三角函数解析式中ω 的求解策略

■翁志坚

在三角函数的图像与性质中,求解参数ω的值或取值范围问题一直是高考命题的一个热点,也是同学们学习的一个难点。下面结合实例,从三角函数的周期性、单调性、最值、零点,以及图像的视角应用,说明在不同条件下求解参数ω的技巧与策略。

一、根据函数的周期性求ω

在三角函数y=Asin(ωx+φ)中,函数的最小正周期T与参数ω密切相关,利用三角函数的周期公式构建两者之间的联系,从而确定参数ω的值或取值范围。

分析:根据题设条件,先利用函数f(x)的周期构建参数ω的不等式,得到参数ω的取值范围,再利用函数的对称中心,构建参数ω的关系式,求得参数ω的值。

二、根据函数的单调性求ω

对于函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,一方面与参数ω的值的正负有关,另一方面,单调区间的长度也与周期有关。周期的大小由参数ω决定,三角函数的单调性、单调区间与参数ω的值密切相关,因此利用三角函数在区间上的单调性可以确定参数ω的值或取值范围。

分析:利用函数f(x)的单调区间的两个端点处的三角函数值恰好位于正弦函数的一个单调递增区间内,建立相应的不等式,结合参数ω的限制条件,即可求出ω的取值范围。

三、根据函数的最值(或极值)求ω

三角函数的最值(或极值)与其单调性、单调区间的长度密切相关,而这些都与三角函数的周期密不可分,因此利用三角函数的最值(或极值)可以确定参数ω的值或取值范围。

分析:利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式,结合三角函数的最值即可求解。

四、根据函数的零点求ω

研究三角函数的零点问题时,可采取整体换元思想,即通过ωx+φ的取值确定三角函数的零点情况。反之,可根据三角函数的零点确定参数ω的值或取值范围。

例4 记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T。若f(T)=为函数f(x)的零点,则ω的最小值为_____。

分析:先利用条件中的三角函数关系式及变量的取值范围确定函数f(x)的解析式,再利用函数的零点建立三角方程,结合整体思维构建关于参数ω的关系式,最后确定参数ω的最小值。