导数应用中构造函数方法例说

黄玉仙

［摘 要］构造法是数学解题时的重要方法之一，也是高考的考查热点。导数应用中如何构造函数，是一个难度较大的“技术活”，其关键是对已知条件进行等价变换，为同构函数创造条件。

［关键词］导数；构造函数；方法

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）26-0023-03

构造法是数学解题的重要方法之一，也是高考的考查热点。它常与导数、函数、不等式相结合，要求学生构造函数解决相关问题，考查学生的数学能力和综合素养。那么，在导数的应用中如何构造函数呢？笔者结合几则典例，逐一进行分析探讨。

一、由[f（x）]与[f（x）]的关系构造函数

（一）利用[f（x）]与[xn]构造

［例1］已知定义域为[xx≠0]的偶函数[f（x）]，其导函数为[f（x）]，对任意正实数[x]满足[xf（x）>2f（x）]且[f（1）=0]，则不等式[f（x）<0]的解集是（       ）。

A．（-∞，1）      B．（-1，1）

C．（-∞，0）∪（0，1） D．（-1，0）∪（0，1）

所以[|x|<1]，故[x∈ ][（-1，0）⋃（0，1）]，故选D。

点评：利用[f（x）]与[xn]构造函数：①出现[nf（x）+xf（x）]形式，构造函数[F（x）=xnf（x）]；②出现[xf（x）-nf（x）]形式，构造函数[F（x）=f（x）xn]。

（二）利用[f（x）]与[ex]构造

［例2］已知[fx]是函数[y=fxx∈R]的导函数，对于任意的[x∈R]都有[fx+fx>1]，且[f0=2023]，则不等式[exfx>ex+2022]的解集是（ ）。

A.（2022，+∞）             B. （-∞，0）∪（2023，+∞）

C.（-∞，0）∪（0，+∞）  D.（0，+∞）

解析：（法1）构造特殊函数。令[fx=2023]，则[fx+fx=2023>1]满足题目条件，把[fx=2023]代入[exfx>ex+2022]得[2023ex>ex+2022]解得[x>0]。故选[D]。

（法2）构造辅助函数。令[gx=exfx-ex]，则[gx=exfx+fx-1>0]，所以[gx]在[R]上单调递增，又因为[g0=f0-1=2022]，所以[exfx>ex+2022⇔gx>g0]，所以[x>0]，故选D。

点评：（1）出现[f（x）+n

（三）利用[f（x）]与[sinx、cosx]构造函数

二、通过分离变量构造函数

当条件式含有两个变量时，可对条件变形化简，将变量分离，即化为等式或不等式的左右两侧形式相当，一边一个变量，根据结构特点构造函数，再结合函数的单调性得出两个变量的关系，进而解决问题。

［例4］（1）已知[x∈N]，[y∈N]，[x<y]，则方程[xy=yx]的解的组数为（ ）。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷多个

（2）已知实数[x]，[y]满足[eylnx=yex]，[y>1]，则[x]、[y]的大小关系为（ ）。

A. [y≥x] B. [y<x] C. [y>x] D. [y≤x]

三、根据数值特点构造函数

在数值大小比较问题中，根据数值的结构特征，构造对应的函数，利用导数研究函数的单调性，最后由单调性比出数值的大小。

［例5］（1）已知实数a，b，[c∈（0，1）]，且[ae2=2ea]，[be3=2eb]，[ce3=3ec]，则（ ）。

A. [a<b<c]    B. [c<a<b]

C. [b<c<a]     D. [c<b<a]

（2）已知[a=20222024]，[b=20232023]，[c=20242022]，则[a]，[b]，[c]的大小关系为（ ）。

A. [b>c>a]    B. [b>a>c]

C. [a>c>b]       D. [a>b>c]

令[g（x）=（x+1）-xlnx]，则[g（x）=-lnx<0]，∴[g（x）]在[e2，+∞]上单调递减，∴[g（x）≤g（e2）=

点评：对于给出具体的数值比较大小的问题，当采用基础的“化同底”“化同指”方法和中间值法不能解决时，可对数值进行合理变形，寻找结构的相同点，依次为突破口，构造函数，然后利用函数的单调性比较大小。

四、根据指对变形构造函数

当一个等式或不等式同时出现指数形式和对数形式时，为了根据同构原理构造函数，一般先要对它进行指对变形，即指数形式化为对数形式，或把对数形式化为指数形式。

［例6］已知实数[a>0]，[e=2.718]…，对任意[x∈（-1，+∞）]，不等式[ex≥ae2+lnax+a]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）。

点评：本例采用了指对同构法。指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将[x]变成[lnex]，然后构造函数；另一种是将[x]变成[elnx]，然后构造函数。常见的同构形函数有：[xlnx]与[xex]；[x+lnx]与[x+ex]。常见的同构变形有：[x=elnx=lnex]；[xlnx=elnx·lnx]；[xex=elnx+x=lnex·ex]。此外，需注意同构后的整体变量范围。

五、先换元再构造函数

求解不等式恒成立问题，可先化简不等式，根据不等式的结构进行构造函数，为了构造合理的函数，往往先换元，然后通过导数研究换元后所构造函數的单调性、极值、最值等性质，从而将问题求解出来。

［例7］（多选）若实数[x]，[y]满足[4lnx+2ln2y≥x2+8y-4]，则（ ）。

点评：本例先化简已知不等式，利用换元法以及构造函数法，再结合导数求得[x]和[y]，进而判断出正确答案。换元起到了化繁为简的作用。

由此可见，在导数应用中构造函数，是一个难度较大的“技术活”，其关键是对已知条件进行等价变换，为同构函数创造条件。只有在平时训练中不断积累经验，不断感悟，才能在考试中对这类问题有所斩获。