“误中悟”教育理念下的一轮复习教学实践

朱贤良 成辉

【摘  要】  “误中悟”教育理念将学生学习过程中产生的错误看成是一种具有开发价值的教学资源，鼓励并引导学生从错误中去发现规律、重构真理.“误中悟”教育理念以培育数学核心素养为导向，围绕学习主题来创设适切的情境，从“误区”与“雾区”出发，预设聚焦目标性“大问题”的层层递进的子问题串，通过联系、比较、试误、调整、重构等过程，使认识从模糊、零碎、浅表逐步进阶到清晰、整体、深刻.其课堂活动主线由“博学格物”“审问疑雾”“慎思试误”“明辨顿悟”“笃行温焐”“反思务本”六个环节构成.

【关键词】  误中悟;导数;几何意义;切线

传统意义上的高三数学一轮复习课一般包括主干知识梳理、典型例题精讲和变式练习巩固等几个教学环节，其中主干知识梳理还往往得不到重视，复习课彻底沦为“题型+方法+练习”的单一模式.这样的复习方法在学生的数学能力与核心素养的培养方面存在着相当程度的矛盾和缺陷［1］：一方面，数学课堂除了教师的讲解和学生简单的操练之外，没有充分供学生探究和反思的时间与空间；另一方面，在平常的学习过程中，不少学生虽然长时间在数学题海中浮沉，但对于一些新颖情境的试题尤其是对数学能力要求较高的试题仍然是束手无策、一筹莫展.那么，一轮复习中究竟应该怎样设计教学流程、开展教学活动，才能有效提高教学效率、培育学生的数学核心素养呢？

从课堂教学出发，笔者所在教研团队进行了多年的理论学习与实践探索，提出了“误中悟”教育理念.“误中悟”教育理念倡导怀疑和批判精神，善待错误，将学生学习过程中产生的形形色色的错误看成是一种具有开发价值的教学资源，鼓励并引导学生从错误中去发现规律、重构真理.“误中悟”教育理念以培育数学核心素养为导向，围绕学习主题来创设适切的情境，从“误区”与“雾区”出发，预设聚焦目标性“大问题”的层层递进的子问题串，敏锐、及时地捕捉错误.在具体的课堂教学过程中，“误中悟”教育理念以问题引领学生经历“博学格物”“审问疑雾”“慎思试误”“明辨顿悟”“笃行温焐”“反思务本”六个环节，通过联系、比较、试误、调整、重构等过程，使认识从模糊、零碎、浅表逐步进阶到清晰、整体、深刻［2］.本文以“导数的几何意义”一轮复习第一课时为例，设计“误中悟”教育理念下的复习教学.1  案例设计1.1  曲线的切线的知识背景与教学要求1.1.1  曲线的切线的知识背景［3］

初中平面几何中对圆的切线作了这样的定义：如果直线和圆有惟一公共点，则称直线与圆相切.这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点.

圆是一种特殊的曲线，上述定义并不适用于一般曲线的切线.比如，图1中，对于曲线C，直线l1虽然与曲线C有惟一的公共点N，但我们不能认为它与曲线C相切；而另一条直线l2，虽然与曲线C有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线C在点M处的切线.因此，以上圆的切线的定义并不适用于一般的曲线.

如图2，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线C的割线.随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线C在点P处的切线.

由平面几何知识可知，割线PQ斜率kPQ=f（x0+d）-f（x0）d.当点Q无限接近点P时，即d趋近于0时，f′（x0）=limd→0f（x0+d）-f（x0）d的值即为曲线y=f（x）在点P处的切线斜率，这也就是导数的几何意义.所以，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线.所以，这个变化过程真正反映了切线的本质特征.切线的本质，是在切点附近最接近曲线的直线.在这一点附近，比起用其他直线，用切线近似地代替曲线，误差最小.函数的表达式千变万化，但只要可导，就可以在一点附近用一次函数近似地代替，而使得误差最小.这就是微积分中重要的思想——以直代曲，实现了以简单对象刻画复杂对象的目的.1.1.2  曲线的切线的教学要求与考查内容

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确给出了本知识点的要求：通过函数图象直观理解导数的几何意义.在近几年高考中，“导数的几何意义”属于高频考点，考查的基本类型主要包括四类：第一类，直接利用导数的几何意义，求解曲线在某点或过某点的切线方程；第二类，求解两曲线的公切线方程；第三类，根据曲线的切线方程或切线条数求参数的取值或范围；第四类，数形结合，借助“潜伏”的“隐切线”来求解相关问题.从题型来看，本知识点既频繁在选择、填空题中作为主角登场，又常在解答题中客串出场.从求解策略来看，解决这类问题的关键在于紧抓切点，并求取切线方程.

1.2  “误中悟”教育理念下的复习教学环节

1.2.1  博学格物：完善导数的知识体系，并在具体问题中重温求取切线方程的一般程序数学课堂中创设教学情境，就是呈现给学生刺激性的数学信息，引起学生学习数学的兴趣，唤起学生强烈的问题意识，使学生全心投入、全神贯注.一般来说，创设教学情境时要遵循三个基本原则：一是力求真实而自然合理，实现数学与生活的紧密关联，引领学生使用抽象数学解决具体问题；二是富于趣味而引人深思，学生在问题驱动下更好地理解、内化知识，逐步让知识转化为能力与素养；三是促进重构而完善系统，学生为了解决新旧知识之间的认知冲突，需要扩充与完善知识体系.

问题1  上节课中，我们一起复习了“导数的概念和运算”，那么利用导数这一工具可以解决哪些数学问题呢？（求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值与最值、研究函数的图象与零点、证明不等式等等）

设计意图  通过回顾导数一章的知识體系，引导学生对导数的应用形成系统认知.

问题2  图3定格的是我国辽宁号航空母舰上舰载飞机滑跃起飞的瞬间，大家是否知道飞机在飞离甲板的那一瞬间，其速度的方向是怎样的吗？（速度的方向与甲板相切）

追问1  在数学学习中，我们曾用过哪些思路来求切线的方程？（函数图象的切线利用导数法求解，圆的切线借助切线的性质“d=r”解决，圆锥曲线的切线利用“Δ=0”求得）

追问2  导数与切线有什么关系？（导数值f′（x0）表示曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率，此即导数的几何意义）

追问3  求函数图象的切线方程分几步完成？（求导函数f′（x）求切线的斜率k=f′（x0）写出切线的方程并整理）

设计意图  借助实际问题引出本节课的复习内容，增强学生应用数学的意识，并引发学生思考高中数学中求取曲线切线方程的思路方法，完善切线问题知识体系.在回顾导数的几何意义的基础上，让学生梳理利用导数的几何意义求取切线方程的一般程序.例1  求函数f（x）=x3的图象在点（1，1）处的切线方程.

变式1-1  过点P（1，0）作函数f（x）=x3图象的切线，求切线的方程.

变式1-2  过点Q（1，1）作函数f（x）=x3图象的切线，求切线的方程.

师生活动：师生共同完成例1，并总结求取切线方程的“十二字口诀”——抓切点，求斜率；点斜式，写方程.学生先独立完成两道变式题并板演，再进行讨论、修正并形成共识.师生共同总结“在某点处的切线”与“过某点的切线”的区别，并完善对上述“十二字口诀”的认知.

设计意图  借助实际问题引出本节课的复习内容，并引发学生思考高中数学中求取曲线切线方程的思路方法，完善切线问题知识体系.在回顾导数几何意义的基础上，让学生梳理利用导数的几何意义求取切线方程的一般程序.

1.2.2  审问疑雾：探究函数奇偶性对切线斜率的影响，并由此简化运算过程

维果茨基的“最近发展区”理论将学生的现有发展水平与潜在发展水平之间的区域叫最近发展区，最近发展区又分为自发展水平（通过自身努力可以达成的水平）和助发展水平（需要求助方可达成的发展水平）.“误中悟”教育理念将自发展水平与助发展水平之间的区域称为“雾区”.高效地突破“雾区”，需要教师预设目标性的“大问题”及其子问题串，引导学生以数学的视角（即形状、位置、大小、度量、运算、关系、模型等）来审视具体问题，探求破解之道.

例2  （2016年高考全国Ⅲ卷·文16）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e-x-1-x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程为    .

师生活动：学生思考、讨论，明确解题步骤：先求x>0时f（x）的解析式，再求其导数f′（x），进而得到点（1，2）处的切线斜率k=f′（1），最后写出切线的方程.

追问1  用GGB软件绘制某一偶函数f（x）的图象，再作出图象在关于y轴对称的两点A与A′处的切线（如图4）.当我们移动点A时，你发现两条切线的斜率之间有怎样的关联？

追问2  这表明偶函数f（x）在关于y轴对称的两点处的导数有什么样的关系？（互为相反数）你能否用数学表达式来表示这个结论？（f′（-x）=-f′（x））这一结论表明偶函数f（x）的导数f′（x）具有怎样的性质？（f′（x）为奇函数）

追问3  你能利用这一发现来重新求解例2吗？（先求得f′（-1），即可得到f′（1））

追問4  类似地，观察奇函数f（x）的图象在关于y轴对称的两点B与B′处的切线（如图5），你又能得出什么样的结论？（f′（-x）=f′（x），即奇函数的导数是偶函数）

设计意图  在具体问题的求解中，引导学生直观感知函数的奇偶性对切线斜率的影响，并进行抽象概括，由此发展学生的直观想象与数学抽象素养.同时，利用所得结论简化求解切线的过程，重构方法体系.

例3  （2022年新高考全国Ⅱ卷·14）曲线y=lnx过坐标原点的两条切线的方程为    、    .

师生活动：教师引导学生思考，并明确本题求解的两个关键点：一是“过坐标原点”的切线，切点不明确，必须设出切点坐标；二是需要分别求x>0时曲线y=lnx的切线方程、x<0时曲线y=ln（-x）的切线方程，但结合函数的奇偶性与图形的对称性可以判断，两条切线的斜率互为相反数，由此可以使运算量减半.

设计意图  深化学生对“在某点处的切线”与“过某点的切线”区别的认识，掌握含绝对值函数求导数与切线方程的一般思路，并领会函数的奇偶性与图形的对称性对切线斜率的影响.由此，可以培养学生分类讨论意识、数学运算与直观想象素养.

1.2.3  慎思试误：以公切线问题为契机，给学生提供深思慎取、大胆试误的舞台

桑代克的“联结—试误”理论将人类的学习过程定义为刺激与反应之间的联结，认为知识与技能的获得必须通过“尝试—错误—再尝试”这样的一个试误过程.错误、挫折的刺激，会产生强烈的反应，引起“观念冲突”，这种刺激—反应的联结，会触动心灵，触及灵魂，刻骨铭心，进而唤起深度学习.试误需要沉浸式慎思，慎思就是要深思而慎取.学生通过自己的思维活动来仔细考察、思考、分析，充分发挥好奇心与想象力，大胆试误，积极寻求有效的问题解决方案，借助证据和合理推理进行有效论证.这一系列过程可以培养学生分析问题的能力，使其学会用数学的思维思考现实世界［4］.

例4  （2016年高考全国Ⅱ卷·理16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=    .

师生活动：学生动手练习，与教师预想的一致，出现了一类典型错误：由y=lnx+2得y′=1x；由y=ln（x+1）得y′=1x+1.设切点坐标为（x0，y0），则k=1x0=1x0+1，无解.设计意图  在学生的易错点处精心设置问题，可以充分暴露学生在知识掌握与思维逻辑上的缺陷，从而给教学活动提供良好的契机.1.2.4  明辨顿悟：引导学生明辨错解中的不合理之处，形成对问题求解的正确认知教师要鼓励学生积极发表自己的意见，展示试误的结果，并合作交流，在互动中明辨问题，批判质疑，碰撞思维，擦出思想火花，互启灵感，诱发顿悟，生成发现.教师还要引导学生给出合理的评判和严谨的推理论证过程，得到定理、法则、公式的确认，然后用自然语言、图形语言、符号语言予以表达.如此，可培养学生解决问题的能力，使其学会用数学的语言表达现实世界［4］.问题3  所谓公切线，即这条直线与两条曲线都相切.换而言之，两条曲线的所有切线中相同的直线即为公切线，求公切线问题实际上就是去寻找两条曲线的所有切线中重合的直线.因此，既然是公切线，例4中曲线f（x）的切线斜率与g（x）的切线斜率自然相等，但k=1x0=1x0+1无解，难道曲线f（x）与g（x）没有公切线？图6

追问1  以我们熟悉的两圆的公切线为例.如图6所示，当两圆相外切时，公切线有三条：直线a与两圆相切于不同的两点A1，A2，直线b与两圆相切于不同的两点B1，B2，直线c与两圆相切于同一点C.由此，你能反思上述例4的解答过程有什么问题吗？（公切线与两曲线未必相切于同一个点，可能切于不同的两个点）

追问2  在例4中，直线y=kx+b与曲线y=lnx+2和y=ln（x+1）是相切于同一点，还是不同的两点呢？（不确定）方程k=1x0=1x0+1无解说明什么？（公切线与曲线f（x），g（x）不可能相切于同一个点）

追问3  上述例4的解答用一种特殊情况代替了一般性的情形，所以导致方程无解.在具体解题中，我们要特别注意思维过程的严密性，否则就会产生类似这样的错误.现在，当我们不能确定两切点是否是同一个点时，应该怎么办？（分别设出两个切点）由此，你能给出例4的正确的解答过程吗？

师生活动：教师引导学生认识公切线的实质，并对比两圆的公切线的各种情形，引发学生反思与讨论，认识分析错解产生的根源，并在此基础上形成正确的求解过程.解  设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点（x1，lnx1+2），而y′=1x，故切线的斜率k=1x1，切线的方程为y-lnx1-2=1x1（x-x1），即y=1x1x+lnx1+1.

再设直线y=kx+b与曲线y=ln（x+1）相切于点（x2，ln（x2+1）），而y′=1x+1，故切线的斜率k=1x2+1，切线的方程为y-ln（x2+1）=1x2+1（x-x2），即y=1x2+1x+ln（x2+1）-x2x2+1.

因为两条切线重合，故k=1x1=1x2+1，b=lnx1+1=ln（x2+1）-x2x2+1，解得x1=12，x2=-12，所以b=ln12+1=1-ln2.

设计意图  从学生熟悉的两圆的公切线入手，可以引发较为强烈的刺激，促使学生进行自觉分析，辨明错解产生的根源，并最终形成公切线问题的正确求解思路.

1.2.5  笃行温焐：学以致用，巩固与强化对公切线问题求解程序的认识

我国明代著名思想家王阳明的“知行合一”思想认为，“知是行之始，行是知之成”“知是行的主意，行是知的功夫”.在學生获得顿悟后，教师要精心设计适当的变式训练，注重基础性、探究性、实践性、综合性的练习，体现有关、有用、有趣，巩固“误中悟”的成果，将所悟及时“小火慢炖” 即“温焐”，使其固化为本领和素养.当然，巩固训练要有梯度，渐次渐进、逐层逐级、循序渐进.训练要有温度，用心用情个性化量身定制，切忌“大火爆炒”“直通高考”［4］.

例5  求曲线f（x）=ex-1与曲线g（x）=elnx的公切线方程.

变式  （2020年高考全国Ⅲ卷·理10）若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（  ）.

A.y=2x+1    B.y=2x+12

C.y=12x+1  D.y=12x+12

设计意图  笃行温焐旨在深化理解已学知识，厚积活动经验，焐熟技能方法，培养学生应用迁移、问题解决能力.

1.2.6  反思务本：梳理、总结学习过程，深化对知识与思想方法的理解

元认知理论认为，反思性学习就是学习者对自身学习活动的过程以及活动过程中所涉及的有关信息、思维、结果等学习特征的反向思考.学生主动反思本节课的学习过程、建立知识探究框架、触及数学本质、凝练思想方法；教师在学生反思的基础上对学生进行评价指导，可以借助思维导图工具呈现认知结构，回溯经历与经验，回忆结果与结论，回顾过程与方法，回味情感与价值.反思务本就是务元务本，达到深入浅出，厚积薄发，由厚到薄，大道至简的境界［4］.

问题4  本节课，我们一起复习了“导数的几何意义”这一知识点，你有哪些新的认识？

师生活动：教师引导学生结合本节课的学习过程，整理自己对知识与思想方法的新认识，并梳理自己的学习成果.学生对“导数的几何意义”的新的感悟包括：求切线方程的核心是抓住切点；注意“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别；曲线“在点A处的切线”是唯一的，“过点A的切线”可能有多条；当切点未知时，要先设出切点；求公切线时，要分别设出两个切点……

设计意图  经过浅出、薄发、聚合形成创新意识、科学精神、文化认同，领悟数学思想和数学方法，悟育数学核心素养.

2  教学反思

一轮复习不是对学过的旧知识的简单重复，通过复习要使学生加深对所学知识的理解，启发学生体会知识间的联系和发展等辩证观点，使学生不仅获得“知”，更让学生得到“识”，使学生既要得到“鱼”，又要学会“渔”.“误中悟”教育理念指导下的复习课教学就是强调把相关知识点置于具有一定复杂性的问题情境中，从大胆试误出发，引导学生暴露自己的思维过程，通过列举反例、变式等手段组织学生进行辩论、交流，让学生深深地卷入教学情境，思维表现出较高的批判性，进而矫正并丰富学生的认知，建构准确、合理的知识体系［5］.2.1  转换视角，将“错误”视为具有开发价值的教学资源

如何看待学生在学习过程中产生的形形色色的错误，是我们开展“误中悟”教学所要考虑的首要问题.“误中悟”教育理念认为，要真正追求知识，探寻真理，犯错是必要的阶段，没有谁的认识能绕过错误.换而言之，学生在掌握新的定义定理公式、领悟知识内涵的过程中，“错误”是必经的关卡，这就如同孩子是在多次的跌倒中慢慢学会走路，学生也是通过犯错后的不断总结与反思来生成新的知识、掌握新的本领.因此，擅长总结错误，从错误中分析出合理与不合理的成分，是对知识与方法形成正确认知的一项必备技能，而教师引导学生放开手脚、不受外在约束地大胆尝试与创新就成为培育学生理性思维与探究精神的重要手段.

从教师“教”的角度来看，学生的“错误”往往反映了其认知过程中的盲区与疑难所在，这给我们准确掌握学情、合理确定教学重心提供了参考，从而强化教学活动的针对性与有效性.从学生“学”的角度来看，数学概念与技能的掌握，既需要树立正面的“形象”，还需要“错误”这面镜子.以“错误”为鉴，可纠正偏离的认知.正、反“形象”的比照，对学生的思维可产生强烈的刺激，以促进对正确理念的深刻理解、领悟与牢固记忆，增强对“错误”的免疫力，并丰富他们的数学经验.“误中悟”教育理念所倡导的，就是要充分开发、利用好“错误”这一资源，分析其中对教与学有积极影响的因素，让“错误”成为改善教与学方式的强大推动力.

2.2  精心设计，让“错误”成为提升复习效率的重要抓手

如前所述，一轮复习课不是对高一、高二教学内容的简单重复与强化，而是引导学生在旧知识与已有经验的基础上，对所学知识与思想方法的再构与系统化.为调动学生思维的参与，我们同样需要像新课那样创设问题情境激活关于旧知的记忆，在问题解决中加深对知识的再理解.显然，这样做比直白的告知或匆匆过一遍的教学效果要好得多. 这就需要教师课前要精心设计能串起所复习的主干知识的问题.如果我们能从学生易迷糊、易疏忽、易犯错的知识点或是问题着手，强烈的认知落差容易激发学生的好奇心，让学生产生强烈的求知欲.因此，在复习教学时，我们可以精心设计，把学生的认知“迷雾”与“错误”作为教学的出发点或是重要环节，让“迷雾”与“错误”成为提升一轮复习效率的重要抓手.

开展具体的复习教学时，教师要充分调研学情与考情，并根据教学经验预判学生学习的难点与易错点.比如在“导数的几何意义”复习之前，笔者根据班级学生的知识掌握情况，将本节课的易错点归结为两个：一是不能区分“在一点处的切线”与“过一点的切线”，这是部分同学存在的问题，可以让其他同学参与讨论并纠正错误；二是两条曲线的公切线问题，部分同学未认识到切点一般有两个这一事实，也有部分同学束手无策.本节课还有一个容易让人迷糊的地方，就是高考试题中出现的函数解析式未明确或是不能直接求导时，该怎样去求取切线的斜率这一问题.基于以上的分析与判断，笔者在实施“误中悟”教育理念下的一轮复习时，把导数的几何意义置于多种具有一定复杂性的问题情境中，分别着眼于不同的侧面，使学生对相关知识与思想方法形成多角度、多层次的理解.

2.3  穿越迷雾，借“纠错”活动发展科学理性的思维能力

“误中悟”教育理念将学生在学习过程中敢于尝试错误并分析、辩论、反思错误的行为看成是一种科学、理性的探究精神.这种敢于试错、分析并总结反思的行为习惯有利于分辨知识的表象与本质，促进学生对数学思想方法的深入理解.从这个意义上说，“错误”让知识以一种更自然的方式生成，也正是在出错和修正错误的探究过程中，课堂才是最鲜活的，教学才是最美丽动人的.正如著名的数学教育家波利亚所说的那样，“学习任何知识的最佳途径都是由自己去实践探究，因为这种方式理解得最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”［6］.因而，教师需要做的是鼓励并引导学生去尝试探究，穿越层层迷雾，让学生在“纠错”过程中积累活动经验，发展科学、理性的思维能力.

能力来源于实践，没有实践活动，没有过程的参与体验，就没有经验的积累，也谈不上思维的训练.数学复习过程中，一道数学题，一个数学概念，我们都可以从障碍、错误、总结等方面进行活动设计，在解决认知障碍、纠正思维错误、总结活动经验的基础上，真正达成思维能力的提升［7］.从展示错例出发，逐步引导学生暴露自己的思维过程，通过列举反例、变式等手段组织学生进行辩论、交流，让学生深深地进入教学情境，思维表现出较高的批判性，并对知识的对与错表现出高度的敏感，进而矫正并丰富学生的认知，建构准确、合理的知识体系.在纠错过程中，教师要退到引导者、参与者的角度，要让学生成为思维的主体、探究的主体、辩论的主体、反思的主体.学生动眼观察、动手解答、动口交流、动脑总结，如此教与学，能力可以提升，素养方能达成.

参考文献

［1］  施小斌，沈新权．基于高中数学核心素养的复习课教学设计——以《曲线的切线方程的求法及应用》为例［J］．中学数学（高中版），2017（23）：19-22．

［2］  朱賢良，唐录义．“误中悟”教育理念下的“导数与函数单调性”教学设计［J］．中小学数学（高中），2023（04）：46-50．

［3］  新青年数学教师工作室．高中数学素养养成手册·选择性必修第二册［M］．长沙：湖南教育出版社，2022．

［4］  唐录义．“6W”方式课堂表征［J］．中学数学杂志，2022（05）：12-15．

［5］  朱贤良，唐录义，金超．错误资源巧开发，误中悟道明真知——“误中悟”教育理念的开发背景与应用前景［J］．理科考试研究，2020（01）：30-36．

［6］  黄伟亮．刍议探究式教学在高中数学课堂中的运用［J］．中学数学教学参考（上旬），2022（11）：30-33．

［7］  洪金坚，陈燕昌．基于“微主题”的高中数学校本教研实践探索——以函数图像公切线问题为例［J］．中学数学教学参考，2022（34）：69-71．

作者简介  朱贤良（1981—），男，安徽枞阳人，高级教师；基础教育省级教学成果一等奖获得者，曾获市级名教师、学科带头人、骨干教师、先进教研个人等称号；主要从事中学数学教育教学研究；发表教学论文120多篇.

成辉（1981—），男，湖南永州人，一级教师；曾获市级优秀教师、学科带头人、骨干教师、优秀党员等称号；主要从事中学数学教育教学研究.