依惑而教：从物的等分到计数单位的等分——“两位数除以一位数”笔算教学的思考与实践

□章 颖

一、学生在笔算除法中的两个困惑

除法竖式步骤多、书写繁杂，学生计算正确率往往不太高，是小学阶段笔算教学的重难点。其中，北师大版教材三年级下册“两位数除以一位数”内容是学生第一次接触多层记录的除法，理解起来有一定难度，因而学生通常会出现两个典型的困惑。

困惑一：除法竖式为什么要写“两层”？

教学68÷2 的笔算时，教师通常先引导学生进行直观操作，再通过分物过程与竖式记录的对接，帮助学生理解算理。但事实上，教师教的过程与学生想的内容并不一致，学生存在困惑。

教师教的：把68 根小棒平均分成2 份，先分6捆，把6 个“十”平均分成2 份，每份30 根，即60÷2=30（根）；再把8根平均分成2份，每份4根，即8÷2=4（根）；最后相加，即30+4=34（根）。两次分的过程用两层竖式进行记录（如图1）。

图1

学生想的：“把68根小棒平均分成2份，6捆（6个‘十’）和8根一起分，一次就能分好，写一层竖式更简单！”“二年级时学的除法竖式也只写一层。”“写两层太复杂了，直接写一层就能算出得数。”（如图2）

图2

教师在课后访谈中发现，学生心里一直存有这样一个困惑：明明可以用一层竖式来记录，为什么还要写两层呢？可见，学生心里并不认同两层竖式的写法。这说明上述教学方式并没有体现两层竖式记录的必要性。

困惑二：除法竖式为什么要从高位算起？

教学68÷2 的笔算时，教师一再强调：要先分6捆（6 个“十”）小棒，再分8 根小棒。试图让学生明白从十位算起的必要性。然而，在分小棒时，仍有学生直接把68 根小棒一起分，不存在先高位再低位的过程；甚至还有学生先分8根小棒，再分6捆（6个“十”）小棒。这是因为68÷2这个例子比较简单、特殊，对帮助学生归纳“先分什么，再分什么”的过程的作用并不明显，所以才导致学生在应用竖式计算时不禁疑惑：加法、减法和乘法竖式都是从个位算起的，除法竖式为什么要从高位算起？

二、学生两个困惑产生的原因分析

从学生角度看，既然二年级时笔算18÷3用“一层”竖式来表示，那么三年级时笔算48÷3也可以用“一层”竖式来表示（如图3）。而学生之所以会这么认为，主要有两方面原因。

图3

原因一：学生的思维仍然停留在物的等分上

二年级时学习除法竖式18÷3是学生第一次接触除法竖式。教材中，不论是把18 根小棒平均分成3 份，还是把18 个苹果平均分成3 份，其实都是对物的一次等分，即把18 个一平均分成3 份，每份是6个一，相应地用一层竖式来记录。到了三年级学习除法竖式48÷3 时，教材一般呈现4 捆（40 根）小棒和8 根小棒，学生自然会把它看成一个整体，即48 根小棒。把48 根小棒平均分成3 份，每份就是16 根小棒，即16 个一（由于数据比较小，学生能直接得出答案）。这一过程，学生是一次完成的，不需要转换计数单位，因此就用一层竖式来表示，导致学生很难体会“先分几个十，再分几个一”的除法竖式分层记录和“要从高位算起”的道理。

事实上，整数除法的核心在于“计数单位的等分”。在等分的过程中，先等分大的计数单位，有余时再与更小的计数单位合起来继续等分；在继续等分的过程中，先将大的计数单位转换成更小的计数单位，再与更小的计数单位合起来，使计数单位的数量增加，从而能继续等分下去。从二年级的“表内除法”到三年级的“两、三位数除以一位数的笔算除法”，等分过程变得更加复杂。两位数除以一位数对应以十、一为计数单位的两次等分，相应地用两层竖式来表示；三、四位数除以一位数乃至多位数除法，不能通过口算直接得到商，需要多次等分，通过多层竖式依次记录才能得到正确答案。可见，要让学生理解“除法竖式写两层”“要从高位算起”的道理，教师的教学就要由物的等分上升到计数单位的等分。

原因二：教学未能帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分

为什么经过三年级的学习之后，很多学生仍然停留在物的等分，而对“除法竖式写两层”“要从高位算起”心存困惑呢？这可能与教师的教学设计有关。对于这一内容，教师通常会采用以下环节进行教学。

【环节一】经历平均分物的过程

教师呈现学习材料：把68个桃子平均分给2只猴子，每只猴子分到多少个桃子？

1.让学生先列出算式68÷2，再用小棒替代桃子进行分物活动：先分6 捆小棒，再分8 根小棒（如图4）。

图4

2.抽象出口算过程：60÷2=30，8÷2=4，30+4=34。

【环节二】用除法竖式记录分物的过程

1.学生尝试用竖式记录分小棒的过程。

2.交流展示学生写的不同的竖式。

3.对比交流：将“先分6捆小棒，再分8根小棒”这两次均分小棒的过程与竖式的两层记录对接起来，再用分小棒的过程来解释竖式每一层记录所表示的意思。

4.学生规范书写除法竖式，并小结除法竖式的计算方法。

……

从上面的教学环节看，学生对算理的理解，与直观形象的“分”紧密结合。教师让学生先用小棒代替实物来操作，再将两次分小棒的过程与除法竖式的两层记录对应起来。在这一过程中，教师强化的是用除法竖式记录两次分物过程的表面现象，而没有分析其实质是计数单位的等分。试想，当学生将6 捆小棒和8 根小棒平均分成2 份时，他们看到的是分物，还是分计数单位“十”和“一”？答案显而易见。学生用小棒进行操作活动，体验的自然是小棒的等分。当把成捆的小棒拆分开来，学生看见的直接就是“10 个一”，并不需要“把1 个十转换成10个一”，因此很难理解“先分几个十，再分几个一”的道理。

从以上分析中可以看出，学生产生这两个学习困惑的原因，是分小棒没有帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分。

三、解决学生两个困惑的关键

如何解决学生的两个学习困惑，帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分呢？关键是要凸显计数单位的转换。教学中，教师应借助适合的学具（磁扣）来体现计数单位的转换过程。

以笔算42÷3为例，教师可以用4个大磁扣和2个小磁扣来表示42（如图5），引导学生联想到计数单位“十”和“一”。把4个大磁扣和2个小磁扣平均分成3份，应先分4个大磁扣，平均分成3份，每份1个大磁扣，余下1个大磁扣；再根据“退一作十”，将余下的1个大磁扣转换成10个小磁扣。这种“把1个十换成10个一”的大小磁扣转换过程，促使学生用两层竖式表示等分过程，帮助学生完成等分中的升级，即先分十位上的几个十，将余下的1 个十转换成10个一，和个位上的几个一合起来再分，从而让学生理解“除法竖式写两层”和“要从十位算起”的道理，同时也为后续学习三位数除以一位数和小数除法奠定基础。

图5

具体而言，教师可以设计以下两个教学活动。

教学活动一：磁扣操作，体验计数单位的等分

这一学习内容教材安排了2 个课时，先学习68÷2（首位能除尽），再学习48÷3（首位不能除尽）。教师设计教学活动时，将2个课时整合为1个课时，并将48÷3 改为42÷3，作为例题进行教学。这样设计主要有两方面原因：一方面，首位不能除尽的除法更具有一般性，易于迁移到首位能除尽的除法；另一方面，42÷3比48÷3更方便学生操作学具。

1.任务驱动：42÷3 的竖式怎么写？自己先试一试。

2.教学反馈：预设学生主要有两种不同的竖式写法（如图6）。

图6

3.比较分析：如果这两种写法都对，你喜欢哪一种？

大部分学生喜欢竖式A，因为竖式A和他们之前学习表内除法时的写法一样。而竖式B 要写两层，比较复杂。

4.教师提问：既然我们都认为竖式A 比较好，为什么书上会选用竖式B呢？

这个提问是学生最困惑的问题。学生因为在二年级有学习除法竖式12÷3 的经历，所以会从除法的意义进行思考。

5.回顾除法的意义：42÷3表示什么意思？表示把42平均分成3份，每份是几。

6.直观操作。

教师出示4 个大磁扣和2 个小磁扣（如图7），提问：这是42吗？你是怎么知道的？

图7

学生思考：如何把4 个大磁扣和2 个小磁扣平均分成3份。

教师提问：先分什么？余下的1个十不够分怎么办？再分什么？

交流：刚才我们分了两次。第一次分4 个十，将其平均分成3 份，每份分到1 个十，分掉3 个十，还剩1 个十。余下1 个十不够分，转换成10 个一。第二次分12个一，平均分成3份，每份分到4个一，分掉12个一，正好分完。

教师直接让学生尝试不同的算法，呈现学生的两种不同竖式，直面学生的疑问，而这疑问恰恰指向背后的算理，指向基于意义的操作明理。然后引导学生将教材中的操作学具小棒替换为大小磁扣，在平均分的过程中突出计数单位的转换。学生第1 次先分4 个十，剩下1 个十不够分，发现必须把1个十换成10 个一。由此，将两次平均分的过程呈现在学生面前。

教学活动二：体会记录，将除法竖式与两次等分过程进行关联

1.问题讨论：根据分的过程，你觉得这两种竖式写法，哪一种比较合理？很多学生认为竖式B比较合理。

2.教师追问：为什么竖式B比较合理呢？很多学生认为竖式B很好地记录了两次平均分的过程。

3.教师继续追问：你能在竖式B中找到两次平均分的过程吗？先分的4 个十对应什么？要转换的1个大磁扣呢？在竖式A中能找到吗？

4.规范写法：用课件动态演示两次平均分的过程，学生用竖式记录。教师示范写法，并说一说计算过程。

5.比较：同样是两位数除以一位数，为什么12÷3 的竖式只需用一层来表示，而42÷3的竖式却要用两层？

6.结论：12÷3平均分了一次，所以是一层竖式。42÷3 平均分了两次，所以是两层竖式。

在充分体验计数单位的等分后，学生马上能将两次等分过程与两层竖式一一对应起来。这不仅体现了竖式分步记录的合理性，还将学具操作与口头表述、竖式书写之间进行多向沟通，从而使学生深刻理解除法竖式就是对两次等分过程的记录。学生在笔算除法中的“惑”自然就解了。

回顾整个教学过程，教师基于学生学习笔算除法的典型困惑，分析困惑产生的主要原因，依惑而教，将操作学具从小棒变为磁扣，在计数单位的转换中凸显两次等分记录，最终解决学生的困惑。

在小学阶段，学生一定还有不少类似的学习困惑。俞正强老师在《种子课2.0：如何教对数学课》一书中写道：为什么那么多学生对数学学习感到困惑，继而感到困难？这一定是有原因的。这个原因不是知识本身的对与否，而是教师“教”的这一行为的对与否。很多学生出现的学习困惑，与教师对教材和学情分析不到位，导致教学内容逻辑失序、学习素材选择失当、教学设计定位不准等有很大的关联。因此，教师应直面学生的学习困惑，认真解读教材，合理选择学习素材，精心设计教学预案，朝着正确的方向，上好每一节数学课。