三版小学数学教科书习题设计的比较

摘 要：本文以“图形与几何”中“圆的面积”为例，基于鲍建生教授提出的数学课程综合难度多因素模型，从习题数量、知识含量、探究水平、运算水平和选材背景五个维度，对比分析人教版、北京版和北师大版三版教科书中的习题.结果发现，三版教科书存在显著性差异.建议三版教科书在保留各自特色的前提下，关注不同学习水平的学生，设定科学合理的习题数量；加强知识之间的联系，建立结构化的知识体系；合理安排习题的结构，注重习题的层次化分配；加强习题背景多样化，贴近学生现实生活；应用现代信息技术，有效利用各种课程资源.

关键词：圆的面积；小学数学教科书；习题比较；习题设计

“图形与几何”是义务教育阶段数学课程的四个主要领域之一，这一部分的知识内容非常丰富，应用范围广泛，并且与其他三个领域密切相关.学习本部分内容旨在提升小学生的几何直观、空间观念和推理能力等核心素养.在小学阶段，“图形与几何”领域包含“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两大主题，“圆的面积”归属于“图形的测量”这一部分.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）

指出，“图形的测量”的重点是确定图形的大小，感悟数学度量的方法，逐步形成量感和推理意识.［1］“圆”是小学阶段学习的最后一个平面图形，也是第一个曲线图形，无论是学习内容的本身，还是研究问题的方法，均有所改变，它是由“直”到“曲”，由“有限”到“无限”的一次飞跃.同时，此部分内容也是学生了解我国古代数学家的杰出贡献和传播数学中的中华优秀文化的载体.在学习“圆的面积”这一内容时，学生在现实情境下通过操作验证和推理论证，实现了数学“再发现”的过程，这是培养学生有效积累数学经验和发展核心数学素养的关键［2］，因此具有较强的研究意义与价值.

1 问题的提出

教科书在义务教育阶段发挥着引领作用，习题是数学教科书中的重要组成部分，占据了教科书近三分之二的内容，习题的质量不仅关系到教科书质量的优劣，还关系到教师的教学效果以及学生的学习效率，会对数学课堂教学实践产生不可忽视的影响.［3］

在传统的中小学教学工作中，许多学校和教师把习题训练作为提升学生成绩的主要方法，然而大量的习题练习并没有产生很好的效果，一些学生甚至会出现厌学的现象.［4］为此，国家出台了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，其中明确表明鼓励布置分层、弹性和个性化作业，坚决抑制机械、无效作业，杜绝重复性、惩罚性作业.教科书中的习题作为小学生作业的主要来源，对其进行设计与优化势在必行.“减负”不单单是习题数量的“减负”，更是习题结构的“减负”.调整习题的组织结构和呈现方式，会使习题的结构更加清晰简洁，进而减少无意义的重复性练习，有利于学生的学习.

教育部教材局有关专家在第四届国际数学教材研究与发展会议上表示，通过20多年的努力，我国形成了“一标多本”的数学教材建设体系，今后教材建设要坚持核心素养导向，鼓励教材多样化、有特色.在教科书多样化的今天，仅北京市就使用了三个不同版本的教科书（见表1），依据何种标准对教科书的习题进行编写、审定、选用和评价显得尤为重要.［5］不同版本教科书具有其自身的优缺点，通过比较数学习题的差异，揭示其异同之处并分析背后蕴含的规律和教学理念，能为编写优质教科书习题、减轻学生课业负担、有效实施课程改革等提供重要参考意义.综上所述，对于小学数学教科书习题的研究是有实际意义的.

2 研究对象与方法

本文以《课程标准》中所提出的核心素养为基础，选取当前北京市小学正在使用的人教版《义务教育教科书数学六年级上册》［6］、北京版《义务教育教科书数学六年级上册》［7］和北师大版《义务教育教科书数学六年级上册》［8］进行比较研究（见表2），以教科书中“圆的面积”习题为例，从习题的数量、习题的知识含量、习题的探究水平、习题的运算水平、习题的背景水平等角度进行对比分析，为更好地实施指向核心素养的数学教育教学提出思考与建议.

3 数学课程综合难度模型

数学课程综合难度的概念来源于Nohara在2001年向美国国家教育统计中心提交的工作报告，报告中对NAEP2000、TIMSS-R、PISA2000进行了比较，首次提出了总体难度（Overall Difficulty）的概念［9］，其中涉及“扩展性问题”“实际背景”“运算”“多步推理”四个难度因素.2002年国内学者鲍建生参照我国数学课程的具体情况，结合数学学科的特征，以数学习题的难度来衡量数学课程的难度，在Nohara的总体难度模型基础上建立了数学课程综合难度模型.

数学课程综合难度模型保留了总体难度模型中的“背景”“运算”和“推理”三个难度因素，但对每个难度因素的水平划分进行了细化；取消了总体难度模型中的“题型”难度因素，用“知识含量”和“探究”难度因素替代；将“探究”“背景”“运算”“推理”和“知识含量”作为数学课程综合难度模型的五个难度因素，并依据层次性和可操作性将每一个难度因素划分为3～4个不同的水平（见表3）.［5］

4 研究结果与分析

4.1 习题数量的比较与分析

依据习题在教科书中的位置与作用，本文将其划分为随堂练习和课后习题两部分.当出现一道大题中包含若干小题时，本文按小题数量进行统计.在统计北京版教科书时把书中已给出答案的例题统计在随堂练习部分（见表4）

依据表4中的数据，绘制出图1.

结果表明，相较于其他两个版本，北京版习题数量最少，值得注意的是北京版的公式呈现方式不同于另外两个版本，北师大版和人教版都采用习题引导学生自行思考写出公式的形式，而北京版则使用人物对话的形式引出公式.不论是随堂练习还是课后习题人教版数量都高于另外两个版本，这说明人教版不仅重视课堂中学生对知识的练习与应用，也重视学生在课后的学习中对知识的练习与巩固.

4.2 知识含量的比较与分析

依据表5中的数据，分别计算出三版教科书中不同知识点数量水平习题的占比，绘制出图2（单位：%）.

由表5和图2可以看出，三版教科书中两个知识点以上的习题较少，单个知识点的习题占比较大.相较而言，人教版更重视新旧知识的融合，对学生要求更高，北京版和北师大版更关注单个知识点的练习与巩固.

4.3 探究水平的比较与分析

根据鲍建生教授所提出的数学习题综合难度模型，从“探究水平”维度看，习题可以被划分为三个水平，即识记型习题、理解型习题和探究型习题.［10］识记型练习题是指那些不需要理解，只需通过记忆即可回答的问题.理解型练习题，则需要在理解已学知识的基础上，通过组织知识来解决问题.探究型练习题属于分析水平和评价水平的问题.相关统计见表6和图3.

依据表6中的数据，分别计算出三版教科书中三种不同探究水平习题的占比，绘制出图3（单位：%）.

依据图3可以得出，三版教科书中习题探究水平差异较大.人教版教科书中识记型习题占比较低，理解型习题占比较高，说明人教版教科书更重视公式的逆运用.北京版教科书中不同探究水平习题的数量随探究水平的升高而增加，说明北京版教科书更重视培养学生的探究能力和创造性思维.北师大版教科书中各探究水平习题的数量分配较为平均，且北师大版教科书的习题数量较人教版少，较北京版多，题目数量适中，照顾到了各层次学习水平的学生.

4.4 运算水平的比较与分析

在运算水平方面，三版教科书中的习题被划分为“无运算”“简单运算”和“复杂运算”，其中不需要使用圆的面积公式进行解答的习题记为“无运算”水平；直接使用圆的面积公式即可解答的习题记为“简单运算”水平；除了使用圆的面积公式，还需要进行其他运算的习题记为“复杂运算”水平.统计结果见表7.

依据表7中的数据，分别计算出三版教科书中三种不同运算水平习题的占比，绘制出图4（单位：%）.

由表7和图4中的数据可以得出，三版教科书中复杂运算的习题占比最多，人教版教科书中复杂运算型习题高于北京版和北师大版教科书，说明人教版教科书更重视知识的综合运用和培养学生复杂运算的能力.北京版教科书在不同运算水平习题数量的分布上与其在不同探究水平习题数量的分布上呈现相同趋势，均为水平越高数量越多.北师大版教科书的习题中无运算占比超过简单运算，说明其更注重对学生数学思维的训练.

4.5 背景水平的比较与分析

在背景水平方面，将“个人生活”与“公共常识”按小学生在所处年龄段的日常生活中是否能普遍接触到进行区分，即若小学生在日常生活中普遍可以接触则记为“个人生活”；若不会普遍接触但属于无门槛的生活常识，则记为“公共常识”；把以科学家的研究成果为背景材料设计而成的习题记为“科学情境”类习题.［11］相关统计见表8.

依据表8中的数据，分别计算出三版教科书中四种不同背景水平习题的占比，绘制出图5（单位：%）.

依据表8与图5可以得出，北师大版教科书的习题中“无背景”习题占据了全部习题的50%，说明其更注重学生对基础知识的运用与掌握.北京版教科书中“无背景”“个人生活”和“公共常识”三类习题的数量分配较为平均.北师大版与北京版教科书中均未出现“科学情境”类习题，相较于北京版和北师大版教科书，人教版教科书中的习题背景更加全面，涉猎领域更加广泛.以“个人生活”为背景的习题在三版教科书习题中的占比差异不大，这符合《课程标准》所倡导的“能从教学与生活情境中，在教师的指导下，初步学会用数学的眼光观察，尝试、探索发现并提出问题，将所学的数学知识应用于解决现实生活中的问题”［1］，这不仅能让学生深刻理解数学的来源和服务于生活的意义，而且能帮助他们体验数学在实际生活中的应用价值，进而体会到数学与生活的紧密联系.

5 思考与建议

5.1 关注不同水平的学生，设定科学合理的习题数量

在以往中外小学教科书习题的比较研究中，我国教科书中习题数量明显高于其他国家［12］［13］，但通过对国内数学教科书中习题数量的比较后发现，即使实施相同的课程标准，各版本教科书中习题的数量也有明显区别.所以优化习题数量的关键是“减量增质”，以满足不同学习水平学生的需求.

教科书中的习题数量不可盲目地删减，这是因为数学的抽象特性决定了数学知识的形成需要时间和耐心，因此，在小学阶段，学生需要通过一定量的练习题来巩固和掌握数学知识，以帮助他们更好地理解和应用数学知识，从而学会灵活运用多个知识点来解决数学综合问题.教科书编写者应对不同层次的练习题采取合适的比例，从作答方式、呈现形式、考查内容等多方面丰富习题的类型，满足学生巩固、复习、应用、拓展的学习需要；满足学生的学习需要；满足学生以不同方式完成作业方式的需要.［1］人教版教科书在此方面做得更好，给一线教师分层次布置练习提供了足够数量和层次水平的习题.

5.2 加强知识之间的联系，建立结构化的知识体系

数学习题应体现出不同数学知识之间的关联，这样有利于学生理解数学知识之间的逻辑关系，从而更好地建立自己的知识体系.《课程标准》中明确提出要注重教学内容的结构化，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.［1］教科书编写者在尊重学生认知发展水平的基础上，应适度增加一些“两个以上的知识点”习题的设置，以突显数学知识之间的关联性，实现学段、学年、单元、课与课之间的紧密联系，从而激发学生对数学整体思维意义的深刻领悟，培养学生的空间观念.人教版教科书就达到了一个很好的平衡，各运算水平的习题数量分配优于北京版与北师大版教科书.

5.3 合理安排习题的结构，注重习题的层次化分配

习题是学生巩固知识和填补知识空缺的重要工具，有助于提高学习效果和知识储备.学习“图形与几何”需要具有很强的逻辑思维和想象力，如果教师只让学生进行一些机械的运算，那么很难提高他们对空间的理解与思考.不同学生的认知发展水平不相同，因此习题编写者要关注不同学习水平的学生，既要有“识记”这样低水平层次的习题，也要有“探究”这样高水平层次的习题.在“图形与几何”一章中，《课程标准》中强调了要培养学生的空间感知、几何直观、推理能力以及创新思维等核心素养.北京版教科书在此方面优于人教版与北师大版教科书，实现了习题由易到难的过渡，其“识记”型习题占比适当.适中比例的“探究”型习题，不仅可以有效提升学生的数学思维水平，培养他们优秀的思维品质，同时可以激发他们的好奇心和探索欲.

5.4 加强习题背景多样化，贴近学生现实生活

习题背景选取要贴合学生的现实生活，并注重创新.丰富的习题背景能够打开学生数学思考的空间，促进学生核心素养的形成.对于小学阶段的学生，应适当减少无背景类习题，习题应尽量结合现实生活.数学学习的初衷在于解决人们在日常生活中所面临的各种问题.将数学与现实生活紧密融合，有助于学生主动探索数学的奥秘，逐渐揭开其神秘的面纱，并将所学知识应用于实践.另外，“科学情境”类习题的占比应适当提高，这是因为数学不是一门独立于其他知识体系的学科，而是与很多学科紧密相连的，数学教育应让学生意识到数学与其他学科的联系，进而使学生形成合理的数学观，提高学科融合性.加强习题背景多样化，注重数学与现实生活和其他学科之间的联系，是未来教科书改革关注点之一.［14］通过提供多元化的习题背景，学生可以拓展思维空间，促进数学思维的形成，人教版教科书在此方面做得更好.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］魏闲妹，廖运章.小学“圆的面积”教学蕴涵的数学学科核心素养［J］.小学教学参考，2020（32）：29-31．

［3］吴立宝，王建波，曹一鸣.初中数学教科书习题国际比较研究［J］.课程·教材·教法，2014，34（2）：112-117．

［4］杨志明，吴仪.“双减”背景下从边际效益递减规律看习题训练［J］.教育测量与评价，2021（9）：3-8+64．

［5］蔡庆有，邝孔秀，宋乃庆.小学数学教材难度模型研究［J］.教育学报，2013，9（5）：97-105．

［6］课程教材研究小学数学教材编委会.义务教育教科书数学六年级上册［M］.北京：人民教育出版社，2022．

［7］北京教育科学研究院.义务教育教科书数学六年级上册［M］.北京：北京出版社，2013．

［8］朱育红，朱德江.义务教育教科书数学六年级上册［M］.北京：北京师范大学出版社，2014．

［9］Nohara D. A Comparison of the National Assessment of Educational Progress（NAEP），the Third International Mathematics and Science Study Repeat（TIMSS-R），and the Programme for International Student Assessment（PISA）［J］. National Center for Education Statistics，2001．

［10］鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较［J］.全球教育展望，2002，31（9）： 48-52．

［11］李锦旭，李锦浩.数学高考题的科学背景拾趣［J］.数学通报，2007（2）：36-40．

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［13］蔡庆有，张辉蓉，黄燕苹等.中日韩小学数学教科书习题配备比较研究——以四年级为例［J］.数学教育学报，2014，23（2）：33-39．

［14］刘久成，孙京京，邵静仪等.小学数学教材难度研究——基于人教版三套教材的对比分析［J］.课程·教材·教法，2022，42（11）：120-126．

*基金项目：北京联合大学教改项目“学为中心小班互动式教学模式改革”（项目编号：JJ2023Q002）；北京联合大学青年项目“小学数学课标逆向教学评价标准的建构与应用研究”（项目编号：SK10202303）；中国高等教育学会2023年度高等教育科学研究规划课题一般项目：课程思政与教育数学思想指导下《数学课标教材教法》课堂教学实践研究（项目编号：23SX0414）；北京市高等教育学会“高等师范院校数学解题研究类课程建设研究”（项目编号：MS2023046）.