构建数学创生课堂 发展学生高阶思维*

董荣森 何静芳|江苏省怀仁中学

当前，课堂教学中仍然存在诸多问题，如：教师以教“考”为中心，只重视知识传授，而忽视对学生能力的培养，使数学学科核心素养难以落地生根；学生普遍缺失问题意识和批判质疑精神；学生课业负担过重，“学生苦教师累”现象没有得到根本性改善.

为准确把握国家“双减”政策和“三新”背景下国家对创新型人才的需求，笔者积极探寻课堂提质增效的教学之道.在实践中，笔者发现构建与实施基于问题解决的数学创生课堂，可有效破解课堂教学中存在的问题，全面落实数学学科核心素养的培育，发展学生高阶思维能力，促进学生主动适应未来社会的发展.

一、概念界定

（一）创生

“创生”一词出自鲁迅《集外集拾遗》，意为创造产生、生而成长.笔者使用这个词汇，主要指向这两个字本身所隐含的三个逐层进阶的含义.一是创设、生动，指教师通过创设真实的情境和生动的场景，调动学生利用已有知识与经验去发现问题，充分激发学生启动思维、积极思考，提出问题，从而生长新知识与经验.二是创新、生成，指教师引导学生通过自主、合作、探究等多种学习方式分析问题，并关注知识的变式与生成，使学生在不断的创新中生成新事物、新概念，构建生成有意义的概念与知识体系.三是创造、生长，指教师通过开展以问题为主线的数学教学，引导学生在创造性解决问题的活动过程中生长.如此，教师在课堂上“教中创”，学生在课堂里“创中学”，课堂教学培育出的就是富有活力的精彩生命.

（二）高阶思维

高阶思维，简单地说就是高水平思维，是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力，包括分析性思维、抽象性思维、创造性思维和批判性思维.

二、指向高阶思维培养的数学创生课堂构建

创生课堂是指以“生”（即“生动、生成、生长”）为本源，以“创”（即“创设、创新、创造”）为内核的课堂.数学创生课堂的本质是聚焦问题与创生，促进学生高阶思维发展.在创生课堂教学中，教师通过创设现实情境、数学情境、科学情境，为学生提供参与性强、创造性高、实践性强的学习环境，有意识地引导学生进行真正有意义的学习，即不断地发现提出问题、分析解决问题、反思生成问题，让学生的情感、思维和智慧行走在问题解决的主线上，从而充分发挥学生的想象力和创造力，发展学生的高阶思维能力、创新能力和实践能力，有效落实数学学科核心素养的培育.

在指向高阶思维培养的数学创生课堂构建过程中，笔者形成了基于问题解决的数学创生课堂教学范式.在实施中，笔者始终以“生”为本：立足学生的最近发展区创设情境，充分调动学生的思维，使其积极参与到学习中以发现提出问题；引导学生通过自主、合作、探究等多种学习方式分析解决问题，关注知识的生长点构建新知，实现教学方式与学习方式的有效转变；通过创造性的课堂学习活动，教师在课堂上创造性地教，学生在课堂上创造性地学，并通过反思生成问题，有效地激发思维，从而提高课堂教学效率.指向高阶思维培养的数学创生课堂教学框架如图1 所示（注：图及下文中出现的“高思”指“高阶思维”）.

图1 指向高阶思维培养的数学创生课堂教学框架

（一）创设、生动

此部分分为两个环节.一是创设情境启高思，即教师创设情境，帮助学生启动高阶思维发现问题，要求是创设情境时须做到精准教学，体现方向性.二是问题驱动激高思，即学生依据情境、提出问题，激发高阶思维，要求是夯实基础，做到心中有数，体现生动性.

（二）创新、生成

此部分分为两个环节.一是主体活动构高思，即学生自主探究、分析问题，构建高阶思维，要求是自主探究，做到心中有术，体现丰富性.二是合作互动拓高思，即师生合作构建、理解问题，拓展高阶思维，要求是应用数学，做到心中有方，体现生成性.

（三）创造、生长

此部分分为两个环节.一是智慧灵动创高思，即知识迁移应用、解决问题，创新高阶思维，要求是融会贯通，做到心中有策，体现创新性.二是触动反思固高思，即师生反思交流、生成问题，巩固高阶思维，要求是殊途同归，做到一见如故，体现持久性.

以上六个环节分别指向不同的教师活动、学生活动和师生互动：纵向方面，挖掘教师教学活动的深刻性，不仅能提高学生的认知水平，而且有利于启发学生的高阶思维；横向方面，能丰富课堂形式，增加师生交流沟通，进一步提高学生的思维能力.

三、指向高阶思维培养的数学创生课堂实施

下面，笔者以高三复习微专题“函数的公切线”教学为例，对指向高阶思维培养的数学创生课堂教学环节展开阐述.

（一）创设情境启高思

“创设情境”，指教师创设与构建一个真实而具体的学习场景，引导学生进入更高层次的思维模式，由此帮助学生发现问题，更深入地理解问题，进而寻找到更有效的问题解决方案.在这个过程中，学生需要运用抽象分析、逻辑推理、创造性思维等高阶思维能力，以应对复杂的问题和挑战.创设的情境要能激发学生的想象力和创造力，帮助他们更好地应对现实生活中的各种挑战.

【环节1】回眸高考，追踪热点——创设情境，做到精准教学，体现方向性

［例1］（2022 年高考数学全国Ⅰ卷第14题）写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程：_______.

［例2］（2022年高考数学全国甲卷文科第20 题）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围.

设计说明：直接引用高考真题创设问题情境，可确保问题情境与教学目标、高考评价相一致.例1 要求学生多角度思考问题，学生可以根据自己的能力水平想到不同的解题路径和方法，能够较好地发展数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.例2涉及利用导数研究函数性质的方法、判断函数单调性、求函数极值点、求切线方程等问题，从多角度考查学生对导数公式和导数运算法则的掌握情况，推理论证能力和运算求解能力，以及对分类讨论思想方法的理解与运用.由这两例引导学生精准把握新高考热点、重点、难点等考查方向，可使其发现、理解并领会命题者对公切线考查的命题意图.

（二）问题驱动激高思

“问题驱动”，就是教师把问题作为学生学习的动力源，让学生产生学习的欲望，从而全身心地投入解决问题的活动.教师在依托情境提出问题时，要注意把握好问题设置的难度和梯度，一定要在学生的最近发展区内提出问题.问题的提出应遵循以下三个原则.一是低起点原则.以“夯实基础”为基，问题起于知识原点、背景材料、学生的认知障碍、自然现象等.二是逻辑链原则.提出的问题应构成一条逻辑线索，根据知识层次或方法设置问题，即知识线和方法线，问题之间必须存在逻辑关系，是一个逻辑链，体现相关性.三是梯度小原则.可比喻为盘山公路式，起点低、坡度小、路程长、目标达成度高［1］.

【环节2】问题驱动，激活思维——夯实基础，做到心中有数，体现相关性

［例3］已知直线l是曲线y=ex-1 与y=lnx+1的公共切线，则l的方程为____.

解析：设直线l与曲线y=ex-1 相切于点P(a,ea-1)，与曲线y=lnx+1 相切于点Q(b,lnb+1)，则整理得(a-1)(ea-1)=0，解得a=1 或a=0.当a=1时，l的方程为y=ex-1；当a=0 时，l的方程为y=x.

方法规律：求两函数的公切线.

（1）两函数的公切线：如图2，设直线y=kx+m分别与函数y=f(x),y=g(x)的图象相切于点A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)) ，则k=

图2

（2）切点相同的公切线：特别地，A,B重合为一点P(x0,y0)时，则f(x0)=g(x0),f '(x0)=g'(x0).

（3）求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f '(x0)·(x-x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

设计说明：例3 由例1演变而来，将“两圆”变成“两曲线”，引导学生理解两函数公切线定义，掌握求两函数公切线的方法，厘清曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线等混淆点，从而达到夯实基础、激活思维、体现相关性等目的.

（三）主体活动构高思

“主体活动”，强调学习是学生自己的事，学生必须经历学习活动的主要过程，才能构建自己的知识与方法体系，并从中学会体验、获得能力.在教学中，教师要放开手脚，给学生充分的时间和广阔的空间，让学生真正成为活动的主人，做到心中有术，而不是提供浅层次没有意义的假活动［2］.教师在活动中应起到指导和帮助的作用.活动形式最好能多种多样，如讨论、板演、推算、理解记忆、实验、表达等，以体现丰富性.

【环节3】主体活动、构建数学——自主探究，做到心中有术，体现丰富性

［变式1］已知与g(x)=2x-x3+c的图象有一条公切线，则c=_______.

解析：由公切线的斜率为2，与f(x)，g(x)的图象分别相切于点即

方法规律：与公切线有关的求值问题：利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上或斜率相等知识，得到含参数的方程，同时要注意基本不等式、非负数等知识的综合应用.

［变式2］若则函数y=ax2与y=lnx的公切线有（）

A.0条 B.1条C.2条 D.无数条

解析：设切线与曲线y=lnx相切于点所以曲线y=lnx在点(t,lnt)处的切线方程为即

由题意可得a≠0 且可得

令g(t)=t2-t2lnt，其中t＞0，则g'(t)=2t-(2tlnt+t)=t(1-2lnt).

当0 ＜t＜时，g'(t)＞0，函数g(t)单调递增；当t＞时，g'(t)＜0，函数g(t)单调递减.

图3

方法规律：判断公切线条数的方法：由切线与曲线关系得到关于切点坐标的函数或方程，通过零点存在定理确定函数零点个数或者构造两函数，作出两函数图象确定交点个数，从而判断公切线条数.

［变式3］若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=存在公切线，则实数a的取值范围为______.

解析：设切线与曲线C1，C2的切点分别为切线斜率有解构造函数直线y=4x-4与曲线相切时，设切点为(s,t)，则且即切点为(2,4)，a=的取值范围是

方法规律：与公切线有关的求参数取值范围：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.

设计说明：通过变式1、2，让学生对与公切线有关求参数值（范围）以及判断公切线条数等问题有更深的认识与理解；变式3，通过改变问题的条件与结论，来增强问题所涉知识的丰富性，发展学生分析问题求解的能力.

（四）合作互动拓高思

“合作互动”，指学生在学习活动中，既应突出独立性和自主性，也要关注合作互动，以相互启发，互通有无，实现智力共同体资源共享.在学生自己独立解决比较困难时，教师可以让学生之间进行交流或合作，必要时教师也可以参与其中，给学生提供帮助.该环节主要围绕点、线、面三个维度来展开，包括两个方面的互动：一是形式上的互动，包括师生互动如师生对话、辩论、答疑，生生互动如同桌互问互答、互为师生、互演角色；二是方式上的互动，包括思维互动、归纳总结、小组讨论、互相解疑等.

【环节4】合作互动，提升素养——应用数学，做到心中有方，体现关联性

［例4］（2022年高考数学全国甲卷文科第20题） 已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围.

解析：第（1）问有两种分析思路.

思路1：由题设得f '(x)=3x2-1,g'(x)=2x⇒曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y=2x+2⇒g'(x)=2x=2，得x=1⇒(1,g(1))在切线上⇒1+a=4，得a=3.

思路2：由题设得曲线y=f(x) 在点(-1,f(-1)) 处的切线方程为y=2x+2 ⇒由题设得Δ=(-2)2-4(a-2)=0，解得a=3.

第（2）问有三种分析思路.

思路1：由曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)相切于点得x2=由得构造函数运用导数知识求出h(x)的最小值为-1⇒a的取值范围是[-1,+∞).

思路2：由题设可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线由题设知与曲线y=g(x)相切得1)，以下同思路1.

思路3：设曲线y=g(x) 上切点为(x2,g(x2))⇒切线和y=消去x2⇒a=以下同思路1.

设计说明：第（1）问，给定曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线，将学生熟悉的知识点作为考查对象，面向的是大部分学生.第（2）问，对学生的思维和知识的综合性、关联性都提出了一定要求.解决问题时，需要综合利用函数的特征、函数的单调性以及题干中给出的切线相同的条件，启发学生多角度思考问题，构建解决问题的不同思路.在设计上，通过分步设问，逐步推进，涉及内容由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，能充分展示不同学生在理性思维深度、知识掌握牢固程度、运算求解娴熟程度等方面的差异，对发展学生的逻辑推理能力、创新思维能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力都具有积极作用.

（五）智慧灵动创高思

“智慧灵动”，即学生运用所学知识灵活机智地解决问题.在这一过程中，教师针对不同问题可以通过设置变式、拓展、延伸等方式，引导学生主动感悟体验、应用迁移、创新生成，构建具有一定操作意义的数学模型，体现创新性.

【环节5】智慧灵动，拓展思维——融会贯通，做到心中有策，体现创新性

［例5］如图4，已知点P为函数f(x)=lnx图象上的任意一点，点Q为圆上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为_______.

图4

解析：对于双动点问题，处理的方法往往是需要寻找到一个定点将“双动点问题”化归为“单动点问题”.注意到圆y2=1 的圆心是固定的，于是要求|PQ|的最小值，只需求|PC|的最小值即可.如何求|PC|的最小值呢？

思路1：（导数法）设P(x0,lnx0)，则|PC|2=构造函数运用导数求其最小值.

思路2：（公切线法）容易判断曲线y=lnx与圆C没有公共点，于是可以将圆C的半径逐渐增大到与曲线y=lnx恰好相切于点P，切线为l，当PC⊥l时，|PC|最小.此时，曲线y=lnx在点P处的切线也是与圆C的切线.

设P(x0,lnx0)，则即求得x0=e，所以P(e,1).

［变式］（2023 年安徽等四省联考第14题） 若P,Q分别是抛物线x2=y与圆(x-3)2+y2=1 上的点，则|PQ|的最小值为______.

设计说明：例5 属于双动点求最值问题，解决的方法有两种.方法1 是通性通法，设点建立函数关系，再运用导数等知识求解，思路清晰但运算比较烦琐、用时过多，以此来解填空题或选择题有点得不偿失.方法2用运动的观点来看问题，利用两曲线的公共切线知识来解决，非常简单快捷.在解决过程中，根据学生思维与能力差异，合理引导学生融会贯通、应用迁移所学知识解决问题，体现创新性，可发展学生的批判性思维和模型思维.

（六）反思触动固高思

“反思触动”，包含两个层面.一是对于学生来说，要通过反思总结出一般性的规律并评价生成.如果学生在反思的过程中能提出新问题（生成性问题），那是更高的境界，表明学生的批判性思维已经得到发展.二是对于教师来说，要对自己的课堂教学进行触达心底的反思.如果课堂教学能够给教师留下刻骨铭心的感受与体会，那么教师就会更有动力去改进教学.

【环节6】反思触动，生成问题——殊途同归，做到一见如故，体现持久性

［课堂小结］通过这节课的学习，谈谈你有哪些收获，以及还存在哪些困惑.

设计说明：以课堂小结的形式引导学生根据个性、素养差异，对所学知识进行深入的归纳总结、反思交流、思维碰撞，使其在思想上、心灵深处产生触动，可不断生成新问题，体现持久性.

四、结语

指向高阶思维培养的数学创生课堂是以“学”为本的课堂，并以问题解决为主线.在课堂教学过程中，教师既要充分关注学生知识的生长点，又要引导学生把已有知识储备作为促进数学高阶思维生成的桥梁.聚焦问题解决的课堂教学，其核心是调动全体学生主动参与真正有意义的学习全过程.那么，何谓真正有意义的学习？李铁安在北京师范大学数学学院数学建模教育中心江苏分中心成立仪式上说：“真正有意义的学习，都可以归结为不断发现提出问题、分析解决问题的过程，没有让学生情感和智慧行走在解决问题的主线上的学习过程不是真正有意义的学习.”科学始于问题，数学与“问题”有着天然的、密切不可分割的联系.因此，数学课堂教学必须让学生经历有意义的学习过程，必须让学生经历不断发现提出问题和分析解决问题的整个学习过程，促进学生的高阶思维发展，从而落实数学学科核心素养的培育.