部分元等效电路理论在无线电能传输系统中的应用研究

李 巍，柯俏俏

（同济大学电子与信息工程学院，上海 201804）

无线电能传输的概念最早由电气工程师尼古拉·特斯拉提出，通过电场、磁场、微波等空间无形软介质实现电能的无物理连接传输[1]。无线电能传输技术相较于传统的直接接触式电能传输技术更加安全、便捷、有效，应用场景也更加广泛，近年来受到国内外学者的广泛关注。根据传输机理不同，无线电能传输技术可大致分为3 种：电磁感应耦合式、磁耦合谐振式和微波辐射式，其中磁耦合谐振式可实现中距离内高效率的能量传输，且不会产生辐射，逐渐成为无线电能传输方面的研究热点[2-4]。

磁耦合谐振式无线电能传输系统包含至少2个具有相同谐振频率的、高品质因数的电磁耦合机构，由补偿网络、耦合线圈和电磁屏蔽3 个部分组成，其中能量的无线传输在耦合线圈间实现，当耦合线圈发生共振时，传输的能量达到最大值[5]。因此，为实现系统高效传能，需要对电磁耦合机构电磁参数进行精细设计，包括耦合线圈大小、匝数、距离、补偿网络拓扑等。目前，常用的无线电能传输系统分析理论有耦合模理论、电路理论以及二端口网络理论这3 种[6-8]。

耦合模理论[9]从物理学的角度对无线电能传输的机理进行了解释，常被用于分析能量传输的条件以及系统中能量流动的情况，但在设计具体电气参数时具有一定的局限性。电路理论[10]将线圈等效为由电感、电阻元件构成的集总参数电路，根据基尔霍夫定律列出其电压、电流方程，再对系统的传输特性进行求解。各电路元件参数的准确等效是电路法准确应用的关键，但高频时电路的集总参数很难准确获取。二端口网络理论[11]将线圈系统的整体或者一部分用相应的外部特性参数来表示，不考虑其中具体的电气参数，极大地简化了系统传输效率的计算，但无法得到系统能效与系统内部参数之间的关系。因此耦合模理论常用于无线电能传输的必要条件和传输效率的分析，电路理论常用于对系统重要参数和传输性能如距离特性、方向特性等进行分析研究。

在实际设计中，耦合线圈电阻、电感等电磁参数的计算多依赖于经验公式或有限元仿真，前者计算简便但准确度较低，后者计算精确但计算复杂、计算时间较长。耦合线圈常工作在高频状态，寄生参数和集肤效应的影响都不容忽视，这就需要一种准确、高效且能考虑高频影响的计算参数的方法。部分元等效电路法PEEC（partial element equivalent circuit）是一种基于麦克斯韦方程的电场积分方程的电磁计算方法[12-15]，采用PEEC 计算时，只需对导体进行离散化处理，提取离散单元的电位系数、自感、互感等参数，构成等效的电路网络，利用电路分析方法实现电路求解。这样既考虑了寄生参数和高频影响，又减少了剖分单元，适用于空间多导体复杂系统的计算。因此，本文采用PEEC 法结合电路法对无线电能传输系统进行快速准确的分析。首先介绍PEEC 的基础理论，推导基于PEEC 的部分电感、部分电阻、部分电容的计算方法，结合耦合线圈对PEEC 单元剖分原则进行说明并推导PEEC 系统方程，采用PEEC 法计算耦合线圈的电磁参数，最后分别对双线圈和单共振磁耦合谐振式无线电能传输系统进行分析，将PEEC 计算结果与有限元计算结果对比，验证采用PEEC 法分析此类问题的优越性。

1 部分元等效电路理论

1.1 PEEC 的基础理论

PEEC 最早由Ruhli 提出用于三维多导体模型的构建，是一种由麦克斯韦方程组推导出的电磁场的积分数值解法[16]。考虑导体内所有电场源的电场积分方程，可表示为

引入洛伦兹规范

即可得到达朗贝尔方程为

由达朗贝尔方程可知，矢量磁位的源是全电流，动态标量位的源是全电荷。对于大多数的实际情况，场随时间的变化很慢，可以忽略延迟效应，即∂φ/∂t=0，将上述条件代入洛伦兹规范和达朗贝尔方程，即可得到

求解上述方程，即可得到由K 个导体构成的系统的位函数，表达式为

式中，r、r'分别为场点位置矢量和场源位置矢量。将式（7）和式（8）代入式（1），得到电场混合势积分方程为

由此，将场的分布特性求解转变为了对源的分布特性求解。将源区进行规则的离散化，使每个体电流单元上的电流密度和面电荷单元上的电荷密度近似常数，从而将J 和ρ 从积分符号内提取到积分符号外，简化计算。因此，通过建立基尔霍夫电压、电流方程求解源区电流和电荷的分布特性，即可确定空间中的电磁场分布。采用PEEC 法进行分析时只需要对导体进行合理地剖分，准确地计算各剖分单元的部分参数，构建等效电路即可求解电磁场。

1.2 部分参数的计算

1.2.1 部分电阻

对于体电流源，当剖分单元足够小时，导体横截面上的电流密度即可认为是均匀分布的。根据电位的定义，剖分单元两端的电位差可表示为

式中：li为剖分单元的长度；ai为截面积；vi为电流流经剖分单元时电阻产生的压降；Ii为导电单元的电流。根据欧姆定律可以得到体电流元的部分电阻为

1.2.2 部分电容

对于面电荷源，对其进行单元划分，当剖分单元足够细时，各个面电荷单元的电荷分布可以认为是均匀分布的。将区域V 内的电荷源剖分为K 个电荷单元，根据叠加原理，则该电荷源在空间中某点的电势可表示为

式中：Qi为电荷单元的面电荷量；Si为电荷单元的面积。

由此，定义部分电位系数表示2 个互相作用的面电荷单元Si和Sj之间的耦合关系，有

由部分电位系数和电势的关系可知，部分电位系数矩阵的逆矩阵就是电容系数矩阵。

1.2.3 部分电感

图1 所示为由4 个剖分体单元构成的近似闭合的环路，则通过此环路的磁链可表示为

由式（14）以及电感与磁链和电流的关系式，可以得到任意2 个体电流元之间部分电感为

其中，当i=j 时，式（15）表示第i 个剖分单元的自感；当i≠j 时，式（15）表示第i 个剖分单元和第j个剖分单元之间的互感。

PEEC 多基于矩形剖分，剖分单元为规则的体电流单元，如图2 所示。

图2 平行六面体单元示意Fig.2 Schematic of parallelepiped element

对于两平行六面体单元，其互感可表示为

1.3 系统电路方程的建立

以无限薄的矩形导体为例，假定电流横向流动，将导体剖分为n-1 个单元，剖分后，每个体电流元对应一条电流支路，即有n-1 个支路电流，每个面电荷单元对应一个电位节点，即有n 个节点电压，两节点之间等效为部分电阻和部分电感，包含自电感和互电感，节点对地以及其他节点之间等效为电容，则导体的网格划分及其对应的PEEC 等效电路模型如图3 所示。

图3 PEEC 等效电路模型Fig.3 PEEC model

假定节点1 处注入了幅值为Is的电流源，则节点1 的KCL 方程可表示为

节点1、2 之间的支路电压方程可以表示为

同理，在各电位节点注入相应的电流激励或电压激励，以支路电流和节点电压为未知量，列出各个节点的节点电压方程及节点间各支路的支路电流方程，则可得改进节点电压方程

式中：AL为电位节点与电感支路的关联矩阵，由节点间的电流方向决定；Cs为短路电容矩阵；R 为电阻矩阵；L 为电感矩阵；φ 为节点电压向量矩阵；I为支路电流向量矩阵。

利用1.2 节中的公式计算部分参数，代入改进节点电压方程中，对方程进行求解即可得到每个剖分单元的节点电压和支路电流，从而求解系统端口的阻抗特性以及传输特性等。PEEC 法计算无线电能传输系统的具体流程如图4 所示。

图4 PEEC 计算流程Fig.4 Calculation process of PEEC

2 基于PEEC 的平面螺旋线圈计算

2.1 平面螺旋线圈参数

无线电能传输系统常用的线圈类型主要分为3 种：平面式线圈、松耦合变压器式线圈和螺旋管式线圈，其中松耦合变压器式线圈只适用于传输距离较短的系统；螺旋管式线圈体积较大，应用场景较为局限；，而平面螺旋线圈耦合面积大，传输距离长且占空间小，适用于各种应用场景。因此，本文主要研究平面螺旋线圈。为验证PEEC 计算耦合线圈参数的准确性，设计3 个不同尺寸的平面矩形螺旋线圈分别进行计算，并利用IM3536LCR 分析仪对线圈的自感进行直接测量，线圈结构以及测量平台如图5 所示，线圈具体参数如表1 所示。

表1 平面矩形螺旋线圈具体参数Tab.1 Specific parameters of planar rectangular spiral coils

图5 平面矩形螺旋线圈模型及测量平台Fig.5 Models of planar rectangular spiral coils and measuring platform

2.2 平面螺旋线圈的部分元等效电路

首先对线圈进行网格划分。耦合线圈谐振频率一般在kHz 以上，频率较高，此时导体的集肤效应和临近效应不能忽略，集肤效应会使电流密度集中在线圈外侧，而临近效应会使线圈中的电流密度失去对称性。高频时，导体内部电流主要集中分布在线圈表面，而导线中心电流密度变化较小，因此，在网格划分时，对铜线外表面进行更细化的剖分，为保证计算精度，其边缘的剖分单元宽度需小于或等于集肤深度，而中间部分可以使用较为粗糙的网格以减少计算量，网格剖分如图6 所示，剖分单元中心对称，从外到内，剖分单元宽度呈等比增长。

图6 网格剖分Fig.6 Mesh generation

根据工作频率设置最外层剖分单元宽度，当剖分足够细时，每个剖分单元上的电流密度可以近似为均匀的，将每一个剖分单元看作一条电阻与电感串联的电流支路，则线圈的部分元等效电路如图7所示。根据式（11）可得，剖分单元的部分电阻为

图7 线圈部分元等效电路Fig.7 PEEC of coil

式中：lmn为剖分单元的长度；smn为剖分单元的截面积；a 为线圈横向最外层剖分单元宽度；b为线圈纵向最外层剖分单元长度，a 和b 小于集肤深度。

同理，根据剖分单元的尺寸和位置关系，由式（15）可计算剖分单元的部分电感以及各剖分单元之间的部分互感，每一匝线圈同一方向上剖分单元等效的电流支路为并联关系，与垂直方向上相连的等效支路为串联关系，则根据线圈部分元等效电路以及部分电阻和部分电感，即可计算线圈整体的总电阻和总电感。

2.3 计算结果对比

首先使用部分元等效电路法建立各平面矩形螺旋线圈的模型，计算出各个线圈的电感、电阻等参数，将PEEC 计算结果和有限元计算结果与实测值对比，结果如表2 所示。

表2 线圈电感计算结果与实验结果对比Tab.2 Comparison between calculation and experimental results of coil inductance

可以看到对任意线圈尺寸，PEEC 法计算的电感与测量结果的误差都更小，且PEEC 建模多基于矩形的剖分，剖分单元较少，相较于有限元计算速度更快，能更高效准确地计算线圈参数。

在上述基础上建立1 号线圈的双线圈系统，即将2 个1 号线圈分别作为接收线圈与发射线圈，改变线圈间距，从3 mm 开始，每间隔2 mm 计算一次2 个线圈之间的互感。为验证PEEC 方法计算参数的准确性，将仿真结果与实测值对比，结果如图8所示。可见，PEEC 计算结果与实际测量结果基本吻合，两者的相对误差小于1.3%，即验证了部分元等效电路法计算无线电能传输系统耦合线圈参数的准确性。

图8 互感参数的PEEC 计算结果与测量结果对比Fig.8 Comparison between PEEC calculation results and measurement results of mutual inductance parameters

3 磁耦合无线电能传输系统传输性能分析

3.1 双线圈无线电能传输系统

除了采用PEEC 计算耦合线圈参数外，还可以应用PEEC 分析磁耦合谐振式无线电能传输系统的传输特性。建立如图9 所示的双线圈磁耦合谐振式无线电能传输系统，系统由一对收发谐振器构成，高频电源直接接在发射谐振器上，而负载则是直接接在接收谐振器上。发射线圈和接收线圈结构相同，均为平面矩形螺旋线圈，具体参数如表3 所示。

表3 双线圈系统线圈具体参数Tab.3 Specific parameters of coils of two-coil system

图9 两线圈系统模型Fig.9 Model of two-coil system

首先搭建单个线圈模型，利用部分元等效电路法求解线圈参数，通过计算可得线圈自感约为1.8 μH，设定补偿电容为14 nF，则系统的谐振频率为1 MHz。固定工作频率不变，改变发射线圈和接收线圈之间的距离，从1 mm 开始，每隔1 mm分别利用PEEC 法和有限元法对系统能量传输的效率进行计算，其中采用PEEC 法结合电路法进行分析时，系统效率可表示为[17]

式中：ω=2πf；M 为互感；R1为发射线圈电阻；R2为接收线圈电阻；RL为负载电阻。

通过计算可得系统传输效率随距离变化曲线，如图10 所示。由计算结果可得，随着传输距离的增大，系统效率降低，且PEEC 计算结果和有限元计算结果的规律和分布趋势具有较好的一致性，即PEEC 法能很好地用于无线电能传输系统的分析和计算。

图10 双线圈系统效率随距离变化曲线Fig.10 Curves of two-coil system efficiency versus distance

3.2 单共振磁耦合式无线电能传输系统

建立单共振磁耦合式无线电能传输系统，进一步验证PEEC 法分析无线电能传输系统的可行性。单共振系统由发射线圈、接收线圈以及共振线圈构成，通过非共振线圈和共振线圈之间的耦合传输电能，由于有且仅有一个共振线圈，系统只工作在一个确定的共振频率下，不会出现频率分裂现象。共振线圈为平面矩形螺旋线圈，线圈具体参数如表4 所示，搭建的单共振三线圈系统仿真模型如图11 所示。

表4 单共振系统线圈具体参数Tab.4 Specific parameters of coils of single resonance system

图11 三线圈系统模型Fig.11 Model of three-coil system

由PEEC 计算可得共振线圈的自感约为98 μH，设定补偿电容为20 nF，则系统的谐振频率为114 kHz。发射线圈和接收端的距离为3 cm，保持其他参数不变，改变工作频率，即可得到系统效率随频率变化曲线，如图12 所示。由计算结果可以看出，随着频率增大，系统效率先增大后减小，在谐振频率点效率达到最大值。

图12 单共振系统效率随频率变化曲线Fig.12 Curve of single resonance system efficiency versus frequency

固定工作频率为114 kHz，改变发射线圈和接收端之间的距离，分别利用PEEC 法和有限元法进行计算，得到系统能量传输效率随距离变化特性，如图13 所示。由计算结果可得随着距离的增大，线圈之间的耦合强度降低，单共振系统的传输效率随之减小，有限元计算结果和PEEC 计算结果的规律和分布趋势具有较好的一致性。

图13 单共振系统效率随距离变化曲线Fig.13 Curves of single resonance system efficiency versus distance

PEEC 法和有限元法具体剖分单元和计算时间如表5 所示，可以看到PEEC 法求解系统参数时，只需对导体进行矩形剖分，剖分单元较少，计算时间远远小于有限元法。

表5 PEEC 法和有限元法计算效率对比Tab.5 Comparison of calculation efficiency between PEEC and finite element methods

4 结语

本文对部分元等效理论及其在无线电能传输系统中的应用进行了研究。对部分元等效电路法的基础理论、建模求解进行了详细推导。采用部分元等效电路法对平面矩形螺旋线圈进行了自感、互感参数计算，将计算结果与有限元计算结果以及实验测量结果进行了对比，证明了部分元等效电路法能在较广的频率范围内，对任意尺寸的平面矩形螺旋线圈都可以高效准确地计算出线圈的电感参数，即部分元等效电路法在无线电能传输系统参数的计算上具有一定的优越性。双线圈磁耦合谐振式系统和单共振三线圈磁耦合谐振式系统传输特性的计算结果均表明部分元等效电路法结合电路理论可以很好地应用于无线电能传输系统的分析和设计，且相较于传统的有限元法，部分元等效电路法具有更高的计算精度和更短的计算时间，更适用于空间多导体系统的分析。