平凡之中赋新意
2024-01-03刘护灵
刘护灵
2023新高考全国数学Ⅰ卷立体几何第18题以考生熟悉的正四棱柱为载体，构建空间几何体，使考生感觉到所给的空间图形“ 似曾相识”不相认，平凡之中赋新意.试题着重考查与立体几何中的公理、空间中直线与直线的位置关系有关的基础知识和基本方法．
一、试题呈现
【2023新高考全国数学Ⅰ卷立体几何第18题】如图1，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4.点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3．
（1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；
（2）点P在棱BB 1上，当二面角P-A 2C 2-D 2为150 ° 时，求B 2P．
二、分析和解决
1.理解第（1）问的条件和目标
条件（1）：正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，思考， 正四棱柱有什么隐含条件？即意味着底面是正方形，侧棱垂直底面；
条件（2）：AB=2，AA 1=4，说明这个正四棱柱的底面形状确定，高确定；
条件（3）：点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3，说明这四个点的
位置确定，既然这些点的位置已经确定，则目标（1）B 2C 2和A 2D 2的位置关系也是确定的，只是用什么方法来“说明空间线段的平行”？
2. 第（1）问的分析和多解
思路1：由题目的条件可以直接建立空间直角坐标系，直接写出B 2C 2和A 2D 2的坐标，这样即可判定它们是否平行，这个思路在此题比较简单和自然，如下：
以C为坐标原点，CD，CB，CC 1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图2，
则C（0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1），
∴B 2C 2=（0，-2，1），A 2D 2=（0，-2，1），
∴B 2C 2∥A 2D 2，
又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上，
∴B 2C 2∥A 2D 2．
思路2：若不建系，直接利用空间向量的方法计算，也可以证明平行，如下：
因为正四棱柱中，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3，则D 2A 2=D 2D+DA+AA 2=DA-AA 2， C 2B 2= C 2C+CB+ BB 2= CB-12BB 2=DA-AA 2，所以D 2A 2=C 2B 2，所以B 2C 2∥A 2D 2.
思路3：还可以利用平面几何的知识证明线段平行.
如图3，连接AC，A 2B 2，设A 2C 2， AC的中点分别为O， O 1，连接BD， B 2D 2，OO 1，由题设得，OO 1是梯形AA 2C 2C的中位线，所以OO 1=2由题设可得OO 1∥BB 2∥DD 2且OO 1=BB 2=DD 2，又O 1是BD中点，因此O是B 2D 2的中点，故A 2B 2C 2D 2是平行四边形，所以B 2C 2∥A 2D 2.
3.理解第（2）问的条件和目标
第（2）问的前提条件和第（1）问是一样的，但是多了两个新条件.
新条件1：点P在棱BB 1上，意味着点P是动点；
新条件2：二面角P-A 2C 2-D 2为150°，意味着点P的位置可能被固定（有可能有两个或多个符合条件的位置）；
新目标：求B 2P的长.
4.第（2）问的分析和多解
思路1：如图2，建立空间直角坐标系，设P（0，2，λ）（0≤λ≤4），利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解．
设P（0，2，λ）（0≤λ≤4），则A 2C 2=（-2，-2，2），PC 2=（0，-2，3-λ），D 2C 2=（-2，0，1），
设平面PA 2C 2的法向量=（x，y，z），
则·A 2C 2=-2x-2y+2z=0，
·PC 2=-2y+（3-λ）z=0，
令 z=2，得y=3-λ，x=λ-1，∴=（λ-1，3-λ，2），
设平面A 2C 2D 2的法向量=（a，b，c），则·A 2C 2=-2a-2b+2c=0，
·D 2C 2=-2a+c=0，，
令 a=1，得b=1，c=2，∴=（1，1，2），
∴ cos 〈，〉=·=664+（λ-1）2+（3-λ）2=｜ cos 150° ｜=32，
化簡可得，λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3，∴P（0，2，1）或P（0，2，3），
∴B 2P=1．
思路2：如图4，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角.
即：以点C为原点，CD，CA，CC 1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则A 2（2，2，1）， C 2（0， 0，3），D 2（2，0，2）．
令P（0，2，t），在A 2C 2上取点M，使得PM⊥A 2C 2，
令A 2M=xA 2C 2=（-2x，-2x，2x），
则MP= A 2P-A 2M= （2x-2，2x，t-2x- 1），
由MP·A 2C 2=-2（2x-2）-4x2+2x（t-2x-1）=0，
解得： t=6x-1，则MP= （2x-2，2x，4x-2），
取A 2C 2的中点E，则ED 2=（1，-1，0），则ED 2·MP=-2．
由条件易得D 2C 2= D 2A 2，所以D 2E⊥A 2C 2，
则ED 2与MP的夹角等于二面角P-A 2C 2-D 2的大小．
所以 cos
整理得： 9x2-9x+2=0，解得： x=23或x=13．
则t=6x-1=3或1，由图可知，t=3，即B 2P=1．
思路3：不建系，寻找到二面角的平面角进行计算.
如图5，在平面ABB 1A 1上取一点E，使C 2E=A 2E，连接OE， EB 2，直线A 2E交棱BB 1于点P，设点E到AA 1的距离为x，点E到AB的距离为y，
则（x-2）2+（y-3）2+4=x2+（y-1）2，
即x+y=4．
由题设可知， ∠EOB 2为二面角二面角P-A 2C 2-D 2的平面角的补角．
在△EOB 2中，EB2 2= OE2 +OB2 2 - 2OE·OB 2 cos ∠EOB 2，
所以：
（x-2）2+（y-2）2=（x-1）2+（y-2）2+1+2-2×2×32×（x-1）2+（y-2）2+1，
即（2x-3）（x-3）=0.
解得x=3，y=1或x=32，y=52.
综上，当二面角P-A 2C 2-D 2为150°时，B 2P=1.
三、变式探究
利用数学动态软件GeoGebra开展数学实验，先利用点的运算，绘制出精准的图形，如图6，移动点P的位置，利用角度工具，测量并观察二面角P-A 2C 2-D 2的大小．
通过观察，如果点P限制在线段BB 1上运动时，二面角P-A 2C 2-D 2在点P位于点B或B 1时取得最小，最小值近似为130.89°（最大值为180°），所以，此题的150°刚好是特殊角中的一个，如果想把150°变式修改为其它特殊角如120°，只能把点P的位置修改为：点P在直线BB 1上运动，但这样的变式问题的意义不是很大．
所以，此题不妨修改原题中特殊的固定点A 2、B 2、C 2、D 2的位置，然后给出二面角的度数，或者线面角的度数，要求学生计算点P的位置，这是可行的方案之一．
或者，题目的设问修改为给出点P到某个平面的距离，如图7，点P到平面A 2C 2D 2的距离为1（图中的线段PQ），求BP的长，这样的问题就有一定的价值，解决的方法利用向量法比较方便．
以二面角、点到直线的距离为核心考点的高考题很多，例如2023年高考天津卷第17题，原题如下：
三棱台ABC-A 1B 1C 1中，若A 1A⊥面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA 1=2，A 1C 1=1，M，N分别是BC，BA中点.
（1）求证：A 1N//平面C 1MA；（2）求平面C 1MA与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值；（3）求点C到平面C 1MA的距离．
此题作为高考复习而言有相当的价值，方法丰富，例如第（3）问既可以使用几何法，也可以使用等体积法进行巧妙解决，有兴趣的读者可以尝试．
还有2021年高考甲卷第19题，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC 1的中点，D为棱A 1B 1上的点.BF⊥A 1B 1
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B 1D为何值时，面BB 1C 1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
这题难度比2023年新高考全国数学Ⅰ卷的第17题大，第（2）小问可利用几何法、向量法（最优解）、投影面积法等多种方法解决，精彩纷呈！具体多种解法和变式探究，在2023年常州数学会举办的“同题异构融创活动”有所展现．
四、试题亮点和备考策略
本题所构建的四边形A 2B 2C 2D 2和二面角P-A 2C 2-D 2是从考生常见的空间几何体中提炼出来的，所涉及的空间概念和线面关系，贴近广大考生的学习实际试题蕴含了丰富的信息，给不同基础的考生提供了想象的空间和多角度的思维平台，同时为考生分析问题和解决问题提供了多种思路和方法，给不同思维方式（向量法与综合几何法）的考生都提供了发挥的空间，试题在全面考查考生立体几何基础知识的同时，着重考查了考生的化归与转化思想.通过问题的分层设计，使
不同层次考生的水平都得以发挥. 试题准确把握相关几何要素，把向量运算、建立空间直角坐标系、二面角的平面角作
图等较好地融人试题的第（1）问和第（2）问中，使空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力得到了有效考查，体现了课程标准对立体几何教学的知识要求和能力要求，试题的难度适中，具有较好的区分度和选拔功能.
立体几何专题的復习建议：
1.依据考纲，深挖教材，落实基础，控制难点，突出重点
在备考过程中，首先要针对新高考的要求，结合学生的实际，准确理解和把握空间几何体的结构特征，明确定理的内容、作用等，对于重点内容如直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的判定与性质定理等要熟练掌握．
2.加强对推理论证的复习
虽然新课标提倡我们利用空间向量解决立体几何问题，但我们还是要重视培养学生的空间想象能力，因此，对推理论证也要着重复习.可以从高考题中选择具有代表性的题目，编制相应的学案，进行解答．
3.复习时要突出“向量法”
在复习“向量法”时，我们要着重复习直线的方向向量和平面的法向量，只有理解好这两个向量，准确地求出这两个向量，空间角（距离）的问题就会很好地解决.这里要着重指出，在求直线和平面所成的角时，须记住：直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值是线面角的正弦值，此外，计算出两个平面的法向量夹角的后，这个角与二面角相等还是互补，要根据题目条件进行有效判断．
【本文系广州市教育研究院2021年度科研课题“信息技术（Geogebra）与数学教学深度融合研究”（课题编号：21 BCZSX2 107）阶段性研究成果】
责任编辑 徐国坚
