新高考，新动向：评近几年高考试题

近几年高考数学试题的设计遵循《普通高中数学课程标准（2017年版）》的基本要求，充分落实“立德树人”的根本任务，坚持在稳定中求创新，贯彻并渗透高中生在德智体美劳等方面全面发展的教育方针，同时借助高考试题合理回归数学教材，引导平时教学与学习过程中注重对数学基础知识、基本技能的理解与掌握，重视数学本质，注重应用意识、核心素养和学习潜能，突出对数学思想、方法和各种能力的考查，本文中以往年的几道高考题为例展开说明.

1 渗透德育，弘扬文化

例1日晷是把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，若点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）.

A.20°

B.40°

C.50°

D.90°

分析：理解题目条件，把空间几何问题平面化处理，利用过球心的大圆，把对应的点、线放在平面几何中加以分析与处理.

解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图1所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB=40°，∠OAE=∠OAF=90°，所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.

故选：B.

点评：以数学文化巧妙设置问题，破解的关键是借助平面几何图形中的角度求解立体几何问题，巧妙把数学文化与平面几何加以融合，考查数学建模、直观想象、逻辑推理等核心素养.

2 适度创新，考查潜能

试题设计在继承并保持以往高考中常规题型的同时，进一步发扬并创新，别具匠心地设计了创新新颖的开放性试题.同时设计了数学内涵丰富、设问角度新颖、解答灵活的创新题.这些试题需要较强的审题能力，可以全面考查考生的综合素养.

例2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下三个条件：①ac=3，②csin A=3，③c=3b.从以上条件中任选一个，补充在以下问题中.

问题：是否存在△ABC，满足sin A=3sin B，C=π6，？

若以上问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

分析：对应问题中，给出两角的关系式以及第三角的值，利用正弦定理构建两边之间的比例关系，借助余弦定理加以综合应用，合理构建三角形三边之间的密切关系，结合不同条件的选择，进一步加以分析，正确判断，合理求解.

解析：结合题目条件及正弦定理，可得a=3b.

又由余弦定理，可得c2=a2+b2－2abcos C=4b2－23b2×32=b2，即b=c.

于是B=C=π6，A=2π3.

若选择①ac=3，则有a=3b=3c，ac=3，解得c=1，所以这样的△ABC存在，且c=1.

若选择②csin A=3，由A=2π3解得c=23，所以这样的△ABC存在，且c=23.

若选择③c=3b，这与上面求解得到的b=c矛盾，因而对应的△ABC不存在.

点评：新高考中引入的数学开放创新题，难度一般比较适中，考查主干知识，通过条件或结论的合理开放来创设情境与设置问题.具体破解时，可以结合不同选择项的有效选择，从不同角度来分析与处理，充分体现知识的选择性、思维的广阔性以及应用的综合性等，为进一步提升考生的探究意识、创新意识以及应用意识等提供理论指导与方向，培养创新精神.

3 层次分明，多题把关

高考试卷都是按照一定的梯度加以合理呈现，深度上“由浅入深”，难度上“由易到难”，梯度上“阶梯递进”，角度上“拾阶而上”，充分考虑考生的思维习惯与能力差异，进行多角度、多层次的设置，同时加以巧妙分步设问，有效分散难点，合理区分，多题把关.

例3已知棱长均为2的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，满足∠BAD=60°，则以D1为球心，半径为5的球面与侧面BCC1B1的交线长为.

分析：根据空间几何体的基本条件与直观想象，数形结合，通过合理构建空间几何中对应几何元素之间的位置与数量关系，结合降维思维，从三维空间转化为二维空间，将立体几何化归为平面几何，结合圆的弧长以及相应的圆心角大小来求解交线长问题.

解析：分别取B1C1，BB1，CC1的中点E，F，G，如图2所示，

结合题目条件知△B1C1D1为正三角形，则有D1E=3，D1E⊥B1C1.

由直四棱柱的定义可知，BB1⊥平面A1B1C1D1，于是可得BB1⊥D1E.

又BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥侧面BCC1B1.

设P为所求交线上的点，则有D1E⊥EP，

可得球的半径为D1P=5，又D1E=3，结合勾股定理有EP=D1P2－D1E2=5－3=2.

由于EF=EG=2，因此所求交线就是扇形EFG的弧FG.由∠B1EF=∠C1EG=45°，可得∠FEG=90°=π2，则弧长FG=π2×2=2π2.

点评：此题结合具体空间几何体，巧妙将空间问题与几何问题加以联系，串联起空间问题与平面问题.解答此类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，化“动”为“静”，直观想象.立体几何分析法具有较好的直观想象与逻辑推理核心素养，也是利用几何法处理此类问题的主要依据.

4 突出难点，常考常新

近年高考数学试卷充分体现了选拔性，突出对高中数学重点知识与重点内容的考查，特别是主干知识（三角函数与解三角形、数列、立体几何、圆锥曲线以及函数与导数等）的考查，同时关注数学思想方法、数学能力、数学应用等方面的融合与应用.特别是多选题以离散型随机变量的分布列作为最后一题，填空题以立体几何作为最后一题.

例4信息熵是信息论中的一个重要的基本概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，……，n，且P（X=i）=pigt;0（i=1，2，……，n），∑ni=1pi=1，定义X的信息熵H（X）=－∑ni=1pilog2pi，则下列命题中正确的是（）.

A.若n=1，则H（X）=0

B.若n=2，则函数H（X）随着p1的增大而增大

C.若pi=1n（i=1，2，……，n），则函数H（X）随着n的增大而增大

D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，……，m，且P（Y=j）=pj+p2m+1－j（j=1，2，……，m），则H（X）≤H（Y）

分析：根据题目条件中新定义的创新公式，结合选项中的不同参数值以及对应的结论，借助创新公式以及随机变量的概率、均值等相关知识，综合函数、不等式等的基本性质来分析与处理，从而巧妙判断.

解析：选项A，若n=1，则p1=1，log21=0，所以H（X）=－p1log2p1=－log21=0，故选择A正确.

选项B，当n=2，p1=14时，H（X）=－∑ni=1pilog2pi=－（p1log2p1+p2log2p2）=－14log214+34log234；当n=2，p1=34时，H（X）=－∑ni=1pilog2pi=－（p1log2p1+p2log2p2）=－34log234+14log214.由此可知，当n=2，p1=14与n=2，p1=34时，信息熵相等，故选项B不正确.

选项C，若pi=1n，则H（X）=－∑ni=1pilog2pi=－1nlog21n+……+1nlog21n=log2n，则函数H（X）是增函数，故选项C正确.

选项D，由P（Y=j）=pj+p2m+1－j（j=1，2，……，m），知P（Y=1）=p1+p2m；P（Y=2）=p2+P2m－1；P（Y=3）=p3+p2m－2；……；P（Y=m）=pm+pm+1.

H（X）=－＼（p2log2p2+p2m－1·log2p2m－1）+……+（pmlog2pm+pm+1log2pm+1）＼〗，

H（Y）=－＼，

H（Y）－H（X）=－＼+［（p1log2p1+p2mlog2p2m）+……+（pmlog2pm+pm+1log2pm+1）］=p1·log2p1p1+p2m+……+p2m·log2p2mp1+p2m，

易知0lt;p1p1+p2mlt;1，……，0lt;p2mp1+p2mlt;1，所以可得log2p1p1+p2mlt;0，……，log2p2mp1+p2m＜0，于是有H（Y）lt;H（X），故选项D错误.

故选：AC.

点评：借助新定义所对应的创新公式来创设情境，巧妙设置创新应用问题，以多选题的形式来综合应用，合理进行信息迁移，融合众多的数学知识与应用来巧妙构建数学模型，综合考查数学基础知识、数学思想方法和数学能力等，是创新定义、创新应用、创新题型等多层面“创新”的综合体.

总之，近几年的新高考数学试题进一步完善并推进新课程改革，强调回归数学教材，回归数学本源，回归数学课堂，重视数学概念，重视数学思想方法，也借助高考试题加以合理引导与指引，从而真正实现高中数学教学与数学应用的回归，逐步培养并强化学生的数学核心素养.