教学中“一题多解”对数学核心素养的培养

周宗全 闫化宇

摘要：“一题多解”是培养数学能力的一种行之有效的方法.将“一题多解”恰当地融入高中数学教学中，从多角度探讨解题规律，有助于学生掌握解题技巧，提高解题能力.

关键词：一题多解；多解一题；不等式；泰勒公式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）33-0021-03

2022年高考试卷考点分布合理，总体难度有所增加，但未出现偏、难、怪的题目，以《普通高中数学课程标准》为依据，以《中国高考评价体系》为最高原则，发挥出了数学科目选拔人才的作用.要求考生立足于教材，不拘泥于教材，活用教材，注重知识点之间的关联、融合、升华，搭建知识体系，渗透数学思想方法［1］.以常规解法为基础，充分运用一题多解.文章通过对2022年高考数学卷中比大小类型的题目进行分析和整合，培养学生发散思维和通性通法解题的能力.

1 真题再现

2022年全国新高考数学Ⅰ卷7题，设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，比较大小.

2 解法展示

比大小题目为高考常规题目，为了考查学生对于函数的综合运用能力，题目基本告别了“三段式”的结论，要求学生需具备构造函数、利用导数、函数放缩等多方面的解題方法和能力［2］.

2.1 常规解法

比大小，一般采取作商、作差的方法，其中会用到构造函数的思想.以真题为例.

其具体步骤如下：细审题，发现a，b，c的共性，都与0.1有关联.巧构造，利用构造函数判断其单调性，利用导数法和初等函数的单调性进行判断.构造函数u（x）=xex（00，v（x）>0，w（x）>0.

首先设f（x）=ln［u（x）］-ln［v（x）］=x+ln（1-x）（0

SymboleB@

）上单调递增，所以u（0.1）

接下来，我们需比较a，c的大小，可采取作差法进行比较.设g（x）=u（x）-w（x）=xex+ln（1-x）（00在（0，0.1］上恒成立，即h（x）在（0，0.1］上单调递增的，所以h（x）>（1-02）×e0-1=0，所以g′（x）>0在（0，0.1］上恒成立，所以g（x）在（0，0.1］上单调递增，所以g（0.1）>0×e0+ln（1-0）=0，即u（0.1）-w（0.1）>0，则a>c.

综上所述，可判断c

在判断a，b大小时，可采用作商法，判断比值与1的大小关系，具体解法不再赘述.

2.2 放缩法

高中阶段常见放缩公式有：

ex≥x+1>x>x-1≥lnx>1-1x

12（x-1x）

2（x-1）x+11）

三角函数放缩：

tanx>x>sinx（0

以真题为例，其具体步骤如下：

先比较b，c，先进行一些变形，b=19=109-1，c=-ln910=ln109，根据公式x-1≥lnx，可得出b>c.

再比较a，b，先将a，b扩大十倍分别变为e0.1，109，再同时取其倒数1e0.1=e-0.1，910=-0.1+1，根据ex≥x+1，得e-0.1>-0.1+1，则a

最后比较a，c，根据公式ex+1≥x+1，lnx<12（x-1x），（x>1），则a=0.1e0.1>0.1（0.1+1）=0.11，c=ln109<12（109-910）<0.11，则a>c.

前两种方法较为常规，但不难看出前两种方法需要学生具备较强的逻辑能力，考场压力下会消耗大量时间，所以在平常的训练中还是推荐通法，但课下还是可以了解一下其他解法和原理.我们知道对于非特殊的指数和对数一般很难算出它们的值，但我们可借助高等数学和其他领域的知识，从而快速求解这类题目.接下来我们将采取“泰勒公式”和“帕德逼近”方法求解此题.2.3 帕德逼近

泰勒展开是一种很好的逼近方法，对许多函数都有很好的效果，然而，有时泰勒展开对某些带极值的函数逼近的效果不尽如人意，本质原因是因为多项式级数的局限性.为此，我们可以考虑用分式来逼近函数，也就是所谓的分式逼近，一种常用的分式逼近方法为帕德逼近，帕德近似（Pade approximation）是一种特殊的有理数逼近的一种方法，是一种非线性近似方法［3］.帕德近似往往比截断的泰勒级数准确，而且当泰勒级数不收敛时，帕德近似往往仍然可行，以下列举了两种对数和指数的转换方式.这种方法比泰勒展开收敛速度更快.主要应用于计算机数学领域，但对于高中函数方面有一定的作用，学生和教师可以适当地了解一下，拓展自己的知识领域.

ln（1+x）≈3x2+6xx2+6x+6x∈（-1，1），ex≈x2+6x+12x2-6x+12x∈（-1，1）

以第一题为例，其具体步骤如下：

通过计算可得a=0.1e0.1=0.1×0.12+6×0.1+120.12-6×0.1+12≈0.110 517 09

c=-ln0.9=-3×（-0.1）2+6×（-0.1）（-0.1）2+6×（-0.1）+6≈0.105 360 4.

2.4 背数法

在高中数学阶段，熟记一些常见的特殊值也是必不可少的，对于一些题目的解答会带来不错的效果.下面根据题目进行变换，利用一些常见的数值带入比较其大小.

常见的对数有：ln2≈0.693，ln3≈1.098，ln5≈1.609

以真题为例，其具体步骤如下：

对于c：进行转变-ln0.9=-ln910=ln10-ln9=ln2+ln5-2ln3≈0.106，对于a，b我们易知都是大于0.11，如何比较a，b？因为a中出现了e，我们可以考虑同取对数，lna=ln（0.1e0.1）=ln0.1+lne0.1=ln110+110=110-ln10=0.1-ln2-ln5≈-2.202，lnb=ln19=-2ln3≈-2.196，故lnb>lna，因为f（x）=lnx在定义域中单调递增，所以b>a.综上：b>a>c.

背数法固然可行，但对于有些题目无法化简成特殊数的形式，所以此方法适合一部分题目，不适合全部比较大小的题目.

3 一题多解的意义

通过观察可以看出比大小题目类型多，方法不唯一，每种方法都有优缺点，所以一题多解的应用意义重大.现阶段高中数学教学中，存在教学方法不合理的情况，从而限制了学生思维的开发，也不利于学生学习高中数学.比如题海战术，该学习的方式是让学生通过做大量的习题来熟悉并掌握相关知识，但这种学习方式却给学生造成了很大的学习负担和时间压力，甚至导致部分学生厌恶学习数学，认为数学是一门既浪费时间，又收獲不大的科目.学生机械性地去做老师布置的题目，没有时间对其所做的题目进行认真思考和总结，导致对需要掌握的知识不深入不具体.此外，很多学生受到此类教学方法的影响，导致学生的学习方法也会有一定的限制.很多学生只寻求一种解题方法，就认为已经满足自己对此模块知识的掌握要求，并未认真考虑是否有其他简便快捷的解题方式［4］.因此，一题多解的教学思路应当在高中数学教学阶段普及，同时让学生从中获得更大的收获.

4 一题多解，发散思维，提高能力

高中数学新课标指出，培养学生的数学思维能力是全面培养数学能力的主要途径，数学是思维的体现，解决问题是学习数学的目的.发散思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面寻求答案的思维方式.这种思维方式，不受现代知识的局限，不受传统知识的束缚，与创造力有着直接联系，是创造性思维的核心.培养发散思维能力既是培养学生创造力的重要环节，也是发展其个性的有效手段.

在数学科目上，一题多解是训练、培养学生思维能力的一种行之有效的教学方式，是让学生跳出单一思维模式，多种角度、多个方位地审视、分析问题，从而达到解决问题的目的.它能充分调动学生自行解决问题的主动性、积极性，让学生全方位地思考解题的多种方法，不断开发解题潜能.

用问题促进思维的发展即通过合理设计疑问，以促进学生自身思维多方向、多角度的发展.在训练发散思维时，教师要注意使设计的问题既达到了激疑目的，又具有一定的开放性.

用变化求得发散思维.在课本习题的基础上，通过变式进行训练，努力挖掘教材知识的深度和广度，寻求思维的发散点，结合已学和拓展的知识，从不同角度出发，寻找题目的最优解.教师需精心设计每一堂课，通过一步步的变式探究，一步步的引导，使学生在课堂上处于一种探究、探索的状态，通过多角度探究达到训练学生发散思维的目的.

教师需转变教学思路，注重学生讨论环节.在很多情况下，学生之间具有互相启发的作用，他们之间的相互交流沟通，可使解题思路得到有效的分享.为了促进学生学习进步，教师应当采用学生分组合作学习的方式，小组成员之间共同探讨、交流解答教师所布置的任务以及有几种方法可以解答题目等，将多个学生的思维整合到一起，再以小组为单位展开探讨.这种方式既能烘托学习氛围，又能激发学生的求知欲望，学生学习数学的热情高涨，从而提高学生的学习效率，达到全体学生相互帮助、相互促进学习的目的，同时加深学生对一题多解的学习方式，逐渐使其养成良好的学习习惯［5］.

总而言之，熟练运用一题多解和多解一题是学生高中阶段不可或缺的能力，教师需提高自身教学能力和教学水平，丰富自身知识领域，从而优化学生综合素质，提高解题效率.

参考文献：

［1］ 都亦.高中数学“一题多解”的学习心得[J].中国校外教育，2016（35）：41-42.

[2] 何长斌.例谈高中数学习题课中的“一题多变、一题多解”教学策略[J].中学教学参考，2015（11）：26.

[3] 赵鲁辉.高中数学教学中“一题多解”对学生思维能力的培养[J].中学数学，2019（19）：86-87.

[4] 秦曾复，朱学炎.数学分析[M].北京：高等教育出版社， 1991.

[5] 蒋翠云.padé逼近方法[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），1997（04）：42-44，29.

［责任编辑：李璟］