对比分析排列组合问题，深入探究试题命题模式

陈国林

排列组合问题是学习概率问题的基础，它对后续学习一些常见的数学模型起着纽带作用. 例如，在学习古典概型时，由于两者的联系紧密，就需要在熟练掌握排列组合的基础上进行解题.对于排列组合问题的学习，要紧紧围绕事件展开，这类知识的学习要能 够通过对比分析，从不同角度进行比较，深入理解排列和组合的区别与联系，通过教材探源，对高考试题的命题变化进行分析，才能做到解决此类问题游刃有余．

一、排列组合的的命题特点

排列组合问题是高考试题中最常见的一种命题考点，考查形式主要呈现为单选题和填空题. 这类试题不排除命制多选题的可能，但仅考查排列组合试题的单一命题模式的解答题的考查可能性依然较小，若有涉及，也多与离散型随机变量的分布列和数学期望进行综合检测.通过近年来的排列组合高考真题进行分析，不难发现，排列组合的的命题特点呈现出实用性、应用性和情境化，常以现实生活为载体，常见的热点命题情境有体育赛事、时事热点、志愿服务、文艺汇演等.通常情况下，排列组合问题考查难度不大，但能够较好的对学生的数学建模和逻辑推理素养进行检测，而且能够通过设计数学情境考查考生利用数学知识解决实际问题的能力. 因此，这类考题在未来高考试题中的考查可能会进一步加强和提升．

二、排列组合的解题思路

排列（组合）问题是从n个不同的元素中选取m（m≤n）个元素的所有排列（组合）的个数，在解决排列组合问题时关键在于审清题意，确定所解决的问题是属于排列问题还是组合问题，并依据题目中的条件找出问题中所给出的关键元素，对所寻找的元素与顺序、相关位置的关系进行判断，观察题目中是否对所给的元素有特殊要求.如果题目所给的问题不是单一知识组成的问题，则需利用排列知识外，还要利用组合知识进行求解，即采用先组合后排列的方法进行对所给问题进行解答．

三、真题探究

典例1.（2023新高考 Ⅲ卷T 13）某学校开设了 4门体育类选修课和 4门艺术类选修课，学生需从这 8门课中选修 2门或 3门课，并且每类选修课至少选修 1门，则不同的选课方案共有____  种（用数字作答）．

【问题分析】问题要求从8门课程中选修2门或3门课程，因此需要进行分类，又因为所有课程共分为2类，而且每类课程至少选择1门，通过分类计算可得不同的选课方案种数为64．

【解析】若从8门所给的课中选修2门课，每类课程各选1门， 则有C1 4·C1 4=16种选课方案； 若从这8门课中选修3门课，则可以从体育类课程中选择1门，从艺术类课程中选择2门或者从体育类课程中选择2门，从艺术类课程中选择1门， 则有C1 4·C2 4+C2 4·C1 4=48种方案，故有64种不同的选课方案．

【变式1】若4位同学需要从学校所开设的 4门课程中选则1门进行学习，则不同的选课方案为 ____种．

【解析】4位同学从4门体育类选修课程中选修1门，根据分布计数原理可知共有44=256种选课方案．

【变式2】4位同学从学校开设的 4门体育类选修课程中选修1门，若4位同学选修的课程各不相同，则不同的选课方案为____ 种．

【解析】4位同学从4门体育类选修课程中选修1门且选修的课程各不相同，则共有4×3×2×1=24种选课方案．

【变式3】3位同学从4门体育类选修课程中各选择2门，若4门课程中均有同学选修，则不同的选课方法种数为____．

【解析】由于3位同学必均选择2门课程，则有C2 4C2 4C2 4=216种选法，若4门体育类选修课程中2门没人选修的种数为C2 4=6，若4门体育类选修课程中1门没人选修的种数为4（C2 3C2 3C2 3-3）=96，故所求结果为216-6-96=114．

【变式4】某学校在2023-2024年度上学期共开设了9门选修课程，其中学科知识类选修课有5门，素养提升类选修课有 4门，已知小林需要从学校所开设的9门课程中选择3门进行学习，若素养提升类选修课程至少选修 1门，则小林不同的选课方案共有____  种．

【解析】根据已知条件，通过选取对立面可知C3 9-C3 5=74．

【变式5】某学校共开设了5门艺术类选修课程，若小红和小李各选修2门课程，且两人选修的课程最多只有1门相同，已知小红选择了舞蹈，则小红和小李不同的选课方法种数为____  ．

【解析】小红和小李所选的课程有1门相同时，且均为舞蹈时，则有A2 4=12种方法，若不为舞蹈时，则有C1 4C1 3=12种方法，当小红和小李所选的课程没有相同时，则有C1 4C2 3=12种方法，所以小红和小李不同的选课方法种数为36．

四、双向对比

1. 新旧教材分析

以北师大版教材为例，排列组合模块老教材中选修2-3第一章节中出现，该章节除了排列组合知识外，还涉及了分类加法和分布乘法计数原理、简单的计数问题和二项式定理，共5节内容.新教材中将其调整到了选择性必修第一册第五章，该章节除了排列组合知识外，还涉及了计数原理和二项式定理，共4节内容.无论是新教材还是旧教材紧跟着的均是概率统计知识，这是因为排列组合知识与概率知识是相互关联的.对于高中数学的排列组合问题，从不同角度可以设置不同的问题，难度差异也较大，因此，在处理排列组合问题时，要能够勤于思考，多视角去开展教学活动，通过不同的变式技巧加强排列组合试题的变化多样性．

2. 高考试题分析

2023年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷均对排列组合问题进行了考查，其中Ⅰ卷以组合试题进行了命题，Ⅱ卷以体育运动为命题背景，考查了分层随机抽样的综合问题，难度相对较为基础，2022年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷也均对排列组合问题进行了考查，其中Ⅰ卷主要结合组合问题考查了古典概型，Ⅱ卷以文艺汇演为命题背景，考查了排列組合的综合问题.从近年新高考试卷的命题分析来看，排列组合试题已经成为新高考试题中不可或缺的一道亮丽的试题，它能够与数学情境交汇融合，命题形式多样，能够有力的对学生的应用能力进行考查.下面我们以2023年新高考Ⅱ卷试题为例进行分析．

典例2.（2023新高考Ⅱ卷 T 3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同抽样结果共有（  ）

A .C45 400·C15 200种

B . C20 400·C40 200种

C .C30 400·C30 200种

D .C40 400·C20 200 种

【解析】根据题目可知该校共有600名学生，抽取60名学生，故10名学生中抽取1名，根据分层抽样的原理可知应从初中部和高中部分别抽取40人和20人， 所以不同抽样的结果为 C40 400C20 200．

【点评】本题以体育运动为命题素材，结合分层抽样考查了组合问题，通过对比分析不难发现，高考试题有关排列组合问题的命题多和典例2的命题形式相似，难度均不大．

3.教材题源分析

对于2023年7的高考真题其实在教材中均能够找到相应的影子，以人教 A 版教材为例，2023年新高考Ⅰ卷 T 13与人教 A 版 P 26练习题均为选课问题，只不过教材中是选择课程的考试成绩，并未对课程进行分类，2023年新高考Ⅱ卷与人教 A 版 P 17练习题均与体育运动相关，考查背景相同，2023年全国甲卷 T 4与人教 A 版 P 26习题9均是以文艺晚会为命题背景，但考查角度不同．

五、解题技巧

对于排列、组合问题常见的解题方法有直接法、排除法，若题目要求元素相邻则采用捆绑法；元素不相邻则采用插空法；占位法的应用从元素的特殊性上讲，谁特殊先排谁，若位置特殊，则先安排特殊位置；若问题中的某些元素顺序有所要求，则采用调序法；平均分组可采用平均法，需要注意的是分母需要除以；正整数解组数解问题常用隔板法；除此之外，还需要关注定位问题，即从个不同元素中每次取出个不同元素作排列规定某个元素都包含在内，并且都排在某个指定位置则有．

六、命题预测

通过以上分析，排列组合的重要性不言而喻，但通过高考真题分析对比发现，该考点考查背景变化多样，但难度不大，但与教材联系紧密，基于以上排列组合高考试题的命题特点，给出以下预测试题，供参考：

预测1：为了迎接新同学，杭州市某中学组织了一场迎新晚会，已知该晚会共设计了四个篇章，其中《自强不息》與《辉煌未来》篇章必须相邻，则不同的排列方法共有    种（用数字作答）.

【解析】由于《自强不息》与《辉煌未来》篇章必须相邻，所以将两者“捆绑”，则不同的排列方法共有A2 2A3 3=12种．

预测2：某市在2023年10月举办了一年一度的市运动会，某校共选派了5名长跑运动员参赛，赛后领队决定给5位运动员合影留念，若小明和小徐均不想站左端，小明和小青又要相邻，则不同的安排方法数为    种（用数字作答）.

【解析】当小青站在左端时，小明和小青必须相邻，其余运动员全排列，共有A3 3=6种排法，当小青站在左端时，从余下的3名运动员中选择1名运动员站在左端，再将小明和小青捆绑，与余下的2名运动员全排列，共有A1 2A2 2A3 3=24种排法，所以不同的安排方法数为30种．

预测3：一名同学有5本不同的书，现要将这些书摆放在一个三层的书架上，若每层书架上至少放1本，则《广东教育》不放在第一层的概率为    ．

【解析】若三层书架放书的本数位1，1，3时，则有C1 5C1 4A2 2A3 3=60种摆放方法，其中《广东教育》放在第一层的方法为C1 4A2 2+C2 4A2 2=20种；若三层书架放书的本数位1，2，2时，则有C1 5C2 4A2 2A3 3=90种摆放方法，其中《广东教育》放在第一层的方法为C2 4+C1 4A2 2=30种，故《广东教育》不放在第一层的概率为1-20+3060+90=23．

责任编辑  徐国坚