圆锥曲线富瑞吉伴圆圆心轨迹探究

万志红 丁位卿

【摘  要】  在研究富瑞吉定理的新证法同时，发现了它对应的伴富瑞吉曲线轨迹和伴圆圆心轨迹，并给出相关证明.以富瑞吉（Fregier）定理为背景的高考题，近年来时有出现，比如2020年山东、海南卷解析几何压轴题、2023年高考全国Ⅰ卷最后一题，也可借助富瑞吉定点来解答.

【关键词】  圆锥曲线;富瑞吉点;伴圆圆心;轨迹

先证明圆锥曲线的富瑞吉定理，伴富瑞吉曲线和它的伴圆圆心轨迹是由前者衍生而来的.笔者给出与文［1］不同的富瑞吉定理的新证法.

1  椭圆的富瑞吉定理（记为定理1）

定理1  如图1所示，在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任取一点A（f，d），则以A为直角顶点的椭圆内接Rt△MAN的斜边MN过点a2－b2a2+b2·f，b2－a2a2+b2·d.

证明  如图1，过直角顶点A向斜边MN作AD⊥MN，垂足为点D，并设D（m，n），已知A为某一时刻暂时定点且A（f，d），设MN的倾斜角为α（0°≤α<180°），所以过D（D为基点）的直线的参数方程为x=m+tcosα，y=n+tsinα，将它代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2，

化简得（b2cos2α+a2sin2α）t2+2（b2mcosα+a2nsinα）t+b2m2+a2n2－a2b2=0.所以t1·t2=b2m2+a2n2－a2b2b2cos2α+a2sin2α.

因为M、N两点在MN上且在共线的D点的两侧，所以t1·t2<0.

由几何意义知，MD·DN=－t1·t2=a2b2－b2m2－a2n2b2cos2α+a2sin2α=a2b2－b2m2－a2n2b2+c2sin2α（其中c2=a2－b2）.由点A（f，d）在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上得b2f2+a2d2=a2b2①

在Rt△MAN中，MA⊥AN，AD⊥MN，由直角三角形的射影定理得，AD2=MD·DN.

因为AD2=（m－f）2+（n－d）2，所以AD2=（m－f）2+（n－d）2=a2b2－b2m2－a2n2b2+c2sin2α1sin2α=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·AD2=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·［（m－f）2+（n－d）2］.

因為AD⊥MN，所以kMN=tanα=－1kAD=－m－fn－dcotα=－n－dm－f1sin2α=1+cot2α=

1+n－dm－f2=AD2（m－f）2.

所以AD2（m－f）2=c2·AD2a2b2－b2m2－a2n2－b2·［（m－f）2+（n－d）2］.化简整理得

m－a2·fa2+b22+n－b2·da2+b22=a2b2（a2+b2－f2－d2）（a2+b2）2②

它就是点D的轨迹圆方程，笔者命名为富瑞吉伴圆，其圆心为Qa2fa2+b2，b2da2+b2.

易验证A（f，d）在②式的轨迹圆上.

设x0=xQ=a2fa2+b2f=（a2+b2）x0a2，y0=yQ=b2da2+b2d=（a2+b2）y0b2，将它们代入①式化简得x20a3a2+b22+y20b3a2+b22=1（a>b>0）.

这就是富瑞吉伴圆的圆心轨迹，是一个以原点为中心且轨迹在原椭圆内的新椭圆.

如图1，连接AQ并延长交伴圆于X（因为A、Q均为某一时刻的定点，所以X也为同一时刻的定点，X是相对Q点关于A点的对径点）.

因为AX为伴圆的一条直径，所以XD⊥AD，再考虑作法AD⊥MN，故定点X必在Rt△MAN的斜边MN上，等价于动直线MN恒过定点X.由两点的中点坐标公式易求出定点X的坐标为a2－b2a2+b2·f，b2－a2a2+b2·d，椭圆的富瑞吉定理证毕.

仿上同理可得，富瑞吉动定点X的轨迹方程为

x2（a2－b2）aa2+b22+y2（a2－b2）ba2+b22=1（a>b>0）.

它与原椭圆同中心且相似（它们的离心率相等）.

归纳为：定理2  如图1，在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任取一点A，把A作为直角顶点，然后把这个直角绕A旋转，MN为△MAN的斜边，于是这些斜边MN交于一个动定点X，过A作AD⊥MN，垂足为D点，以动直线AX为直径的富瑞吉伴圆圆心轨迹和动定点的轨迹分别是如下两个椭圆：

x2a3a2+b22+y2b3a2+b22=1（a>b>0），

x2（a2－b2）aa2+b22+y2（a2－b2）ba2+b22=1（a>b>0）.

2  双曲线的富瑞吉定理（记为定理3）

定理3  设双曲线方程为x2a2－y2b2=1（a>b>0，且1<e<2），A（x0，y0）为双曲线上一点，则以A为直角顶点的双曲线内接Rt△MAN的斜边MN过点a2+b2a2－b2·x0，－a2+b2a2－b2·y0.

定理4  设双曲线方程为x2a2－y2b2=1（a>b>0，且1<e<2），A（x0，y0）为双曲线上一点，过A作AD⊥MN，垂足为点D，以AX为直径的双曲线富瑞吉伴圆圆心Q轨迹和X点的轨迹分别是如下两个双曲线：

x2a3a2－b22－y2b3a2－b22=1（a>b>0），

x2（a2+b2）aa2－b22－y2（a2+b2）ba2－b22=1（a>b>0） .

如图2，其证明过程与椭圆完全类似，故具体过程略去.

圖2

3  抛物线的富瑞吉定理

定理5  在设抛物线y2=2px（p>0）上任取一点A（f，d），则以A为直角顶点的抛物线内接Rt△MAN的斜边MN过定点X（2p+f，－d）.图3

证明：如图3，过直角顶点A（f，d）向斜边MN作AD⊥MN，垂足为点D，并设D（m，n），已知A为定点且A（f，d），设MN的倾斜角为α（0°<α<180°）则直线MN的参数方程为x=m+tcosα，y=n+tsinα.

由点A（f，d）在抛物线y2=2px上，故d2=2pf.

将直线MN的参数方程代入抛物线y2=2px，化简得

sin2α·t2+2（nsinα－pcosα）t+n2－2pm=0.

所以t1·t2=n2－2pmsin2α，所以－t1·t2=2pm－n2sin2α=MD·DN.

由M，N分布在点D的两侧，不妨t1=MD>0，t2=－DN<0.

因为AM⊥AN，AD⊥MN，由直角三角形的射影定理得AD2=MD·DN.

因为AD2=（m－f）2+（n－d）2，所以AD2=（m－f）2+（n－d）2=2pm－n2sin2α1sin2α=AD22pm－n2.

因为AD⊥MN，所以kMN=tanα=－1kAD=－m－fn－dcotα=－n－dm－f1sin2α=1+cot2α=1+n－dm－f2=AD2（m－f）2.

所以AD2（m－f）2=AD22pm－n2［m－（f+p）］2+n2=p2+2pf，用D（x，y）代替D（m，n），得［x－（f+p）］2+y2=p2+2pf.

它就是点D的轨迹方程，将它对应的圆称为抛物线的富瑞吉伴圆，其圆心Q（f+p，0），故圆心在x轴的正半轴上移动，圆心轨迹是一条直线.

仿以上椭圆的分析证明，A点关于Q的对径点X（2p+f，－d），又设x0=2p+f，y0=－df=x0－2p，d=－y0，将它们代入d2=2pf，化简得y20=2p（x0－2p），即动定点X的轨迹方程为y2=2p（x－2p）.

它是将原抛物线沿x轴向右平移了2p个单位的一条抛物线.

故有如下定理：定理6  设抛物线y2=2px（p>0）上任取一点A（f，d），直角顶点A（f，d）向斜边MN作AD⊥MN，垂足为D点，以AX为直径的抛物线富瑞吉伴圆圆心轨迹是在x轴的正半轴上的一条直线，X点的轨迹方程为y2=2p（x－2p）.

参考文献

［1］  金磊.2010年陕西高考解析几何题的源与流［J］.数学通讯，2011（02）：54-56.

作者简介  万志红（1985—），男，江西上饶人，中学一级教师；致力于高中数学教育教学及高考数学试题研究，擅长信息技术融于数学解题研究.丁位卿（1964—），男，河南长葛人，数学爱好者；发表论文10余篇.