RBF法在机械臂轨迹偏离控制数学模型中的应用

陈 瑞，任春光，何 俊

（1.郑州升达经贸管理学院基础部，河南 郑州 451191；2.郑州轻工业大学数学与信息科学学院，河南 郑州 450002）

1 引言

作为一种典型的工业机器人，机械臂具备了普通机器人的多变量、时变性、耦合和高非线性等特点。由于不确定性干扰的存在，对机械臂的控制性能也有很大的影响，导致机械臂控制中出现轨迹偏离的情况。目前，轨迹偏离控制已经成为一个亟需解决的问题。在这个背景下，有较多学者研究了轨迹偏离控制方法，其中，文献［1］研究了基于伪逆的导轨机械臂关节速度纠偏运动规划方法，该方法预先分析机械臂的铰链角度和末端执行器的运动状况，利用伪逆算法分析速度层面上的冗余度，设计时变函数来约束关节速度，使得偏差的关节速度与期望值相一致，实现轨迹偏离控制；文献［2］研究了基于深度学习的混联机械臂轨迹运动容错方法，该研究预先判断关节矢量之间的关系，提高了跟踪误差校正的收敛性。然后在DBNs模型的基础上，对混合机器人的运动进行了运动分析，并对其进行了全局优化，基于各关节运动轨迹的特点，结合深度学习的容错性，实现机械臂轨迹偏离控制。

当前研究的方法虽然能够实现轨迹偏离控制，但是会受到扰动情况的影响，导致纠偏效果较差，已经逐渐不能适应机械臂的复杂运动轨迹跟踪需求，需要建立更精准的控制模型。

随着智能控制理论的不断发展，RBF法已经成为一种有效的复杂模型求解方法。该方法是一种基于函数逼近原理的前馈型网络，其学习实质是寻找最优的数据拟合平面，以适应多维空间的数据训练需求。由于其自身的自组织和自学习特性，使得它可以很好地解决非线性映射问题，这使得RBF法在自动控制系统中得到了广泛的应用，特别是在系统辨识、非线性控制、故障诊断和容错控制等方面有着广泛的应用。

基于上述分析，设计一个应用RBF 法的机械臂轨迹偏离控制数学模型，期望提高对机械臂轨迹偏离的控制效果。

2 运动学建模

在控制机械臂轨迹偏离情况前，首先对三轴工业机械臂展开运动学建模，并分析其相关参数。然后在求解机械臂运动学逆解的基础上，判断关节角状态，为后续的偏离测量奠定基础。

以三轴工业机械臂为例展开研究，如图1所示。

图1 三轴工业机械臂Fig.1 Three Axis Industrial Manipulator

该机械臂的相关参数，如表1所示。

表1 机械臂参数Tab.1 Manipulator Parameters

利用D-H参数法对该三轴工业机械臂展开运动学建模，如图2所示。

图2 三轴工业机械臂运动学建模Fig.2 Kinematics Modeling of Three-Axis Industrial Manipulato

图2中，连杆可以被视为是一个刚体结构，{}

i坐标系固接于连杆i的末端。3个关节的机械臂具有3+1个连杆。关节I的轴线即为坐标系的z轴，关节I与连杆i-1相连接。连杆包括长度l和扭转角β两个参数，通过连杆的偏移量s和关节角θ可以描述关节的运动量。相关参数的说明，如表2所示。

表2 运动学建模相关参数Tab.2 Kinematic Modeling Related Parameters

3 机械臂关节角状态分析

在设计轨迹偏离控制前，预先对机械臂运动学逆解进行求解。逆解是根据末端位置和姿态判断关节位置［3］。首先，利用DH参数法构建机械臂正运动学模型。连杆间的变换矩阵可以表示为如下形式：

为方便分析，在每根连杆处各建立一套坐标系用于分析连杆间的相互关系，并采用齐次坐标变换法［4］，描述各个坐标系统之间的相对位置及姿态。以式（1）为基础，得到连杆间的逆变换矩阵为：

在上述逆解分析的基础上，为了将机器人的姿态调整到一个预定的位置，需精确判断机械臂关节角状态。为此，建立执行机构向量坐标图，如图3所示。

图3 末端执行器矢量坐标图Fig.3 End-Effector Vector Coordinate Diagram

图中：d—原点；f—接近的矢量值；g—方向矢量；h—法线矢量。令Ai→i+1=SiSi+1表示连杆坐标系间的相对平移和转动情况，其中的Si表示第i个连杆的位置，Si+1表示第i+1个连杆的位置。结合图3中的矢量，通过相乘计算判断关节角状态：

式中：n—连杆坐标系之间的变换次数。根据式（5）可以得到机械臂在任意想要的位置时所需要的关节数值。

4 偏离测量

根据上述求得的关节角相关数值，测量机械手的运动轨迹偏差。在机械臂位置可变空间中，首先建立位移测量方位角，并分析关节轴夹角的转换过程。然后定义各个关节点的可允许偏移分量，再结合机械臂主轴高度误差和副高度误差，计算其轨迹偏移量。

位移测量方位所成角度，如图4所示。

图4 空间可变机械臂位移测量方位所成角度Fig.4 Space Variable Manipulator Displacement Measurement Azimuth Angle

图中：c、c1、c2、c3—各关节轴的夹角；o—坐标原点；x、y、z—方向角，在测量中可实时调整方位角［6-7］。

定义X、Y、Z为各关节轴的夹角，角度转换方法为：

式中：m—机械臂的水平移动角度；n—机械臂的垂直移动角度；l—测量斜距；K—平距参数。然后基于误差惯性系数，定义各个关节点的可允许偏移分量［8］如下：

式中：∂—测量中的偏离系数；φ—误差惯性系数；θ—偏离的斜角值；L—臂节变量差。

机械臂在实际工作中，由于受到风力、外力等影响，会导致机械臂变幅角度发生变化［9］，从而产生轨迹偏离。为此，根据机械臂主轴高度误差和副高度误差计算其轨迹偏移量，过程如下：

式中：σ—基准误差；σ1—主轴高度误差；σ2—副高度误差；b—承载力变化参数。

用以上方法测定了机械手的运动轨迹偏差，依据该结果为后续偏离控制提供基础，以保证机械臂回归正轨。

5 基于RBF的机械臂轨迹纠偏

将偏离量代入到RBF方法中，训练RBF网络，预先设计网络结构。即确定网络的输入和输出的数量和隐藏层的数量，根据给定的采样数据确定输入和输出的数量。隐节点基函数的中心赋初始值还有待进一步的计算，利用熵聚类算法来确定隐节点的数量，并利用聚类算法对隐节点基函数的初始值进行聚类［10］。将聚类公式表示如下：

式中：Vi—第i次迭代时隐节点基函数的中心；xj—第j类数据的聚类中心；I—距离衡量参数；g2—聚类中心的初始值。

这些被筛选出来的基函数并不是一成不变，其不再局限于一个输入的样本，而是在网络的训练下不断地修正，直至其正确性与基函数的中心相一致。将网络的输入/输出映射模式，如式（10）所示。

式中：W—基函数中心；φ—误差惯性系数；F—隐含层的数量；Ri—激活函数。

通过上述过程训练RBF 网络，为实现机械臂轨迹偏离有效控制，充分考虑非线性摩擦、外界扰动以及动力学模型参数等不确定性，附加设计RBF神经网络补偿控制率对不确定性补偿，补偿控制率表示为：

式中：M0(q)—节点q的补偿参数；G0(q)—不确定性参数—神经网络估计值；K—鲁棒项—补偿参数。

为提高重构后的信息处理能力以及抗干扰的能力，引入自适应调节因子，如式（12）所示。

式中：Ut—对称正定矩阵；P—任意正定矩阵—调节频率。

基于上述过程对相关参数引入，保证机械臂纠偏过程中的稳定性，并保证跟踪误差不断收敛，完成机械臂轨迹偏离控制。

6 实验研究

为验证上述设计的应用RBF法的机械臂轨迹偏离控制数学模型的实际应用性能，设计如下实验。

6.1 实验准备

实验仍以图1中的工业机械臂为对象展开研究。

在正式实验之前，训练RBF网络。为了得到RBF的训练样本，在四个运动关节的自由旋转角度范围中，随机选择5000组数据作为输入参数。

本次实验的机械臂核心控制板—S3C2410-ARM开发板，通过TI 仿真器XDS510 将软件下载到核心控制芯片中。ARM 的PWM 控制信号送入该模块，控制IPM 内部的功率IGBT 切换导通，输出U、V、W 三相电压驱动的三相感应电机，功率驱动模块的两个电流传感器测得的两相电流，经设计的相电流处理电路获得相电流送回ARM，通过软件模型实时控制，相电流相电压采集电路部分的电源由驱动模块电源提供。利用第2章节中的运动学变换公式，计算出机械臂关键点的空间位置，并利用上面所述的方法进行了网络训练，得到的均方误差曲线，如图5所示。

图5 网络训练的均方误差曲线Fig.5 Mean Square Error Curve of Network Training

基于图5能够看出，随着训练数据的逐渐增加，RBF网络的均方误差指标在短暂的上升之后要逐渐减小，直到达到稳定状态，符合网络设计目标与训练目标。

经过RBF 训练后得到的机械臂运动学逆解结果的部分数据，如表3所示。

表3 部分逆解结果（rad）Tab.3 Partial Inverse Solution Results（rad）

6.2 实验结果分析

预先采用所提出模型对三个关节所处的位置实施在线辨识，得到位置误差结果，如图6～图8所示。

图6 关节1在线辨识误差Fig.6 On-Line Identification Error of Joint 1

图7 关节2在线辨识误差Fig.7 On-Line Identification Error of Joint 2

图8 关节3在线辨识误差Fig.8 On-Line Identification Error of Joint 3

通过图6～图8能够看出，所提出的模型能够将对三个关节所处的位置的辨识误差控制在（-1～3）cm以内。在初始辨识时误差较大，原因在于训练的样本数据中不包含在线运行时系统给定的输入数据，在运行中需要一个适应过程。在经过一段时间的训练后，这种影响逐渐消失，使得辨识的误差达到可接受的范围之内，说明此次提出的数学模型具有较好的泛化能力。

为进一步验证所提出的应用RBF法的机械臂轨迹偏离控制数学模型的应用效果，将传统的基于伪逆方法的控制模型、基于深度学习的控制模型与所提出模型展开对比，对比三种模型的机械臂轨迹偏离控制效果。在对比中，主要对比在没有扰动情况下的控制效果与存在扰动时的控制效果。

不存在扰动时的控制误差结果，如图9所示。

根据图9可知，在不存在扰动时，3种模型对机械臂位置跟踪控制的偏差相差较小。但相比之下，模型控制下的位置工作曲线与期望轨迹的拟合度更高，说明其具有较好的纠偏能力。

在5s时，添加扰动情况，并统计三种纠偏方法的轨迹偏离控制效果。添加的扰动信息为关节摩擦扰动。摩擦扰动均值比的计算过程如下：

式中：γ—关节刚度；ε—摩擦误差数率；σ—摩擦响应系数。

在摩擦扰动均值比为0.0995的情况下，不同方法的轨迹偏离控制效果对比情况，如图10所示。

图10 存在扰动时轨迹偏离控制效果Fig.10 Trajectory Deviation Control Effect in the Presence of Disturbance

通过图10能够看出，在存在扰动时，基于伪逆方法的控制模型出现大幅度波动情况，与期望轨迹偏离较大；基于深度学习的控制模型也出现较大波动情况；模型虽然受到突然扰动情况的影响，在（5～10）s范围内轨迹偏离控制结果与期望轨迹有小幅度的偏差，但是能够在短时间内快速收敛，控制效果较好，在短暂的偏离后，机械臂位置轨迹与期望轨迹的重合度仍然较高。

7 结语

这里将RBF 方法应用到了机械臂轨迹偏离控制数学模型中，所做的具体工作：（1）分析了机械臂的运动学和动力学方程、神经网络的基本控制方法；（2）采用多机联合系统测量各个关节角的运行偏差，将偏离量代入到RBF网络结构中，考虑非线性摩擦、外界扰动以及动力学模型参数等不确定性，提出了一种基于RBF的自适应控制方案；（3）在实验验证部分发现，模型能够将对三个关节所处的位置辨识误差控制在（-1～3）cm以内。尽管因数据训练需要一个适应过程而导致初始辨识误差较大，但这种影响很快消失。在存在扰动的情况下，模型虽然在（5～10）s范围内的轨迹偏离控制结果与期望轨迹有小幅度的偏差，但之后快速与期望轨迹的重合，实现了对轨迹偏离情况的有效控制。此次研究取得了良好的结果，但仍存在一些不足之处，在后续研究中尝试轨道偏差法与其它控制方法相结合，以达到不同的控制要求。