在“分数混合运算”教学中探寻单位“1”的数学本质

闫孔哲 钱令彩

［摘 要］教学“分数混合运算”，要让学生明白计算的关键是找到一个合适的单位“1”，并能根据它与其他量之间的关系将分数的混合运算转化为分数的乘、除法来解决，体会借用单位“1”的本质是代数式的数值化表示，会用方程方法来解决分数混合运算的问题，并明白其易于实现问题解决方式的多样化。

［关键词］单位“1”；直观图；方程思想；符号意识

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）26-0072-03

一、分析教学内容——梳理教材编排思路

北师大版教材在六年级“分数混合运算”单元共安排了7个课时的教学内容。课程的主干内容是“分数混合运算（一）”“分数混合运算（二）”“分数混合运算（三）”，共3课时，每节课后安排1课时“试一试”板块，最后设置1课时练习课。

本单元的思维框架和内容框架如图1所示。

二、明确教学目标——实现提升问题解决能力、提升运算能力的双重任务

小学阶段“分数混合运算”一般在两步以内，第一步的运算结果为第二步提供运算信息。“分数混合运算”的过程和结果都是为解决问题服务，计算为解决问题提供了关键信息。

“分数混合运算”单元虽以解决问题的形式呈现，却同时承载着提高学生的数学运算能力的目标。在问题解决过程中，学生不但要体会到整数的运算顺序同样适用于分数的运算，整数乘法的运算律在分数中同样适用，还要在混合运算中提高自己的运算能力。

三、引导学生画直观图——让数量关系可视化

在问题解决过程中，教师常引导学生画直观图来分析问题。学生画图的过程，其实就是由数转形的过程。

例如，在“分数的混合运算（一）”中，教材中出示了如图2所示的问题，以及如图3所示的圆圈图和线段图，这两种直观图都能将三个小组两两之间的关系清晰地展现出来。

画直观图远比仅用分数来描述抽象数量关系更容易让学生理解。

在各种类型的直观图中，相比方格图、圆形图，线段图在数形转化中的优势更为明显，教师大多倾向于引导学生采用画线段图的方法解题。但如果设未知量为单位“1”，反过来将其用来度量已知量，画方格图和圆形图在形转数时的优势更加明显。这充分说明了画直观图时采用什么形式并不重要，直观图仅是数转形、形转数的媒介，每个学生都有适合帮助自己思考的直观图。

四、借助单位“1”——引导学生解决问题

教材编排的是引导学生寻找单位“1”来解决问题：把一个量（例如一本书、一段时间、一段路程、一项工程、一个物体等）视为一个整体，并赋予数值1的特征，记作“1”，这就是我们平常所说的单位“1”。如果我们并不知道某个总量是多少、某段时间有多长，就可以把这一总量和这一时长看作单位“1”；有时候，物体的一部分也可看作单位“1”，如“甲修路队修了一段路的[15]，乙修路队修了余下路段的[23]”，很显然后半句是把剩余路段（整个路段的[45]）看作单位“1”。

单位“1”是解决分数混合运算等问题的工具和重要支点。学生读题后首先要解决的就是找到问题中的单位“1”，再找出对应分率和对应量，最后写出等量关系式“单位‘1’的量×对应分率=对应量”，从而解决问题。

小学数学教材中有关分数的问题大致可分为两种：一种是已知单位“1”，求单位“1”的几分之几是多少；另一种是已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”。

1.找到单位“1”，将未知问题转化为已知问题

教学“分数混合运算（一）”时，第一种思路是引导学生把已知量当作单位“1”，这样就可以利用转化的方法来解决问题。把气象小组看作单位“1”去分别度量摄影小组和航模小组，能各得出一个对应分率。第二种思路是提示学生利用摄影小组人数作媒介，依据气象小组人数与摄影小组人数之间的关系先求出摄影小组人数，再利用航模小组人数与摄影小组人数之间的关系求出航模小组人数。

2.利用单位“1”的标准单位功能，用一把“尺子”量到底从而解决问题

仔细观察图3，气象小组人数是已知量，把气象小组人数看作单位“1”，然后再用它分别去度量摄影小组人数和航模小组人数，则摄影小组人数是它的“1×[13]”，航模小组人数为它的“1× [13]×[34] =[312]”。这样，用同一个度量单位去度量另外两个量，能分别得出一个对应分率，将问题转化成分数的乘法来计算。

当单位“1”隐藏较深时，学生往往不容易找到。例如，对于问题“五一期间，某商厦打折促销，一种品牌家具的价格降低了[14]”，学生往往看不出[14]与谁有关联。此时教师可引导学生在不误解或不改变题意的前提下，将这个关键句补充完整，即“某种品牌家具的现价比原价降低了[14]”，从而确定原价就是单位“1”。

3.丰富单位“1”的设定方法，寻找解决问题的不同思路

根据所设单位“1”的不同，可以选择不同的解决问题的思路。例如，“分数混合运算（二）”中练一练第 3 题，题目要求看图（如图4）列式计算。

4.将未知量设为单位“1”，轻松架起“分数混合运算（二）”与“分数混合运算（三）”的桥梁

既然单位“1”具有标准单位功能，就可用“未知量”去度量已知量，然后根据两者之间的关系，得出一个分率。在教学“分数混合运算（二）”后，笔者出示图6：

先让学生试着将第二天的成交量设为单位“1”，学生根据直观图，得出第一天的成交量为第二天的[56]。至此，问题转为“单位‘1’的[56]是50辆，单位‘1’是多少？”，这正是“分数混合运算（三）”中要解决的问题。这个设定就架起了“分数混合运算（二）”和“分数混合运算（三）”之间的桥梁。其实，“分数混合运算（二）”要解决的问题是“比一个量多或少几分之几的量是多少”，在“分數混合运算（三）”中要解决的问题是“已知未知量的几分之几是多少，求这个未知量”，教师可以引导学生采用分数的除法或用列方程的方法来解决。通过设未知量为单位“1”的方法将“分数混合运算（二）”的问题转化为“分数混合运算（三）”的问题，这也间接证实了用列方程的方法可解决“分数混合运算”问题。

五、启发方程思想——找到解决分数混合运算问题的基本思想

在分数混合运算中，问题解决的基本思想还是方程思想。对于如图2所示的问题，可以设航模小组有x人，根据三个小组的关系，摄影小组有[43]x人，气象小组有4x人，根据已知条件得4x=12，即x=3。对于如图6所示的问题，若设第二天的成交量为x辆，则第一天的成交量为[56]x辆，可以利用等量关系列出方程[56]x=50，从而得出第二天的成交量为60辆。

理论上是可以设任何一个量为单位“1”的，这样解决问题的关键转变为用直观图表示几个量之间的关系，然后以设定的单位“1”为标准，计算出另外几个量的对应分率，最后根据已知量求出其他未知量。用列方程的方法来解决分数的混合运算问题，不用再刻意去找哪一个量是单位“1”，仅需设其中的一个未知量为x，先分析x与其他量之间的关系，再用代数式表示其他量，然后根据问题中的等量关系列出方程，最后求出这个设定的未知量x。

六、体验代数式的数值化表示——理解单位“1”的本质

单位“1”本质上是代数式的数值化表示，虽然赋予其特殊值“1”，它的本质还是代数式，暗藏着代数式的运算功能。实际上，解决分数混合运算问题用的还是方程思想，由于巧妙地利用单位“1”将代数式的外衣脱去，从表面上看到仅仅是数值运算，所以大大降低了问题解决的难度。

“分数混合运算”单元的教学，承载了培养学生运算能力、思维能力、问题解决能力、早期代数思维能力、方程思想等任务。学生在探索运算顺序和运算律的过程中經历了观察、比较、计算、验证、抽象、概括等思维活动，增强了符号意识，既提高了运算技能，又提高了问题解决能力，养成了用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言来表达现实世界的习惯。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 汤宝玉.由表面理解到真正建构：谈“分数四则混合运算”两次教学实践与反思[J].考试周刊，2010（39）：95-96.

[2] 胡德运，陈燕.“分数四则混合运算”教学设计与说明[J].小学数学教育，2018（Z4）：90-91.

[3] 卢琳娟，肖美娜.“分数混合运算”教学实录与评析[J].小学数学教育，2021（17）：70-72+2.

[4] 孙思雨，许添舒，孔企平.基于潜在类别分析的小学生早期代数思维水平研究[J].数学教育学报，2022，31（1）：52-58.

【本文系阜阳市科研课题“‘双减’背景下农村小学数学分层作业设计与实施研究”（课题编号：FJK23088）阶段性成果。】

（责编 杨偲培）