数学本质观下以问题为导向促素养提升的策略

［摘 要］数学的本质是从现实世界中抽象出概念，研究数量关系和空间形式，探索其中的逻辑，从而帮助人们理解和表达现实世界 。数学概念教学是提升数学核心素养的载体，通过引导学生学习和应用数学概念，可以提升学生的抽象能力等核心素养。数学本质观既是一种教学思想，‌也是一种教学理念和实践指导，‌它强调让学生深入理解数学的本质，‌提升学生的数学核心素养。在数学本质观下的数学概念教学中，教师应结合学生的认知水平和数学学习特点，设置一系列问题，为学生搭建学习的“脚手架”，以帮助学生理解数学的本质，进行有效探究和学习，从而实现思维生长和素养提升。

［关键词］数学本质观；问题导向；核心素养；概念教学

［中图分类号］" " G633.6" " " " ［文献标识码］" " A" " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）17-0025-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，使学生在活动中发展核心素养。为了实现这一目标，教师需要依据学生的学习特点，开展恰当的教学活动，激发学生的学习兴趣，引导学生积极思考，进行有效学习。

教师在设计教学活动时，需要考虑学生的认知水平和学习特点，以问题为导向，引导学生解决问题，提高思维能力，发展核心素养。

数学的本质是抽象、逻辑、关系、结构，其包含三个层次：（1）数学的知识之间的关系。学习数学时要寻根溯源，找到知识的本源，从源头来思考问题，找到建构知识的切入点。（2）数学的思维方法。数学学习涉及抽象思维、逻辑思维、模型思维、理性思维、创造性思维等思维方法，数学教学应设计具有一定“含金量”的思维训练活动，以发展学生的数学思维。（3）数学的思想。在显性的知识和技能层面背后隐含着“内核思想”，学习数学时要深度理解如何抽象、如何推理、如何建模、如何应用等，把握内在的数学思想。

数学概念教学是数学教学内容之一。学生对于概念的学习，需经历感知活动、思维加工、理解应用、形成结构四个步骤。数学概念学习的关键在于概念形成时，学生对基本概念的深度理解与对数学特有思维方式的感悟；在概念应用时，能将所建构的知识、方法与思想在现实世界中进行准确表达。在一系列的概念建构和应用中，使知识、方法、思想形成一个良好的结构。

在数学本质观的引领下，教师应结合学生的认知水平和数学学习特点，设置一系列问题，为学生搭建学习的“脚手架”，以帮助学生理解数学的本质，进行有效探究和学习，从而实现思维生长和素养提升。本文具体阐述在数学本质观下的数学概念教学中如何以问题为导向促进学生核心素养的提升。

一、数学本质观下的数学概念教学策略

（一）厘清知识本源，促进有效探究（学习）

新概念并不是凭空产生的，而是基于一个原型“生长”而来的。这个原型源于学生的已有经验，是新概念的最原始“本质”。因此，新概念教学的第一步，应探明并找到这个原生点，并以此为起点开展教学。

[案例1]在“由平行线截得比例线段”的教学中，笔者以学生已有的中位线知识经验为原生点，开展新知识的教学。

问题1：如图1所示的[△ABC]中，[DE]是中位线，图中有没有成比例的线段？

问题2：在[△ADE]中再添加一条中位线[FG]，又会有哪些线段成比例？比例是多少？

问题3：如果[H]、[I]点分别是[AB]和[AC]的三等分点，你认为线段[HI]和[BC]的比例是多少？

问题4：如果[H]、[I]点分别是[AB]和[AC]的四等分点，你认为线段[HI]和[BC]的比例又是多少？

……

教学说明：三角形中位线的性质是学生所熟知的知识，中位线既有平行的特征，又有二分之一比例的特征，涵盖了“由平行线截得比例线段”新概念中的“平行”“比例”两个关键词，可以说是新概念最为简单、特殊的一种形式，以此作为教学的起点，既符合认知心理学的特点，又能激发学生的探究欲望，引导学生进行有效探究和学习。加强了数学知识之间的联系，培养了学生的逻辑推理能力和几何直观素养。

（二）经历探索过程，发展数学思维

新概念的建构发生于特殊的事例，所以初始概念的形成只是狭隘的猜想，性质与定律也是处于一种模糊的状态，若此时就进行概念的应用，难免会出差错。因此，在概念建构时必须让新概念具有普遍意义，也就是要经历化特殊为一般的过程。在最大限度的不完全归纳中，去除一些表象和相异构想，在宽泛中不断聚拢，精确找到“一般”中的共性部分，这也是概念最为本质的东西，是后续概念应用的基准。

[案例2]在“相似三角形”的教学中，笔者以全等三角形（相似比等于1的特殊相似图形）的角与边的定义作为概念的生长点，借助网格等比例缩小的方法，以[∠A]为公共角，[BC]平移形成[PQ]（如图2），让学生初步猜想相似三角形的概念。在此基础上，不断地变化，层层递进，观察归纳，形成对相似三角形概念的准确定义。

问题1：△ABC中， PQ是中位线，图中有没有成比例的线段？继续探究△APQ和△ABC是什么关系。

问题2：类比全等三角形的概念，△APQ和△ABC的角、边分别是什么关系？

问题3：如果H、I点分别是AB和AC的三等分点，你认为[△AHI]和[△ABC]的边对应成比例吗？比例是多少？

问题4：把△APQ通过平移变换、轴对称变换、旋转变换等（通过信息技术演示），△APQ和△ABC的角还对应相等，边还对应成比例吗？

问题5：全等三角形和相似三角形的关系是什么？

教学说明：通过问题1、2的思考与解答，类比全等三角形，不难得出“角对应相等，边对应成比例”；从特殊到一般的第一次推进，学生已经能表达出相似三角形是形状相同的三角形的等比例缩放的本质。然而我们要注意的是，此时学生的认知还是停留在线段的平移缩放上，并没有深度理解相似三角形，笔者继续以问题为导引，进行从特殊到一般的第二次推进。问题3，角对应相等，边对应成比例，与比值大小无关。学生对相似三角形是形状相同的三角形的等比例缩放有了一定的认识，然而此时他们的认知局限于线段的平移缩放，概念的建构还较狭隘，难免会形成相似三角形与位置相关的相异构想。问题 4是将平移推进到图形内的旋转，突破了平移的位置关系。

位置不是概念的限定因素，只有从角和边去定义才是概念的本质。此时，学生对相似三角形本质特征（如图 3）的认知才真正具有一般性和精确性。

浙教版教材是通过测量三角形的角度和边长得出相似三角形的概念的，虽然精准地得出了相似三角形的概念，但仅仅完成了概念的形式教学，并不利于学生思维的发展，不利于“相似图形”与现实生活中“图形的缩小和放大”产生链接，不利于学生对知识的建构。此外，设计一些有利于学生自主探究学习的数学教学活动，能培养学生的自主学习能力，让学生在获得“四基”的同时，提升核心素养。

（三）深挖教学内容，凸显数学思想

学生虽然通过一些事例的辨析，认识了新概念的本质特征，但是这些事例是经过教师良构处理的，是最精简的基础模型，此阶段学生的思维缺乏灵动性。如果将新概念置于一个较为复杂的模型中，学生还是难于灵活运用，那么对形成概念的这些事例作进一步的处理就尤为必要，我们可以对情境条件进行加、减等置换，增加数学模型的复杂程度，使学生能够基于概念的本质去观察和思考复杂模型，逐步凝练出一些解决问题的策略。

[案例3]在“二元一次方程组”的教学中，笔者从学生熟知的鸡兔同笼等事例出发，类比二元一次方程的概念，引导他们逐步得出二元一次方程组的本质特征：①有两个一次方程；②两个方程一共含有两个未知数；③二元一次方程有无数个成对的解，二元一次方程组的解是两个方程的公共解。笔者对鸡兔同笼等事例进行了条件和符号的置换，设置如下问题和任务：

小王和小应一起去火龙果果园里摘果，已知小王袋子中的火龙果比小应多2个。若小王从小应那里拿来一个火龙果放到自己的袋子中，则小王袋子中的火龙果是小应的2倍。问：小王和小应原来各摘得火龙果几个？

（1）观察题目中有哪些未知量？（有两个未知数）

（2）找出题目中蕴含等量关系的语句描述（有两个等量关系）。

（3）确定未知量之间的等量关系。

（4）设元表示等量关系，列出方程组（未知数[x]、[y]代用的普遍性）。

（5）求解方程组（火龙果的原有个数是客观、唯一的）。

（6）思考此题的解答过程，说说你在解题中获得哪些方法上的启发。

教学说明：此题通过“拿火龙果”的条件变化，将“鸡兔同笼”问题中静态的数量关系演化为动态的数量变化关系，使条件变得更为复杂，然而它仍然是有两个未知数、有两个等量关系，本质上还是二元一次方程组。6个任务的设置逐步推进，从发现两个未知数、两个等量关系、一个公共解的特征契合到二元一次方程组的基本特征，设元建立数学模型，通过数理的演算获得答案，这是对知识本质的理解。在6个任务的完成过程中，笔者有意渗透了解决二元一次方程组的基本思维方法，让学生在反思中体悟基本策略，并上升到“基于何种本质，在何种条件下，可采用何种策略”的数学观念。二元一次方程组的应用，体现数学的工具性。数学的应用，增强了学生的模型观念，也提升了学生“四能”。

（四）跨学科项目化学习，提升核心素养

新课标提出“让学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”，这揭示了数学理论不应停留在良构数学模型推论的层面上，它应该有更广泛的应用价值，应该剥离现实世界的非数学属性，抽象出研究对象，接着对研究对象进行运算、推理、建模等，以形成数学的结论与方法。纵观科学世界的发展，任何科学理论和工程的实践应用，都是以数学为基础，都建立在数理的推论之上。数学源于生活，寓于生活，用于生活。因此，教师要引导学生从现实世界中发现数学问题，提炼数学问题，建立数学模型，用以解决生活实际问题，从而培养学生的数学核心素养。

［案例4］在“一次函数”的教学中，当学生理解了一次函数的数形本质，以及在条件置换后形成基于概念本质的解题策略后，笔者将一次函数与生活实际相结合，设计跨学科项目化学习活动：

（1）制作“浮力秤”，在图4中写出“浮力秤”使用说明书。

（2）已知水的密度为[ ρ水]，秤盘中为放物体时浮体的圆柱体浸入水中的深度为[h0]（如图5），请根据上述内容和条件求出被称物体质量[m]与浮体的圆柱体浸入水中深度[h]之间的关系式。

（3）反思：此“浮力秤”的刻度是均匀的吗？为什么？

教学说明：此问题取材于科学的应用——“浮力秤”，表面看是一个科学问题，仔细思考后就会发现是一个实实在在的数学问题。问题（2）的本质是在具体情境中建立[m]与[h]两个未知数之间的函数关系，问题（3）的本质是一次函数的数形特点的生活化意义。用“一次函数”这个数学工具解释了“浮力秤的刻度是均匀的”这一生活现象。跨学科项目化学习，提高了学生解决问题的能力，提升了学生的数学核心素养。

二、教学反思

数学本质观是一种教学思想，它能指引我们的教学设计。学习的主体是学生，要想让数学思想最终落到实处，需做好以下几点。

（一）找准生长点

奥苏贝尔在《教育心理学》的扉页上写道：“假如要我把所有的教育心理学内容浓缩为一条原理的话，那我会说：影响学习的最重要的、唯一的因素是学生已经知道了什么，弄清楚它，然后进行相应的教学。”在案例1中，我们可以体会到如果对于学生的前概念不清楚，教学就可能发生偏差，问题的设置也就失去了意义，教学一开始就会置于启而不发的境地。对此，笔者采用学前预学案的形式，针对学生对“中位线”“比例”的认识设置问题，以此判断出新概念的生长点，为教学设计提供准确的依据，使学生能进行有效探究和学习。

（二）设计启发性的问题

数学本质观下的课堂教学，不是简单地给学生提供一些文字结论，而是让学生自主、主动地学习，对学生的思维能力有较高的要求。作为学生学习的组织者、引导者和合作者，教师应关注学生的思维特点和水平，设计高质量的启发性问题，并通过问题层层递进地引导学生参与学习，发现和提出问题，通过观察、猜测、推理、运算等一系列思维活动解决问题，领会数学思想。在案例2和案例3中，笔者将大问题细化为子问题进行设问，其意图就在于此。

（三）实施持续一贯的教学

学生对于数学本质的理解是一个长期的内化过程，所以在数学本质观下的数学概念教学中，教师既要有“显微镜”的思想，在每一节课中挖掘素材，找准切入点来实施教学，也要有“望远镜”的思想，着眼于大单元的有序安排，将课与课进行有效连接，将教学内容进行结构化处理，让数学本质贯穿教学的始终。

综上所述，要让数学学习具有意义，就应让学生经历知识的形成过程，体悟知识的本质，并形成基于本质解决问题的观念，同时要将知识根植于生活情境中，使学生学会用数学的眼光去看待情境，用数学的思维去思考情境，用数学的语言去表达情境，在不断地思考、探究中把握数学本质，提升核心素养。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]" 罗增儒.“认识二元一次方程组”的课例与研修[J].中学数学教学参考，2021（29）：5-11.

[3]" 章剑雄.深度学习理念下的单元复习课教学实践：以“相似三角形”为例[J].中学数学教学参考，2021（29）：18-21.

[4]" 王伟.搭建问题桥梁 促进思维生长：“由平行线截得的比例线段”教学及反思[J].中学数学教学参考，2021（29）：21-24.

[5]" 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[6]" 王秀梅.天津市近十年中考物理试题的研究［D］.天津：天津师范大学，2015.

（责任编辑 黄春香）