利用智能手机研究平板小角摆动的周期

张 威,邓招华,杨 琴,李红印,刘应开*

(1.云南师范大学物理与电子信息学院,云南 昆明 650500;2.龙陵县河头初级中学,云南 保山 678300)

1 木板摆动实验

1.1 实验原理

1.1.1 双线摆周期的理论推导

图1中表示一个双线摆,两根长为L的细绳悬挂一质量为M的光滑匀质平木板,板的中央放置一质量为m的光滑小球,开始时给木板一个水平向右的初速度v0,随后木板将作小角度地摆动[3]。板在摆动时,各部分与质心运动一致,只需要考虑质心运动即可,摆角为θ时平板质心速度v和小球竖直向上的速度vy,如图2所示。能量方程和速度关系式为

图1 木板摆动图

图2 木板摆动θ角图

(1)

木板的质心加速度为

(2)

假设木板与小球之间的竖直方向作用力大小为N,则木板的切向动力学方程为

(Mg+N)sinθ=-Ma切。

(3)

小球的动力学方程为

N-mg=may。

(4)

联立,消去N有:

(M+m)gsinθ=-Ma切-maysinθ。

(5)

小球向上的加速度ay即为木板圆运动加速度的相应分量,即:

ay=a心cosθ+a切sinθ。

(6)

将(2)代入(6),可得:

(7)

将(7)代入(5)式,并有:

(8)

引入关于θ的角加速β=a切/L可得:

(9)

本题所给V0很小,θ也就很小,有如下近似:

(9)式简化为

β+ω2θ=0 ,

(10)

(11)

可见平木板的运动类似于单摆运动,摆动周期为

(12)

从(11)式可知,平木板的摆动周期与小球质量平木板质量以及摆长有关。当小铁球的质量变大时,系统的振动周期将变小。本文测量平木板和小铁球的质量以及摆长,利用智能手机上的phyphox软件记录下平木板下方的光源随平木板周期性摆动时光强随时间的变化,从而获得平木板的摆动周期T。与理论结果比较,研究木板的摆动规律,从大到小改变小铁球的质量,探究摆动周期变化所呈现的规律。

1.1.2 空气阻力对实验的影响

实验在空气中进行,平木板的摆动不再是等幅的简谐振动,其振幅按Ae-ξωnt5规律随时间不断衰减。当时间趋近无穷大时,振幅趋近零,平板静止下来。在该研究中,平木板摆动为小阻尼的自由振动,也称为衰减振动[5]。阻尼对自由振动存在两方面的影响,一方面使系统振动的周期有细微的增大,频率略有降低;另一方面小阻尼使系统振动的振幅按几何级数衰减。当阻尼比较小时,即阻尼系数远小于1时,可以忽略对实验的影响。如当阻尼系数为0.05时,T′=1.001 25T,与无阻尼相比较,仅仅相差0.125%。此时振幅A2=A1/1.336=0.73A1,也就是在每一个周期内振幅减少27%,振幅按几何级数衰减。空气阻尼系数在k=2mβ=2.15×10-46左右,由于空气阻尼系数比较小,对平木板的周期和频率的影响可以忽略不计,实验中的小铁球与木板的接触产生的摩擦也十分小,故忽略不计。

1.2 实验装置和步骤

1.2.1 实验器材和装置

实验所用器材为纽扣电池,LED灯,两个铁架台,电子秤,两根PC硬管(一根短,一根长),两根等长的细绳,不同质量的小铁球4个,厘米刻度尺,一块匀质的平木板,胶水,已安装phyphox的智能手机一部。

装置如图3所示,将发光装置用胶水黏合在板的几何中心正下方,并在木板上方中央将PC塑料管按如3图所示黏合牢固,用于束缚小铁球。将一根长的PC塑料管固定在铁架台上,用细绳固定好,并将木板悬挂在PC塑料管下方,确保两根摆线等长.装置后面用木板制作一个角标,便于确保在5O内摆动。光源的正下方放置一部智能手机,使手机感光部分正位于光源光强最强处,用于接收光强随时间变化情况。

图3 实验装置

1.2.2 实验步骤

(1)用电子秤测量出木板的质量M和小铁球的质量m。

(2)按照要求确定横杆的高度,并固定横杆,平木板固定在横杆的下方形成一个复杂的摆动系统,将PC塑料管固定在木板横向的中央处,在木板的下表面的几何中心处固定好LED灯。

(3)用厘米刻度尺测量出摆的摆长l。

(4)利用智能手机上的phyphox软件测量当地的重力加速度g。

(5)打开智能手机中phyphox软件的光接收器,让木板在5°以内摆动,记录光强随时间变化曲线,更换不同质量的小铁球,记录光强随时间变化的数据。

(6)对数据进行处理和分析。

2 双线摆周期测量

2.1 数据记录

Phyphox记录了光强随时间变化的数据,图4是系统的摆动周期图。

t/s图4 0.53 g小铁球摆动周期图

从图4中可以看到光强呈现出周期性变化,图中一个波峰表示光强最强,也就是平木板刚好经过手机正上方时的光强。因此,从第一个峰开始出现第三峰时为一个周期,为了使结果更精确,选择了5个周期的平均值来计算平木板摆动的周期,数据列于见表1。

表1 质量为0.53 g的小铁球的周期

木板的质量为86.45 g,小铁球质量为0.53 g,摆长为32.91 cm。另外,为了求出木板小角振动的周期的理论值,我们还利用手机重力加速度传感器及其物理工作坊软件测量当地的重力加速度,取6次测量结果的平均值9.78 m/s2代入公式(12)如图5所示,从而求出木板双线摆振动周期的理论值,便于和实验直接测量振动周期作比较,并计算相对误差。

图5 智能手机重力加速度传感器测量当地的重力加速度

2.2 数据处理与分析

将相应的实验数据代入公式(12),得到双线摆的理论周期,即:

(13)

与实际测量的周期相比,二者相差仅仅0.002 550,相对误差为0.255%。

2.3 计算不确定度引起的误差

实验过程中测量了质量2次,分别为M和m,细绳的长度L,电子天平最小分度为0.01 g,相应的直接测量引入的标准不确定度的B类分量[7]为0.005 774 g,测量长度用厘米刻度尺,其最小分度为0.01 m,相应的直接测量引入的标准不确定度的B类分量[7]为0.005 774 m。计算理论周期T时,其结果为C类不确定度[7],所得周期为0.048 339 s。智能手机上的光传感器为每0.16 s记录一次光强,由此直接测量引入的标准不确定度的B类分量[7]为0.092 376,从而得到相应的真实值:T测量=1.152 011±0.092 376,T理论=1.150 101±0.048 339。

3 选取不同质量的小铁球时,系统的摆动周期

选取不同质量的小铁球来探究平木板摆动周期的变化。小铁球的质量(m)分别用1.67,1.00,0.53和0.21 g,摆长(l)为32.91 cm,木板的质量(M)为86.45 g,重力加速度取上述实验测定的9.78 m/s2。实验过程重复上述实验步骤(1)-(5),结果列于表2。可见,理论与实际数值吻合得很好,在误差允许范围内验证了理论结果。

4 结 论

本文从动力学方程出发,研究了等长的双线悬挂的平板在水平方向的小角摆动周期,获得了(6)式的周期公式。平木板系统的周期随小铁球的质量的增加而减小。同时,利用安装phyphox软件的智能手机及其光传感器功能测量了平木板系统的周期,测量结果表明:摆长(L)为32.91 cm,重力加速度(g)为9.78 m/s2,木板的质量(M)为86.45 g。小铁球质量(m)分别为1.67、1.00、0.53、0.21 g时,平木板系统的摆动周期分别为1.142 811、1.151 377、1.1520 02和1.156 924 s,而理论计算周期则分别为1.141 615、1.145 980、1.149 072和1.151 191 s,相对误差分别为0.105%,0.471%,0.255%和0.498%,二者符合得很好。

综上所述,随着小铁质量的减小,双线摆系统摆动周期逐渐增大,实验测量结果与理论周期十分吻合,且利用智能手机测量的数据的精度得到提高,进一步验证了理论推导式的正确性。间接地为教学研究者利用生活中普遍存在的智能手机应用于物理实验提供了参考。利用智能手机能方便地测量和记录实验数据,实验研究不再局限于实验室,便于进行更多的物理问题的探究活动。智能手机上各种传感器随着科技的发展和技术进步,其精度也越来越高,使用越来越方便,为开展高精度的自制教具和物理研究提供了便利。结合智能手机上的音频传感器,磁力传感器、光学传感器等可进行声学、光学、磁学等物理研究,化抽象为具体,化理性为感知,可大大提高物理教学实效,促进教学质量的提高及创新能力的培养。

5 展 望

物理实验和教学必然要随着时代不断优化,实验精确度不断提高,实验装置和记录方法更加智能化[8]。目前智能手机作为一种智能化的现代产品,相关技术功能已经很成熟,将智能手机用于物理实验,已经成为一种趋势,大量学者已经用其完成了许多物理实验的研究,许多学者也在用智能手机不断开发物理实验,不断探究如何将智能手机用于物理实验和研究[9]。我们深信未来智能手机将出现在物理教学中,越来越多的大学生、中学生将利用智能手机独自完成物理实验,发挥智能手机在教学和人才培养中的功能。