三角函数y=Asin(ωx+φ)对称轴的应用

■许卫华

一、三角函数的解析式问题

对称轴都是经过函数图像的最高点或最低点的直线,把对称轴方程代入到函数解析式中,此时函数取得最大值或最小值。本题的易错点是:令,从而出现错误。

变式练习1:函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A>0,x∈R)的图像关于直线对称,它的周期是π,则( )。

二、三角函数的参数问题

例2 如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线对 称,则a的 值为_____。

分析:本题解法多种,可以代入验证,也可以根据对称轴的方程求解,还可以根据最值求解。

本题的解法比较巧妙,紧扣对称性的定义,利用特殊值法代入求解,这种方法快捷方便,值得同学们重视。

变式练习2:设ω>0,若函数f(x)=2sinωx在上单调递增,则ω的取值范围是_____。

三、三角函数的单调区间问题

利用正、余弦函数的对称轴方程求单调区间,可先利用对称轴方程求一个单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得。

四、三角函数的性质问题

例4 设点P是函数f(x)=sinωx的图像C的一个对称中心,若点P到图像C的对称轴的距离的最小值为,则函数f(x)的最小正周期是_____。

分析:正弦(或余弦)函数的图像的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期。

三角函数的对称性和三角函数的周期性、单调性、最值息息相关,要注意相互转化。

变式练习4:设f(x)是定义在R 上的奇函数,且函数f(x)的图像关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_____。