考虑灯光诱杀橄榄树虫害模型的建立及性态分析
2023-12-28王行素李桂花
王行素, 李桂花
(中北大学数学学院, 山西 太原 030051)
0 引言
橄榄树原产中国南方, 是我国南方特有的常绿珍稀果树, 是潮汕地区的主要果树之一, 中国福建、 台湾、 广东、 广西、 云南等地区均有栽培[1-2[, 其果实营养丰富, 经济和药用价值较高[3[. 野生橄榄树生长在海拔1 300 m以下的沟谷和山坡杂木林中, 或栽培于庭园、 村旁. 由于橄榄害虫的发生, 造成橄榄树落叶、 枯梢、 甚至整株枯死, 严重影响橄榄树的正常生长, 导致产量大幅度下降[4[. 橄榄星室木虱是近几年来新发现橄榄树上最为主要的害虫, 在潮汕地区危害橄榄树, 严重制约了橄榄的生产. 橄榄星室木虱属同翅目木虱科, 该虫能造成嫩叶扭曲畸形, 不能伸展, 致受害新梢少结果或不结果, 同时该害虫排泄物也易引发橄榄树煤污病[5[. 以往人们对于害虫的防治大多采用化学农药, 但长期大量使用化学农药会引起环境污染、 害虫抗药性等一系列问题. 近年来, 人们意识到化学农药对环境和人类产生的危害, 主张发挥天敌的自然控制力量, 以生物防治为主要措施之一, 持续控制害虫的种群数量[6-7[. 橄榄星室木虱的天敌主要有瓢虫、 草蛉、 蜘蛛类、 捕食螨和黑肩绿肓蝽等捕食性天敌, 以及跳小蜂等寄生性天敌, 数量达20种以上. 其中瓢虫的数量最多, 红基盘瓢虫和红星盘瓢虫是瓢虫类的优势种群[8-9[. 当橄榄星室木虱数量较多时, 利用天敌可以制约害虫的数量, 使害虫数量得到一定程度的改善.
对捕食者-食饵的研究, 最早可追溯到由Lotka[10[和Volterra[11[建立的著名捕食者- 食饵模型(L-V模型), 即
式中:x,y分别为食饵和捕食者的数量;K1,K2分别为食饵和捕食者种群的环境容纳量;r1,r2分别为食饵和捕食者种群的内禀增长率;a为捕食者对食饵的捕食率;c为捕食者捕食食饵的转化率.
之后, 有很多学者对不同形式的捕食食饵模型进行了研究[12-14[. 当害虫爆发时仅仅靠单一的红基盘瓢虫是控制不住的, 需要加入灯光诱杀这样的人工干预[15-17[. 实验研究表明[18-19[, 利用夜间害虫和有益昆虫飞行高峰期进行灯光诱杀, 能够在有效捕杀害虫的同时保护有益昆虫. Liang等[20[学者考虑线性捕杀量. 由于不同的时间害虫的数量不同, 以及害虫和有益昆虫的飞行高峰期不同, 需要捕杀害虫的强度不同, 因此, 本文引入了灯光诱杀强度(A)随着时间变化而变化.
假设x和y分别表示食饵橄榄星室木虱和捕食者红基盘瓢虫的数量, 则模型建立如下.
(1)
式中:r1和d分别表示橄榄星室木虱的出生率和死亡率;a和q分别表示红基盘瓢虫和灯光的捕杀率;c是转化率;α是最大捕杀率;ε是光的波长及其它因素对光捕杀强度的影响;b是半饱和系数.
1 平衡点的存在性
为了研究平衡点的存在性, 令系统(1)右端为零.
下面考虑正平衡点的存在性.
F(x)=Ka2cεx2+A1x+r2bε(Ka+d-r1)=0
(5)
其中
A1=r2ε(Ka+d-r1)+Ka2bcε+r2qα.
当r1≤d+Ka时, 蕴含A1>0, 很容易得到下面的定理.
定理11) 系统(1)始终存在灭绝平衡点E1(0, 0, 0)及边界平衡点E2(0,K, 0);
3) 若r1≤d+Ka, 系统(1)不存在正平衡点;
4) 若r1>d+Ka, 系统(1)存在唯一的正平衡点E*.
2 平衡点的稳定性
2.1 灭绝平衡点和边界平衡点的稳定性
为了证明平衡点的稳定性, 系统(1)在平衡点E(x,y,A)处的雅可比矩阵为
将灭绝平衡点E1(0, 0, 0)代入雅可比矩阵中, 得
其特征根λ1=r1-d,λ2=r2>0,λ3=-ε<0.显然灭绝平衡点E1是鞍点.
将边界平衡点E2(0,K, 0)代入雅可比矩阵中, 得
其特征根λ1=-r2<0,λ2=-ε<0,λ3=r1-aK-d, 当r1
J3特征方程为
F1(λ)=λ3+a1λ2+a2λ+a3
(6)
其中
显然, 由平衡点E3的存在性条件易判断a3<0, 这样由Hurwitz判据可知, 边界平衡点E3不稳定.
定理2对于系统(1), 有
1) 灭绝平衡点E1是鞍点;
2) 当r1
3) 边界平衡点E3始终不稳定.
2.2 正平衡点的稳定性
定理3对于系统(1), 正平衡点只要存在一定为局部渐近稳定.
证明: 为证明正平衡点的稳定性, 计算系统(1)在E*处的雅可比矩阵为
JE*特征方程为
P1(λ)=λ3+m1λ2+m2λ+m3=0
(7)
其中
经计算可得
由Hurwitz判据可知, 方程(7)所有根都具有负实部, 即矩阵JE*的所有特征值的实部都为负值, 即平衡点E*局部渐近稳定.
3 博弈理论分析
本节将用博弈论的知识分析灯光诱杀害虫和用天敌捕杀害虫在博弈过程中害虫数量的变化[21[, 首先设置游戏策略的一般框架[16[, 策略C表示合作, 策略D表示背叛, 双方博弈的收益矩阵用橄榄星室木虱的数量来表示. 即
CDCRSDTP
其中:R表示灯光和天敌合作捕杀后害虫的数量;S表示单独利用灯光诱杀后害虫的数量;T表示单独利用天敌捕杀后害虫的数量,P表示不采取任何措施害虫的数量.则有
(8)
分别计算, 可得
(9)
其中: 当害虫数量足够多时,T-R表示单独使用灯光诱杀害虫的数量,S-R表示单独使用天敌捕杀害虫的数量,P-R表示灯光和天敌合作捕杀害虫的数量.
接下来分别固定害虫数量、 灯光诱杀强度和害虫数量, 以天敌数量来分析比较单独利用天敌捕杀、 单独利用灯光诱杀及同时利用灯光诱杀和天敌捕杀3种方法控制害虫数量的效果.首先固定害虫数量和灯光诱杀强度, 取x=50,A=10,q=0.5,a=0.3.通过式(9)计算, 发现当y
其次固定害虫数量和天敌数量, 取x=50,y=20,q=0.5,a=0.3.通过公式(9)计算, 发现当A
从得出的结论中, 建议在橄榄星室木虱的防治中可以同时采用天敌捕杀和灯光诱杀, 这样能够使害虫数量在短时间内得到控制, 避免害虫数量的爆发.
4 数值模拟及结论
前两节分析了模型的动力学性态, 讨论灭绝平衡点、 边界平衡点与正平衡点的存在性及稳定性, 本节利用Matlab进行数值模拟, 对之前的结果进行验证并对灯光诱杀情况进行数值分析.
对于正平衡点的存在性, 取K=50,a=0.005 5, 当r1≤d+Ka时不存在正平衡点, 当r1>d+Ka时有唯一的正平衡点(见图1).
图1 正平衡点的存在性Fig.1 Existence of a positive equilibrium
对于平衡点E2.取参数r1=0.8;K=50;r2=0.85;a=0.05 5;q=0.75;b=0.68;c=0.5;α=0.6;ε=0.6;d=0.5, 不同的初值对平衡点的影响见图2(a).
图2 捕食者数量随着时间的变化Fig.2 Predator populations over time
对于平衡点E*.取r1=0.8;K=50;r2=0.7;a=0.005 5;q=0.5;b=0.2;c=0.3;α=0.4;ε=0.8;d=0.4, 不同的初值对平衡点的影响见图2(b).
图3是正平衡点的相轨线图, 验证了正平衡点的稳定性.
图3 正平衡点的稳定性Fig.3 Stability of a positive equilibrium
接下来分析人工干预对平衡点稳定性的影响.
首先考虑对平衡点E2的影响, 固定参数r1=0.8;K=50;r2=0.85;a=0.008 5;b=0.68;c=0.5;α=0.6;ε=0.6;d=0.5, 分别取q=0.1,q=0.3,q=0.9, 如图4(a)所示, 可见随着参数q的增大, 系统趋于稳定的时间变短了.
图4 害虫数量随着时间的变化Fig.4 Numbers of pests varies with time
对于正平衡点E*, 固定参数r1=0.8;K=50;r2=0.7;a=0.005 5;b=0.2;c=0.3;α=0.4;ε=0.8;d=0.4, 分别取q=0.16,q=0.20,q=0.30, 如图4(b)所示, 可见随着参数q的增大, 系统趋于稳定的时间变短了.
下面考虑捕杀率和捕杀强度之间的关系, 取r1=0.8;K=50;r2=0.7;a=0.005 5;q=0.5;b=0.2;c=0.3;α=0.4;ε=0.8;d=0.4.当q在一定范围内, 随着q的增加需要人工干预的捕杀强度越来越低(见图5).
图5 捕杀强度随着捕杀率的变化Fig.5 Variation of kill intensity with kill rate
数值分析证明, 在橄榄树食物链中加入人工干预的灯光诱杀可以适当减少橄榄星室木虱的数量, 避免橄榄星室木虱数量的突然爆发. 可见, 灯光诱杀对系统起着至关重要的作用. 因此, 在橄榄星室木虱的防治中不仅要引入并保护天敌, 还要适当加入人工干预, 且两种方法同时使用能够有效避免害虫数量突然爆发, 从而在短时间内控制害虫数量.
