三角的问题 方程的视角

【摘  要】  高中三角函数，由于三角公式的大量削减，现在学生学起来反而倍感吃力.为了改变这一现状，可以跳出三角的苑囿，用方程的视角来重新审视三角问题，则会发现三角问题会变得简单而有趣.

【关键词】  三角问题；方程视角；妙解

高中三角函数兼具知识性与工具性，是非常重要的基础章节.由于课改的需要，有些繁琐的三角公式已被逐出课本.现在学生记忆负担减轻了，但解题时知识点之间的逻辑链接也变得缓慢了.如果我们改变思维视角，用方程的观点来看待三角函数，则会豁然开朗，问题也随之获解.

1  万能置换视角

万能置换最大的优点，就是能将正弦函数、余弦函数、正切函数用含同一个字母的不同代数式表达.这样就为构造方程提供了先机.例1  已知5sinx+1=5cosx，求cosx的值.

解析  设tanx2=t，则sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，故原方程即为：5·2t1+t2+1=5·1-t21+t2，化简得6t2+10t-4=0，解得t=13或t=-2，故cosx=1-t21+t2=45或cosx=-35.

2  韦达定理视角

根据韦达定理逆向构造一元二次方程，是学生的拿手好戏.而正弦余弦函数的平方关系起到了关键性的桥梁作用.

例2  已知sinθ+cosθ=15，θ∈（0，π），则tanθ的值是.

解析  将sinθ+cosθ=15两边同时平方得：1+2sinθcosθ=125，即sinθcosθ=-1225<0.由韦达定理知sinθ，cosθ是一元二次方程x2-15x-1225=0的两根，又因为θ∈（0，π），故cosθ<0<sinθ，则cosθ=-35，sinθ=45，故tanθ=sinθcosθ=-43.例3  是否存在锐角α，β，使等式α+2β=2π3，tanα2tanβ=2-3同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

解析  由已知α+2β=2π3，得α2+β=π3，则tanα2+β=tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=3.  ①

将tanα2tanβ=2-3，  ②

代入①式，得tanα2+tanβ=3-3.  ③

由②③知tanα2，tanβ是方程x2-（3-3）x+2-3=0的两个根，解之得x1=1，x2=2-3.因为α，β均为锐角，故tanα2≠1，即tanα2=2-3，tanβ=1.故β=π4，代入α+2β=2π3，得α=π6.故α=π6，β=π4.3  对偶配对视角

正弦、余弦函数对偶互配，可以衍生出方程组，再通过解方程组或恒等变形，就可以使问题得到圆满解决.

例4  求值：cos20°cos40°cos80°.

解析  由诱导公式得

cos20°cos40°cos80°=sin70°sin50°sin10°=sin10°sin50°sin70°.

设x=sin10°sin50°sin70°，y=cos10°cos50°cos70°，

则xy=18sin20°sin100°sin140°=18cos70°cos10°cos50°=18y，即xy=18y，故x=18.

例5  已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范围.

解析  设cosx+2siny=t.  ①

又sinx+2cosy=2.  ②

由①2+②2，得（cosx+2siny）2+（sinx+2cosy）2=4+t2.

即5+4sin（x+y）=t2+4，则t2=1+4sin（x+y）≤5，

故cosx+2siny的取值范围为［-5，5］.

4  十字相乘视角

十字相乘法是解一元二次方程的灵丹妙药.在三角函数恒等式里，能用十字相乘法分解因式的代数式俯拾皆是.

例6  已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈0，π2，求sinα，tanα.

解析  因为cos2α=2cos2α-1，故原方程可化为sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0，由十字相乘法得（sin2α-cosα）（sin2α+2cosα）=0.

由α∈0，π2知：sin2α>0，cosα>0，故sin2α+2cosα>0，

故sin2α-cosα=0，则sinα=12，又α∈0，π2，则α=π6，所以tanα=33.

5  加减消元视角

加减消元法是解决方程组问题的基础方法.如果将这种思维迁移到三角函数里，就可以“柳暗花明，枯木逢春”.

例7  已知α，β满足tanαtanβ=713，若sin（α+β）=23，則sin（α-β）的值为.

解析  设sin（α-β）=x，即sinαcosβ-cosαsinβ=x.  ①

由sin（α+β）=23，得：sinαcosβ+cosαsinβ=23.  ②

解方程组①②，得sinαcosβ=13+x2.  ③

cosαsinβ=13-x2.  ④

由③÷④得tanαtanβ=13+x213-x2=713，解得x=-15，故sin（α-β）=-15.6  数形结合视角

数形结合是高中数学非常重要的思想方法.先以数论形，再因形构数，就可以“比翼双飞，相得益彰”.

例8  在△ABC中，已知AC=6，BC=8，

cos（A-B）=34，求sin（B-C）的值［1］.解析  如圖1，在BC边上取点D，使BD=AD，则∠BAD=∠B.

cos∠DAC=cos（A-B）=34，设BD=AD=x，则DC=8-x.

在△ADC中，由余弦定理得（8-x）2=x2+62-2·6·x·34，

解得x=4.故BD=AD=DC=4.所以点A在以BC为直径的圆上，故∠BAC=90°，又cos（A-B）=34，

即cosC=34，所以sinB=34，则sin（B-C）=sin2B-π2=-cos2B=2sin2B-1=18.图1

7  求根公式视角

求根公式是解一元二次方程的万能公式.如果我们能适时构造一元二次方程，就可以水到渠成地利用求根公式求解.

例9  求值：cos36°.

解析  设α=18°，则2α=36°，3α=54°.因为2α+3α=90°，故2α=90°-3α.

sin2α=cos3α，sin2α=cos（2α+α），2sinαcosα=4cos3α-3cosα，即2sinα=4cos2α-3.

化简得4sin2α+2sinα-1=0，由求根公式得sinα=5-14（负根舍去）.

由二倍角公式得cos36°=cos2α=1-2sin2α=1-25-142=5+14.8  判别式法视角

判别式是判断一元二次方程根的试金石.而判别式法又是一种通用而有效的解题办法，对于三角函数问题也大有用武之地.

例10  在△ABC中，求证：sinA2sinB2sinC2≤18 ［2］.

解析  sinA2sinB2=-12cosA+B2-cosA-B2=-12sinC2-cosA-B2，

故sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2.

设sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2=t.

则sinC22-cosA-B2sinC2+2t=0.

将上述方程视为以sinC2为未知数的一元二次方程，

则Δ=cos2A-B2-8t≥0，即t≤18cos2A-B2≤18·1=18.

故sinA2sinB2sinC2≤18.

由以上八个用方程的视角解三角题的例子可以看出，方程的积极参与，使三角问题的解决途径千姿百态.方程的“触角”已深入到三角的各个“毛孔”.关键在于我们是否能融会贯通，打通其“任督二脉”.在平时的教学中，教师要有意识地引导学生从不同的侧面看待数学问题，培养学生的发散性和创新性思维能力.

参考文献

［1］  林明成.冲刺双一流  高中数学培优讲义［M］.成都：四川民族出版社，2023：37-38.

［2］  琚兴广.高中数学一题多解［M］.武汉：湖北教育出版社，1995：37-39.

作者简介  鲁和平（1964—），男，湖北省天门市人，特级教师；主要从事高中数学解题方法与技巧研究；发表论文80余篇.