美从对称中来：浅谈数学核心素养的培养

摘要：本文中从两道高考题说起，通过对称中的美，抛砖引玉，探索在平时教学中提升学生数学核心素养的路径.

关键词：核心素养；对称；拐点；三次函数对称中心；知识库

要提高学生的数学核心素养，就必须教会学生解决数学问题.本文中将从两道高考题说起，抛砖引玉，探索在平时教学中提升学生的数学核心素养的路径，以飨读者.

1 试题呈现

试题1（2022年新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）=x3－x+1，则（）.

A.f（x）有两个极值点

B.f（x）有三个零点

C.点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f（x）的切线

试题2（2022年全国乙卷理科）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2－x）=5，g（x）－f（x－4）=7，若g（x）的图象关于直线x=2对称，g（2）=4，∑22k=1f（k）=（）.

A.-21

B.-22

C.-23

D.-24

2 考题分析

这两道试题都有一个共同点，就是考查函数的对称性.对称，是一种数学美.我们在做题时，通常会数形结合，在欣赏数学美的同时，数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养也在这两道题里得到了充分的考查，可谓随“卷”潜入“题”，润“人”细无声＼.

高考对数学的考查，正从知识走向能力，从能力走向素养.有人说，初中课上教你包饺子，考试就考包饺子.到了高中，课上教你包饺子，作业是蒸包子，考试的时候却是烙馅饼.这个比喻很形象，就是说生搬硬套、照猫画虎这套在高中行不通了.我们要教会学生转变学习观念，做到举一反三，学会知识能力的迁移，提升自己的思维品质.

高考对这两道题共性的考查，明确了数学核心素养的形成，不是通过简单的刷题及题海战就可以了的.我们要教会学生构建自己的知识库，形成自己的知识体系.

3 追本溯源

教材对于对称的描述其实是有据可考的.人教A版（2019）教材必修第一册第87页有这样一道题：

我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）－b为奇函数.

（1）求函数f（x）=x3－3x2图象的对称中心；

（2）类比上述推广结论，写出“函数y=f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是y=f（x）为偶函数”的一个推广结论.

为了方便表述，本文将这个推广结论记为定理1.

定理1函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）－b为奇函数.

这个定理的证明比较简单，本文从略.在定理1的证明过程中，还可以生成定理2.

定理2函数y=f（x）的图象关于P（a，b）成中心对称图形的充要条件是f（x）+f（2a－x）=2b.

试题1的选项C可由定理1轻松解决，这里不再赘述.引导学生深入思考：三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心吗？如果有，对称中心是什么？为什么会有这样的结论？

4 本质透析

设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心坐标为（m，n），由定理1可知y=f（x+m）－n是奇函数，则有f（x+m）－n+f（－x+m）－n=0.代入解析式，可得a（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）+d+a（－x+m）3+b（－x+m）2+c（－x+m）+d－2n=0，化简得（3am+b）x2+am3+bm2+cm+d－n=0.因为x∈R上式恒成立，所以3am+b=0，am3+bm2+cm+d－n=0，从而解得m=－b3a，n=f－b3a.故三次函数必有对称中心，其坐标为－b3a，f－b3a.

5 降维打击

从高观点看三次函数的对称性，观察函数f（x）=x3－3x2的图象（图1），由对称性可知，它的对称中心必定是函数的凹凸转折点（1，f（1）），即拐点，参考高等数学对拐点的定义：若方程f″（x）=0有实数解x0，那么（x0，f（x0））称为函数的拐点.

回到试题1，可以用刚才探究的结论速求三次函数的对称中心为－b3a，f－b3a，得出对称中心为点（0，1），参看图2.

再回到课本，类比上述推广结论，写出“函数y=f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是y=f（x）为偶函数”的一个推广结论.为了方便表述，将这个推广结论记为定理3.

定理3函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f（x+a）为偶函数.

定理4函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（x+a）=f（－x+a）.

再看试题2，考查函数的对称性、周期性，属于拔高题.

因为g（x）的图象关于直线x=2对称，则有g（2－x）=g（2+x），代入f（x）+g（2－x）=5，可得f（x）+g（2+x）=5（记为①）.又f（－x）+g（2+x）=5（记为②），由①②可得f（x）=f（－x），故f（x）是偶函数.由g（x）－f（x－4）=7，可得g（x+2）－f（x－2）=7.

结合f（x）+g（2+x）=5，消去g（x+2），得f（x）

+f（x－2）=－2（记为③），所以f（－x）+f（x－2）=－2（记为④）.

因此，f（x）的图象关于点（－1，－1）对称.又f（x）关于y轴对称，所以f（x）的最小正周期是4.

在①中，令x=0，可得f（0）=1.在③中，令x=1，可得f（1）=－1.在④中，分别令x=0，x=3，x=4可得f（2）=－3，f（3）=－1，f（4）=1.

故∑22i=1f（k）=f（1）+f（2）+5×（－4）=－24.

另解：由f（x）+f（x－2）=－2，考虑到x只能取整数，所以可将f（x）视为某种特殊数列，它的相邻奇数项且相邻偶数项的和均为-2，也可以算得答案为-24.

6 举一反三

在课堂教学中，教师要不断寻找时机，通过问题的变化，举一反三，不断刺激学生神经的兴奋点，从而达到良好的教学效果.问题的设置点不能太高，要让学生跳一跳、蹦一蹦就能找到触碰点，让好奇心成为引领他们探究问题的动力.

明白这些道理后，我们再看下面这道高考题.

试题3（2022年新高考Ⅰ卷）（多选题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x），若f32－2x，g（2+x）均为偶函数，则（）.

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D.g（－1）=g（2）

解析：由f32－2x为偶函数，可知f（x）的图象关于直线x=32对称，所以f（－1）=f（4）.

由g（2+x）为偶函数，可知g（x）的图象关于直x=2对称.结合g（x）=f′（x），可知g（x）的图象关于32，0对称，则g（x）的周期为4×（2－1.5）=2.由导数知识知，f′32=0，即g32=0，则g－12

=g－12+2=g32=0.故选答案：BC.

本题对数学能力要求极高，其中逻辑推理、直观想象等数学核心素养都得到了淋漓尽致的体现.学生如果只是表面理解或是死记硬背模型公式，那么对于f32－2x这种类型的对称就不能很好地认知与理解.必须告诉学生，从定义出发理解奇函数与偶函数的定义，才能用符号、公式把文字语言翻译成数学语言，从数学的角度来认识世界.

事实上，这类题型在历年的高考卷中出现过多次，这里不再一一列举.

明白了其中的关键点，搞清楚了原理，以后遇到类似的问题，就可以迎刃而解.我们还会遇到一些复杂的奇函数或偶函数演化而来的对称性问题，比如：对数与反比例形式的复合函数f（x）=loga1－x1+x；指数与反比例形式的复合函数f（x）=2x－12x+1；对数与无理式形式的复合函数f（x）=loga（x2+1+x）；等等.

从初中的一次函数、二次函数、反比例函数到高中的指数型函数、对数型函数、幂函数，尤其是三角函数，处处都彰显出对称美.若不能看透问题的本质，就会无从下手.若能从对称的角度看待问题，那么就会山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村.如果平时的教学中渗透了相关知识，那么这种题型还是很简单的.

在教学过程中可以引导学生构建自己的知识资源库，把“对称”作为一个专题进行系统学习.利用现代教学软件Geogebra或几何画板画出每类函数的代表图形，加深学生对于对称的直观理解.通过对近几年的高考题的研究发现，有关对称的考查还是比较多的.学生核心素养的考查在近年的高考试题中也都有很好的体现，它指引着高中数学课程教与学的方向.

7 教学启示

俗话说得好，授人以鱼不如授人以渔.作为教师的我们既要立足课本，研读教材，又要深挖内涵，勤研善教，以不变应万变.波利亚告诉我们：没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做＼.

不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层.只有自身的能力得到提升，才能更好地教育学生.因此，我们在教学过程中，不能只停留在解出一道题的层面，要反思解题过程以及在解题过程中遇到的问题.解题过程中学生会冒出各种奇思妙想，这些想法就是一朵朵思维的火花，教师要善于抓住时机，一步步引导学生去发现数学之美，那么他们就会离美丽的数学殿堂更进一步.

参考文献：

[1]中国高考报告学术委员会.中国高考报告（2023）［M］.北京：新华出版社，2023.

[2]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法＼.上海：上海科技教育出版社，2019.