基于逆向思维培养的高中数学教学探索

【摘要】高中数学知识呈现出典型的复杂性和系统性，这就对学生数学思维能力提出更高的要求.逆向思维的培养能够使学生改变认知和思考知识的角度，能够在潜移默化的状态下促进学生思维的创新，有助于发展学生的学科综合素养.基于此，文章简述了高中数学教学中培养学生逆向思维的意义，并从概念教学、公式教学、数学分析、数学应用四个方面探索了在高中数学教学中培养学生逆向思维的策略.

【关键词】高中数学；数学教学；逆向思维

在高中数学教学中，一些教师仍然沿用传统的教学模式，按部就班地展开教学，而这必然会导致学生形成固化思维、机械化定式，既不利于学生紧抓知识本质，也难以提高学生的学科素养.在这样的情形下，要培养学生的思维能力，教师就需要突破原有的教学思路，在学生习惯了的顺向思维的基础上，有意识地培养学生的逆向思维.已有的研究表明，逆向思维的培养，能够使学生改变认知和思考知识的角度，能够在潜移默化的状态下促进学生思维的创新，有助于发展学生的学科综合素养.逆向思维存在于数学知识的建构与运用过程中，相比较而言，数学知识运用尤其是解题过程中的逆向思维往往体现得更加明显.一般认为，逆向思维属于常见的高中数学解题思维，与以往解题思路不同，往往为从答案到问题的解题思路.学生应用逆向思维可以通过完全否定、推理、假设等多种形式完成解题，从而探索更多解题方式.但这并不意味着在知识建构过程中没有逆向思维培养的契机，事实上，教师在认识到逆向思维培养的意义之后，无论是在新知识建构过程中还是在已有知识运用的过程中，都能够激活逆向思维培养的动机，从而在实际教学中发现更多的契机.下面就从高中数学教学中培养学生逆向思维的意义以及具体策略方面，谈谈笔者的一些初步思考.

一、高中数学教学培养学生逆向思维的意义

认识逆向思维培养的意义非常重要，这决定了数学教师能否在课堂上将逆向思维的培养打开局面并坚持下去.认识逆向思维培养的意义，需要站在学生的角度，笔者在理论学习与实践探索的基础上总结出如下几点：

（一）提高学生的智力水平

长久以来，渗透学习方法的方式就是以正向思维解决问题，很显然这是一种思维惯性，如果仅限于此，不仅会极大地遏制学生思维的发展，也不利于他们吸取更广泛的知识内容.在高中数学教学实践中，教师需要紧抓教学契机，有意识、有目的地培养学生的逆向思维，有效弥补上述不足.当具备较高的逆向思维意识以及思维能力之后，学生可以更好地把握解题技巧，高效找到正确的解题举措.此外，还需要辅以相应的实践应用，以训练学生的思维能力，这是提高学生智力水平的关键保障.

（二）培养学生的创新能力

对于逆向思维而言，从其本质层面来看，应当归属于创新思想，其不仅可以突破常规思维，也能够改变固化的思考模式，使学生在面对问题时能够找到不同的解读视角，从中提炼出新的观点，发现新的规律，才能够使学生深入触及知识本质，高效掌握数学知识.所以逆向思维能力，对学生而言具有极其重要的现实意义，其既能帮助学生开拓解题思路，还能够使学生创造性地找到更有效的解题举措，树立创新精神.

（三）激发学生的自学意识

对于数学问题的解决，很多时候都需要引入逆向思维，由学生展开细致观察以及深入思考，才能够使学生准确把握其浅显条件，并以此为突破口展开更深层面的挖掘，找到更具有价值的隐藏条件.这一过程是对逆向解题思维的有效训练，同时能够为学生带来个性化解读灵感，使他们可以掌握不同的解题方法，提高自学意识，发展学科综合素养.

通过上面的分析可以发现，在当下的高中数学教学中培养学生的逆向思维，本质上在于优化学生的智力结构，培养学生的学习品质，奠定数学学科核心素养发展的基础.实际上研究高中数学的核心素养的内涵要素就可以发现，无论是数学抽象还是逻辑推理又或者是数学建模，其中都包含着丰富的思维要求，而逆向思维就是其中不可或缺的一部分，所以逆向思维能力的培养还有助于学生发展数学核心素养.

二、高中数学教学中培养学生逆向思维的策略

在数学思维体系中，逆向思维是一大关键原则，也是创造性思维不可或缺的重要构成.培养学生的逆向思维，实际上也能够同步提高学生的思维敏捷性和灵活度.学生如果掌握了正确的逆向思维方法，拥有一定的逆向思维能力，就能够找到问题的反面，以此展开剖析、理解、推理和设想，这不仅可有效克服思维定式，还能够找到不同的解题突破口，或者展现一种全新的解题路径，使解题过程更简单明了，同时进一步发展学生的辩证思维能力.

基于教学实践可以发现，一些学生之所以仍然处于较低的学习水平以及思维层次，主要原因在于其逆向思维能力相对薄弱，在学习公式和定理的过程中仍然以定向作为主导，生硬地识记，死板地套用，既缺乏观察能力、分析能力，也难以实现创造能力的提升.为了有效落实素质教育，为了发展学生的学科综合素养，教师需要加大对逆向思维的重视，结合有效的举措使其得到训练和培养.

众所周知，数学是一个特别注重思维能力与思维逻辑的学科，学生在学习数学知识和思考数学问题时需要时刻保持清晰的头脑，将对现实问题的思考与对数学定理的学习融合到一起，顺着既定或未定的思维链条来展开整体视角下的解读与分析，真正实现数学知识的内化与迁移.因此，有关思维的培养和训练永远是数学学科教学中十分重要的一个模块.当人们在日常生活中作出“数学学得好的一定是思维能力强的”这样的朴素判断时，实际上就是在强调思维对于数学学习的重要性.在数学知识建构的过程中培养学生的逆向思维，是数学思维培养的重要契机.具体阐述如下：

（一）在概念教学中培养逆向思维

在数学知识体系中概念是一大关键构成.教材中所有的概念都以现实中的数量关系以及基本形式作为本质属性，其本身具有较高的凝练性、抽象性.在讲解数学概念的过程中，较为普遍的方式就是直接呈现概念，要求学生识记每一个文字的意义.实际上，应当以逆向的角度引导学生展开思考，这样才有可能提高概念教学的效能，促使学生对概念展开深入探究，找到隐含其中的条件和性质，帮助学生形成更深刻的解读.

例如，在教学“映射”的过程中可以设计提问：A→B是集合A到集合B的映射，则集合A与集合B中的各元素的对应情况会是什么样的？实际上这一提问也是为了对学生的思维进行引导.结合交流探讨环节，学生很快就能够找到正确的答案.

概念是数学知识的基础，也是学生数学学习的重要内容.数学概念的教学不是将数学概念的定义直接提供给学生，而是要让学生在自主思考的基础上生成数学概念，并理解相应概念的定义.在上面这样一个案例中，“映射”是集合知识中的一个重要概念，可通过问题来引导学生的思维，让学生有逆向运用思维的空间，从而真正把握“映射”的本质.

（二）在公式教学中培养逆向思维

在数学知识体系中，对于数学公式的学习，一般情况下都是由左到右展开，但是当前也出现了较为普遍的由右向左的运用过程.显然这也是一个逆向思考的方式.在解答数学问题的过程中，常常需要对公式进行转化，但是对于大多数学生来说，在此方面明显缺乏足够的自觉性，也不具备相应的基本功.所以，在具体教学过程中，为了培养学生的逆向思维，需要立足于公式和法则展开逆向思考，对其进行逆向处理，使学生掌握正确的利用方法，这样不仅能够为学生留下深刻的印象，也能够为此类问题的解决提供有力的支持和帮助.

例如，在学习三角公式的过程中，由于其所涵盖的知识面很广，需要辅以逆向思维方式展开有效训练.这样既可锻炼学生的思维能力，也可激发学生参与学习的兴趣，使学生充分发挥主观能动性.

一些学生在数学学习的过程中会机械地运用一些公式去解题.学生之所以会对公式进行机械运用，很大程度上是因为思维固化.日复一日的解题让学生总遵循着从已知向未知的推理过程，而如果本着培养学生思维能力的初衷来实施教学，就可以打破学生的思维定式，让学生在运用公式的时候有更加灵活的选择.

（三）在数学分析中培养逆向思维

分析法所关注的重点是结论，然后执果索因，步步回溯，以此寻求能够使结论得以成立的条件.以分析法展开思考，其核心在于以求证的结论作为出发点，这样学生才能够了解应该以哪些地方着手，才能就此展开积极主动的思考，增强解决问题的信心.由因导果这种方法一般也称其为综合法.其与分析法各有优势，能够有效弥补对方的不足.例如，在证明某个命题的过程中，可以首先使用分析法，发现能够作为论证出发点的真命题；其次再使用综合法，用于阐释完整的证明过程.在当前的教学实践中，二者的相互配合非常广泛，而且分析法大都用于不等式等方面的证明.

对于逆证法而言，虽然其出发点同样为结论，但是其与分析法之间仍然存在显著差别.逆证过程中，两个论断应当互为充要条件.在使用逆证法的过程中，首先需要对不等式以及恒等式进行变形处理，然后推导出一个已知的不等式或者恒等式.一般情况下，逆证法并不简单，其重点在于引导学生掌握并灵活运用分析法.

如果某个数学问题是以命题的形式出现的，要判断其错误，首先应当举出一个例证，能够满足这一命题的条件，但是在这一条件下结论不成立，这就是反例.在实际教学过程中，应帮助学生掌握构造反例的方法，使学生既能够深入理解定义定理，也能够加深记忆、有效纠错，这也是培养逆向思维能力的有力手段.例如，“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形”，可以判定这是一个假命题，因为只需要给出一个等腰梯形即可验证.

（四）在数学应用中培养逆向思维

在当前的高中数学教学中，数学应用主要是指运用数学知识去解题.从实际情形来看，高中生已经形成了自身的主观因素，解决数学问题时也会有自己的数学认知，这就导致高中生在尝试解决一些数学难题时会出现思维定式，导致高中生思维逻辑能力发展受到阻碍.因此，高中数学教师在教学过程中，要加强学生思维逻辑能力的锻炼，要让学生从逆向思维逻辑方面进行解析，打破学生的思维定式，提高学生的数学解题能力，增强学生对高中数学难题的认知，这样才能真正培养出符合国家需求的创新型人才.高中数学知识体系最突出的特点就是公式较多，然而对于学生来说，只有熟练掌握公式，准确把握其内涵，才能够做到灵活运用，才有助于提高解题效率.这里所说的公式运用与上面提到的公式教学有所不同，公式运用更多的是面向学生的，教师要站在学生的角度去思考他们对公式的选择与运用，这样才能够借助公式运用打开逆向思维培养的空间.在此过程中，教师需要结合实践帮助学生树立正确的公式互逆运算意识.

例如，sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.对于高中生而言，这一公式并不陌生，但是在实际练习的过程中，如果只给出试题“sin24°cos36°+cos24°sin 36°=？”，学生虽然能够产生似曾相识之感，但是仍然不知所措.之所以会出现这样的问题，就是因为学生长期陷于惯性思维中，缺乏对公式的逆向掌握和联系.笔者认为，应当在教学公式的过程中辅以逆向理解以及练习，以发展学生的逆向思维.

在练习过程中，需要带领学生梳理已经学习过的知识以及解题技巧，这样才能帮助学生掌握一类例题的解决方法，提高解题效率.此外，还应当关注逆向思维的培养，这样才能够做到正难则反.例如，在面对某些数学题时，如果按照常规思路不能解答，就需要转化思路，以逆向的视角展开思考，或者也可以结论作为出发点展开逆推.如（a+2）x2-8x+a=0，求a的取值应该为多少，方程的根至少有一个为正实数.针对此题，如果选择常规思维，学生必然会发现，出现了很多结果.实际上，最适合的方式就是逆向思考，了解a在怎样的情况下会出现两个负根，这样解题会更轻松、更便捷.

高中数学知识的学习呈现出较高的挑战性以及思维性，也因此对师生提出了更高的要求.现在的高中数学教学面临着“双减”、核心素养培养以及新高考等背景，从宏观现实来看，“双减”政策落实的背景下，减负、提质、增效的呼声越来越高，而深度学习关注学生学习思维的发展，致力于提高教学的有效性，打破了“题海战术”的僵化学习模式，在减轻学生负担的同时保证了教学质量.如果以教师的视角来看，需要立足于实践，关注思维能力的培养，特别是逆向思维能力的渗透，这样才有助于学生掌握高效的解题技巧，提高学习效能，发展数学核心素养.

结 语

总体而言，要将逆向思维能力的培养落到实处，高中数学教师就要认同逆向思维培养的意义，要在教学中开辟出时间与空间，来让学生有更多体验逆向思维运用的机会，从而形成属于学生自己的逆向思维生长体验，这是逆向思维能力培养的必由之路.

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