五边形，只需研究正五边形的角、边以及线段之间的关系.学生经过合作，获得了“F和J是对角线BE的一对黄金分割点”“sin 18°·cos 36°＝14”等远超老师预设的结论.学生学会了如何研究一个几何对象，实现了研究方法上的迁移.

3 主体化习题课的教学思考

3.1 主题的选择要契合学生的需要

在确定主题化习题课学习主题时应充分考虑学生的需要，明确哪些主题能将看似孤立的、分散的知识按照一定的结构有机结合在一起，实现知识的融会贯通；哪些主题能帮助学生揭示其背后的通性通法，高效地解决某一类问题；哪些主题能帮助学生建立数学与其他学科的联系，体会数学的基础性和应用性.例如，学生在学完一元二次方程的四种解法后，需要选择适当的解法快速求解方程，需要体会四种解法的内在一致性，形成知识的网络化.再如，学生学完等腰三角形、矩形、菱形、正方形等轴对称图形之后，需要利用轴对称图形的性质，快速转化条件形成解题有序思考路径.又如，学生学完黄金分割，需要利用黄金比串连起分数、斐波那契数列、黄金矩形等相关知识，需要运用数学的眼光发现人文、建筑、艺术中蕴含的“黄金”之美，形成研究一类新的几何对象的一般方法.教师如果善于发现学生的这些需要，那么利用适量的、典型的、有启发性的习题.即可构建起逻辑连贯、前后一致的学习主题.

3.2 教学的实施要突出思维的培养

学生思维能力的培养贯穿整个主题化习题课的教学.在教学实施环节，启发学生思考，培养学生有序思考的能力，不一味机械地重复操练，让学生“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”.例如，在揭示一元二次方程四种解法内在一致性的单元习题课中，学生知道四种解法均是通过“降次”的方法实现化归之后，教师通过设置问题“x+1＝2怎样解”，通过追问“解方程最终要化成什么形式”“通过怎样的方法能化成这样的形式”来启发学生思考，让学生明确也可通过“两边平方”实现将无理方程转化为有理方程，进一步体会化归思想.又如，学生掌握了研究几何对象的一般方法后，通过自主研究正五边形，获得了比教师预设的更多的结论.如图11中，可以利用JE，AJ重新构造正五边形，新構造的正五边形与原正五边形的边长之比是5-12，而且可以一直构造下去.这一成果离古希腊学者发现和证明无理数仅一步之遥.更重要的是，在解题过程中先让学生充分思考，做到“学生先行、交流在中、教师断后”，帮助学生透过现象看本质，达到会一题通一片的效果，培养有序思考能力，发展数学核心素养.

3.3 教学的深入取决于教师专业素养

主题化习题课的设计与实施需要教师有系统、整体地分析内容及驾驭课堂的能力，需要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上设计主题，帮助学生连贯、深入、有序地研究和思考问题；需要选择、改编或者原创典型的、适量的、有启发性的习题，在更高认知层次上形成解决一类问题的一般方法，发展学生的核心素养.这些均需要教师有较高的专业素养.教师应不断加强这方面的学习和思考，将主题化习题课教学推向深入.

参考文献：

［1］金红江.再谈主题化习题课教学设计［J］.中学数学，2021（22）：35-36，50.

［2］金红江，王红权.黄金分割主题化拓展性教学活动设计［J］.中国数学教育，2022（23）：31-35.

［3］金红江. 基于整体分析谈初中数学习题课的设计——以解一元二次方程习题课为例［J］.中学数学，2020（14）：38-40.