基于教材，追根溯源

高中数学试题中，经常会碰到一些“三次”问题（主要涉及三次方程或三次函数等）.涉及此类的“三次”问题，设置的思维方式就是利用“降次”，将“三次”问题巧妙转化为“二次”问题，借助数学思维的转化，往往导致解题过程比较繁琐，运算量比较大，给问题的分析与解决造成困难.

有时利用相应的三次方程根与系数的关系来分析与解决此类“三次”问题，处理起来更加直接有效，简化数学运算，因此，基于高中数学教材中的“阅读与思考”栏目，充分挖掘其应用显得尤为必要.

1 追根溯源

一些高考试题、竞赛试题的命题背景、知识应用等，都是源于教材，来自教材中的例（习）题，或基于教材的“思考”“阅读与思考”等栏目，通过合理创设，进一步加以转化、深入、变形、拓展与提升，实现问题的应用.

〔人民教育出版社2019年人教A版《数学（必修第二册）》第七章“复数”第81页阅读与思考——代数基本定理〕

设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0（a3≠0）

在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到

x1+x2+x3=－a2a3，x1x2+x1x3+x2x3=a1a3，x1x2x3=－a0a3.

以上对应的三次方程根与系数的关系，就是三次方程的韦达定理，是二次方程的韦达定理的深入与拓展，为高考命题与竞赛命题提供了更多的场景与应用.

2 应用例析

三次方程根与系数的关系，即韦达定理，在解决一些“三次”问题中有奇效，可以很好地优化解题过程，提升解题效益.

2.1 代数式的求值问题

例1（2021年全国高中数学联赛福建赛区预赛）若x1=1，x2=1－i，x3=1+i（i为虚数单位）为方程x3+ax2+bx+c=0的三个解，则a+b－c=.

分析：根据题设条件，结合三次方程根与系数的关系，正确建立三次方程对应系数的方程组，进而求解对应系数的值，为相应代数式的求值提供条件.

解析：依题意，利用三次方程根与系数的关系，

可得

1+1－i+1+i=－a，

1×（1－i）+1×（1+i）+（1－i）（1+i）=b，

1×（1－i）（1+i）=－c.

解得a=－3，b=4，c=－2.

所以a+b－c=－3+4+2=3.故填：3.

点评：在已知三次方程的三个根或三次函数零点的基础上，经常可以直接利用三次方程根与系数的关系，建立对应系数与三个根或零点之间的关系式，对于确定系数值、代数式的值以及与之相关问题的应用等，都可以起到很好的作用.

2.2 系数范围的确定问题

例2（2020届“超级全能生”浙江省高三3月模拟C卷）已知a，b∈R，函数f（x）=ax3+bx2+x+1（alt;0）恰有两个零点，则a+b的取值范围是（）.

A.（－∞，0）

B.（－∞，－1）

C.－∞，－14

D.－∞，14

分析：根据题设条件，设出三次函数的两个非零的零点，利用三次方程根与系数的关系，建立相应的关系式，通过消参把参数a，b均表示为关于x1的关系式，并确定x1的取值范围，进而通过构造函数，结合函数的单调性来确定相应函数的最值问题.

解析：由于函数f（x）=ax3+bx2+x+1（alt;0）恰有两个零点，

而f（0）=1，因此可设函数f（x）的两个非零的零点分别为x1，x2（不失一般性，不妨设x1lt;x2），

ax3+bx2+x+1=a（x－x1）2（x－x2）=0.

利用三次方程根与系数的关系，可以得到

2x1+x2=－ba，x21+2x1x2=1a，x21x2=－1a.

解得a=2x31+1x21，b=－3x21－2x1.

由x2=－x1x1+2gt;0，可得x1∈（－2，0），则

a+b=2x31－2x21－2x1，x1∈（－2，0）.

构造函数g（x）=2x3－2x2－2x，x∈（－2，0），求导可得g′（x）=2（x+3）（x－1）x4lt;0，

所以函数g（x）在区间（－2，0）上单调递减，则有g（x）lt;g（－2）=14，

即a+blt;14.所以a+b的取值范围是－∞，14.

故选择：D.

点评：在未知三次方程的三个根或三次函数的零点相关问题中，经常借助对应根或零点的设置，方便利用三次方程根与系数的关系，综合待定系数法、等量代换等思维方式，合理化归与转化，为相关参数（或参数式）的取值范围求解指明方向，思路直接流畅，方法简洁明了，操作简单快捷.

2.3 三次方程的应用问题

例3（2023年北京大学测试卷）方程组x+y+z=4，x2+y2+z2=6，x3+y3+z3=10的解的个数为（）.

A.0

B.3

C.6

D.其他三个选项均不对

分析：根据题设条件，直接求解三次方程组存在非常大的困难，而利用三次方程根与系数的关系，分别确定三个数的和、三个数两两乘积的和以及三个数的积，将问题转化为与三个数相对应的三次方程问题，利用三次方程的确定以及对应根的求解来转化与应用，转变视角，迂回解决.

解析：依题意，由（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）=6+2（xy+yz+zx）=16，

可得xy+yz+zx=5.

又由x3+y3+z3－3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）=4×（6－5）=4，

可得xyz=2.

所以有x+y+z=4，xy+yz+zx=5，xyz=2，利用三次方程根与系数的关系，

可知x，y，z是三次方程t3－4t2+5t－2=0的三个根.

而t3－4t2+5t－2=（t－1）（t2－3t+2）=（t－1）2（t－2），

结合根的排列位置，可知原方程组的解有（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）.故选择：B.

点评：高次方程（三次及以上）的综合应用问题，其基本解题思路就是化归与转化以及“除次”处理.而涉及三次方程的综合应用问题，可以直接利用三次方程根与系数的关系来达到目的，关键在于构建三次方程以及对应系数与根之间的关系，巧妙创设联系，构建对应的方程或关系式.

2.4 综合应用的判定问题

例4（2023届广东省深圳市高三第一次调研数学试题）（多选题）已知函数f（x）=x（x－3）2，若满足f（a）=f（b）=f（c），其中alt;blt;c，则有（）.

A.1lt;alt;2

B.a+b+c=6

C.a+bgt;2

D.abc的取值范围是（0，4）

分析：根据题设条件，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数的大致图象确定f（x）－t=0的三个根的取值范围，利用三次方程根与系数的关系加以综合与应用，进而判定与之相应的综合应用问题.

解析：由f（x）=x（x－3）2=x3－6x2+9x，

借助求导处理，得f′（x）=3x2－12x+9=3（x－3）（x－1）.令f′（x）=0，解得x=1或x=3，所以

函数f（x）的单调递增区间为（－∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）.

又f（3）=0，f（1）=f（4）=4，则对应f（x）的图象如图1所示.

设f（a）=f（b）=f（c）=t，数形结合可知0lt;tlt;4，0lt;alt;1lt;blt;3lt;clt;4，故选项A错误.

而f（x）－t=（x－a）（x－b）（x－c）=x3－6x2+9x－t，

利用三次方程根与系数的关系，

可得a+b+c=6，abc=t∈（0，4），故选项B，D正确.

又3lt;clt;4，则3lt;6－（a+b）lt;4，解得2lt;a+blt;3，故选项C正确.

故选择答案：BCD.

点评：在解决一些涉及三次方程或函数的综合应用问题中，合理变形，巧妙转化，将对应问题巧妙化归为相应的三次方程或函数问题，进而利用三次方程根与系数的关系来综合应用.这是解决问题的关键所在，也是问题的重要切入点之一.

3 教学启示

在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下，基于数学教材的高考命题成为一个热点与基本点，数学教材也逐渐成为高考命题的一个重要依托与“源题库”.

因此，要合理回归教材，从教材中的基本知识点入手，深入挖掘教材的典型例（习）题以及一些相关栏目等，都可以为深度学习与复习备考提供有益的材料，在教与学的过程中要加以高度重视.