主动约束层阻尼薄板有限元建模及振动控制

黄志诚, 彭焕有, 王兴国, 褚福磊

(1. 景德镇陶瓷大学 机械电子工程学院,江西 景德镇 333001;2. 清华大学 机械工程学院,北京 100084)

随着现代工业水平的高速发展和工程技术的进步,薄壁构件在航空、航天、车辆和船舶等领域应用逐渐增多,其振动所带来的负面影响在产品设计当中要着重考虑,系统结构振动问题已经成为当今社会热点问题[1]。最初将约束层阻尼和被动约束阻尼(passive constrained layer damping,PCLD)技术用于各工程领域,在结构中引入被动阻尼材料让振动的能量加快耗散,从而起到减振的作用[1-3]。该方法对结构的高频振动起到良好的抑制效果,但是在一些薄壁结构;例如航空航天、汽车工业、精密电子等领域中不适用于此类控制方法[4-6]。Baz提出了主动约束层阻尼(active constrained layer damping,ACLD)模型。与PCLD不同的是将最上层的约束层换成压电层,常见压电材料是压电陶瓷,压电陶瓷具有所需激励小、响应速度快等特点适用于板、壳、梁等结构中[7-9]。通过系统反馈产生压电效应来调节系统的变形,从而实现了主动控制效果。典型的ACLD结构,如图1所示。

图1 典型ACLD结构图Fig.1 Typical ACLD structure diagram

建立结构的数学模型是研究控制的前提,目前常见方法有解析法、数值法、实验法。对于复杂结构应当使用数值法,其中有限元法(finite element method,FEM)是常见的建模方法[10-12]。另一方面,在使用有限元法对ACLD结构进行建模时还应当考虑黏弹性材料(viscoelastic material, VEM)的模型特性,其中常见模型有:常数剪切模量模型,ADF(anelastic displacement fields)模型以及GHM(Golla-Hughes-Mactavish)模型等[13-14]。通过FEM建模得到数学模型自由度过大,不便于后续主动控制工作的开展,因此需要对模型进行降阶处理,国内外学者都提出过不同降阶方法,主要配合有限元分析和控制理论这两类学科一起使用。常见的方法分为物理空间下降阶和状态空间内降阶两类[15-16]。针对ACLD结构,常见的控制方法有:比例积分微分控制、线性二次最优控制、独立模态空间控制以及鲁棒控制等。郑玲等[17-18]采用比例微分控制对ACLD板进行闭环振动控制。Liu等[19-21]用FEM建立了ALCD结构动力学方程,之后采用了LQR(linear quadratic regulator)以及鲁棒控制等方法对结构进行主动控制。王攀等[22-23]引用ADF阻尼模型和GHM阻尼模型建立了机敏约束层阻尼薄板结构动力学方程,对模型进行降阶处理,使用模态控制和H∞混合灵敏度控制对该结构进行振动研究。

本文采用有限元法对ACLD薄板结构进行数学建模;采用复常数剪切模量模型表征VEM材料特性;利用Rayleigh阻尼表述基层特性得出系统动力学方程。通过物理空间下动力缩聚和状态空间下内平衡联合降阶法建立可控系统。使用LQR控制对局部覆盖ACLD板结构进行振动控制,研究不同Q,R加权矩阵对结构振动响应的影响。

1 有限元法建模

构造夹芯矩形复合单元,如图2所示。单元具有4个节点、每个节点7自由度,分别为压电层面内x方向和y方向位移、基层面内x方向和y方向位移、单元整体结构沿z向的横向位移和单元绕x轴和y轴方向的转角,依次表示为u1,v1,u3,v3,w,wx,wy,故一个矩形单元有28自由度。使用本单元进行有限元法建模满足黄志诚等提及的7条假设条件。

图2 28自由度板单元示意图Fig.2 Schematic diagram of a 28-degree-of-freedom plate element

1.1 变形和运动关系

根据假设条件及单元自由度分析, ACLD板单元的耦合几何变形关系图,如图3所示。黏弹性层在x轴方向和y轴方向位移为别为

图3 板单元变形位移关系Fig.3 Deformation and displacement relationship of plate element

(1)

(2)

黏弹性层绕x轴和y轴方向上转动产生的剪切应变为

(3)

(4)

1.2 单元位移模式与形函数

由图2可知单元为矩形状,尺寸为2a×2b,每个单元有4个节点(I,J,K,L),每个节点有7个自由度,假设其中节点自由度位移矢量为

{Δi}=[u1iv1iu3iv3iwiwxiwyi]T

则ACLD板单元的位移向量为

{Ue}={Δ1Δ2Δ3Δ4}T

根据结点位移模式

(5)

式中,a1,a2,…,a28由单元4个节点的28个节点位移向量来决定。因此,ACLD板单元内任意点位移位置可由单元节点位移矢量插值得出

Δ=[u1v1u3v3wwxwy]T=NUe

(6)

N=[N1N2N3N4N5N6N7]T分别对应于u1v1u3v3wwxwy的空间插值向量(形函数)。将上述得到形函数矩阵代入式(1)～式(4),可以得到黏弹性层u2,v2的形函数矩阵为

(7)

(8)

黏弹性层剪切应变βx,βy的形函数矩阵为

(9)

(10)

1.3 有限元动力学方程

根据经典板理论,采用能量法推导出单元薄板各层动能、势能,从而可以得出各层之间质量矩阵、刚度矩阵以及压电力矩阵。本文直接写出ACLD板单元各层质量矩阵。

其中压电层为

(11)

黏弹性层为

(12)

基板层为

(13)

式中,p1,p2,p3为各层对应的密度。则ACLD结构单元质量矩阵为

Me=Me,1+Me,2+Me,3

(14)

本文直接写出ACLD板单元各层刚度矩阵。

压电层为

(15)

其中

黏弹性层为

(16)

(17)

其中

基板层

(18)

其中

式中:E1,E2,E3为各层弹性模量;μ1,μ2,μ3为各层泊松比。单元刚度矩阵为

Ke=Ke,1+Ke,2+Ke,β2+Ke,3

(19)

黏弹性阻尼材料采用复常数剪切模量模型,因此G可以表示为

G=Gv(1+ηi)

(20)

考虑基层具有弹性阻尼,采用比例阻尼表示为

D=αM3+βK3

(21)

利用Hamilton原理,可以得出薄板的单元动力学方程为

(22)

通过常规组集单元矩阵、引入边界条件可以得到ACLD结构总的动力学方程为

(23)

式中:M,D,K为总的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;F和FC为外部激励矩阵及压电作用力矩阵。

2 模型降阶

为了便于此模型能够适用于各种控制器设计,本文采取了物理空间下动力缩聚和状态空间内平衡降阶法进行联合降阶。所得到的系统自由度极大降低、并且具有良好的可控性和可观性。

2.1 物理空间下动力缩聚

将式(23)改写成如下分块矩阵形式

(24)

本文通过选取ACLD结构中约束层和基板层面内x,y方向位移以及结构z向位移作为主自由度,其余作为副自由度。最终经过降阶后的动力学方程为

(25)

2.2 状态空间内平衡降阶

在完成物理空间下降阶后,会降低系统模型可控性和可观性。同时,系统转成状态空间方程后系统的维度还是较大,控制不稳定并且控制成本过高。因此需要状态空间内降阶,将式(25)改写成状态空间下的状态方程为

(26)

式中,A,B,C分别为系统的状态矩阵、输入矩阵、输入矩阵。系统的可控性和可观性格拉姆(Grammians)矩阵Wc和Wo分别为

(27)

(28)

3 模型验证

本文采用两种边界条件、依次增加覆盖ACLD结构数量、直到全覆盖的方式。 验证有限元建模方法的正确性,以及探究不同覆盖方式对原有系统特性影响。对ACLD夹层板和基板分别用MATLAB编程计算得到的结果和ANSYS有限元软件分析结果、文献结果以及试验结果进行对比。其中关于试验平台、试验方法、试验结果等数据的详细信息,可以查阅参考张东东的研究。如图4、图5所示,将结构划分成2×4个矩形单元。首先不覆盖(只有基板),依次覆盖单元(1,2)、(1,2,3,4)、(1～6)、(1～8全覆盖)。各层的几何和材料参数如下。

图4 一边固支下单元覆盖图Fig.4 Unit coverage graph with one side clamped

图5 对边固支下单元覆盖图Fig.5 Coverage diagram of element under fixed edge

(1) 压电层:p1=7 450 kg/m3,E1=74.5 GPa,μ1=0.32。

(2) 阻尼层:p2=789 kg/m3,μ2=0.3,GV=0.01(1+0.8i)MPa。

(3) 基板层:p3=2 800 kg/m3,E3=70 GPa,μ3=0.3。

(4) 板尺寸大小:全长为0.20 m,宽为0.10 m;单元板尺寸(长×宽)为0.05 m×0.05 m;h1=0.005 m;h2=0.001 m;h3=0.000 8 m。

由表1和表2可知,有限元法建模计算出来固有频率的数值大小与ANSYS有限元结果、以及文献对比、试验结果相近,最大误差控制在5%以内。通过改变边界条件,本文方法依然能够计算出精确解。由表3和表4可知,在边界条件为一边固支下,随着覆盖个数增加,固有频率逐渐降低,并且降低趋势越来越快。在自由端一侧覆盖ACLD单元时,系统固有特性改变比较明显,可控性较弱。在边界条件为对边固支下,随着个数增加时,固有频率依次降低,但是降低趋势是先快后慢,通过观察,在中间覆盖ACLD单元时,系统固有特性改变较明显,在两端固支处覆盖ACLD单元时,系统特性不容易变化,因此可控性强。该结论为下节对主动约束层薄板振动控制时单元覆盖方式提供了理论基础。

表1 一边固支下基板固有频率对比Tab.1 Comparison of natural frequencies of substrate with one side clamped

表2 对边固支下基板固有频率对比Tab.2 Comparison of natural frequencies of substrates supported by opposite edges

表3 一边固支下依次覆盖ACLD单元固有频率对比Tab.3 Comparison of natural frequencies of ACLD units covered in turn under fixed support

表4 对边固支下依次覆盖ACLD单元固有频率对比Tab.4 Comparison of natural frequencies of ACLD units covered with opposite edges fixed in turn

为了验证联合降阶方法的有效性,选取一边固支下全覆盖ACLD结构模型作为研究对象,通MATLAB计算出模型降阶前后的固有频率、以及画出频响曲线图。

采用两种降阶方式后模型的前4阶固有频率误差小于3%,该降阶方式对系统固有特性影响较小,如表5所示。频率响应图,如图6所示,经过物理空间动力缩聚后模型的动态特性与原系统误差很小,频响曲线拟合程度较好。经过状态空间平衡法降阶后,模型在振动的高频区域产生明显误差,这是因为使用平衡降阶法时,将元素从小到大排列,系统的振动特性主要由前几阶模态特性所决定的,后续的主动控制也主要围绕低频模态进行开展,因此保留大于0.002的值,由于删除特定值,系统在高频区域会受到影响,导致高频区域出现明显误差,最终系统模型只剩下12个自由度。因此模型经过两次降阶后,在低频区域依旧能够准确、可靠的表述原系统动态特性。

表5 一边固支下全覆盖ACLD板结构降阶前后固有频率Tab.5 Natural frequencies of ACLD plate with full coverage under one side fixed support before and after reduction of order

图6 降阶前后频率响应图Fig.6 Frequency response diagram before and after reduction

4 振动控制与仿真分析

4.1 LQR控制

使用LQR控制时,应得到系统降阶后的状态空间方程,如式(28)

设计最优反馈控制器,使得目标函数J最小为

(29)

式中,Q,R分别为输出向量加权矩阵、控制向量加权矩阵。可得到系统的控制向量为u=-kxr。

P满足黎卡提方程

(30)

对应闭环系统状态方程为

(31)

4.1 LQR 控制仿真分析

通过第3章算例分析可知,过高的覆盖率会影响系统的固有特性,在固支一端覆盖单元时影响最小。一边固支下局部覆盖ACLD单元(1,2)方式进行仿真,如图7所示。该方式可以使较低覆盖率也能起到良好的控制效果、保持原系统振动特性。

图7 局部覆盖ACLD薄板结构Fig.7 Thin plate structure partially covering ACLD

该系统在模型降阶使用LQR控制器后,在脉冲激励下该系统振动幅值和衰减时间有较大的缩短,如图8、图9所示。同样,在带限白噪声信号激励下,通过适当改变Q,R矩阵大小也能有效的抑制系统的振动。

图8 脉冲激励下系统控制前后响应对比Fig.8 Comparison of responses before and after system control under pulse excitation

图9 带限白噪声下系统控制前后响应对比Fig.9 Response comparison before and after system control under band-limited white noise

继续探究在取不同的Q,R加权矩阵时,系统的振动特性产生的变化规律。在改变LQR控制器中权系数Q时,令权系数R=10为定值。在改变LQR控制器中权系数R时,令权系数Q=1×103为定值。其中Q,R权系数由α,β决定。

LQR控制器性能受到系统的Q,R加权矩阵的影响,如图10～图13所示。当R为定值,Q逐渐增大时,结构的振动幅值和稳定时间都会逐渐减少。当Q为定值时,R逐渐减小时,结构的主动控制效果增强。因此需要合理的选取Q和R的值,才能使得目标参数J取最优解,使系统达到最优控制效果。对于LQR控制器参数优化问题,要在精确的模型下、根据设计者的需求来讨论,当设计者对控制性能较为在意时,可以重点考虑Q矩阵系数在目标函数J中的权重,其次在考虑R矩阵系数,最终得到设计者所满意的方案。如果某个系统的控制成本较高,设计者可以重点考虑R矩阵系数在目标函数J中的权重,得到满意的方案。

图10 脉冲激励下R取不同值时系统响应Fig.10 System response when R takes different values under pulse excitation

图11 带限白噪声下R取不同值时系统响应Fig.11 System response with different values of R under band-limited white noise

图12 脉冲激励下Q取不同值时系统响应Fig.12 System response when Q takes different values under pulse excitation

图13 带限白噪声下Q取不同值时系统响应Fig.13 System response with different values of Q under band-limited white noise

5 结 论

本文利用有限元法建立了主动约束层阻尼薄板结构在两种不同边界条件下的动力学模型,其中覆盖方式包含局部覆盖ACLD单元和全覆盖ACLD单元。通过黏弹性层引入复常数剪切模量模型、基层引入比例阻尼来提高模型的精度。针对使用LQR控制方法前,通过物理空间下动力缩聚法和状态空间内平衡法联合降阶,研究表明:

(1) 本文建立的有限元模型在不同边界条件、覆盖方式不同情况下仍然具有有效性。通过不同覆盖方式发现,当覆盖个数过多时,会影响系统的固有特性。并且在一边固支情况下,当靠近自由端覆盖时,系统固有特性变化较明显。对边固支情况下,当中间自由端覆盖时,系统特性变化较明显。该结论为主动控制时模型的覆盖方式提供理论基础。

(2) 采用联合降阶方法得到数学模型具有自由度低、良好的可控性和可观性。系统模型可以直接应用于LQR控制,仿真表明此方法能够有效抑制结构振动,并且Q,R加权矩阵会影响到系统控制效果,为进一步确定最优形式和大小的Q,R矩阵获得全局最优控制效果提供了理论基础,具有实际应用价值。