数学运算素养视角下的高考试题分析及教学建议

【摘  要】  数学运算是数学学科重要的核心素养之一，是数学活动的基本形式，是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.文章剖析了2023年全国高考数学乙卷蕴含的多维度、多角度落实数学运算核心素养的考查内容和方式，并给出一些有效的教学建议.

【关键词】  数学运算；数学素养；试题分析；教学建议

1  问题的提出

供陕西、甘肃、宁夏、青海、新疆、内蒙、江西、河南八省的2023年全国高考数学乙卷，全面考查了考生的数学核心素养和能力，充分体现了基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求，凸显数学作为基础学科和在人才选拔中的重要作用，但不少考生认为试题结构稳定，难度不大，就是没有做完，特别是实际分数与期望存在较大反差.那么是什么原因导致分数的落差呢？本文笔者从数学运算素养的视角来剖析试题，并给出些许教学建议，不当之处敬请指正.

2  基于运算素养的试题分析

数学运算是解决数学问题的必由之路和关键环节，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段，试题彰显数学运算是数学活动的基本形式，充分体现了“无运算不数学”的特点.按照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）给出数学核心素养的水平划分依据，数学运算核心素养被划分为三个水平，每一个水平又通过情境与问题、知识与技能、思维与表达和交流与反思这四个维度进行表述，根据满意原则，将每道试题四个维度中的最高水平作为该试题的运算素养水平得到表1［1］，下面举例说明相关“水平”的确定.图1

例1  （理科第19题）如图1，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.

（1）证明：EF∥平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

试题分析  本题以三棱锥为载体进行命题，考查了线面平行、面面垂直的判定和二面角的求法.前两问表面看是空间线面位置关系的几何证明，实则蕴含大量的代数推理. 因为点F由BF⊥AO确定，所以问题的关键就是恰当利用条件BF⊥AO，推得F是AC的中点. 解答时，首先要在数学情境中迅速地找到运算对象；然后根据题目所需，选择比较合适的运算方法求得所需结果. 第一问，可从以下三个角度进行思考： ①向量基底法或向量坐标法，从计算BF·AO入手，如设AF=tAC，则BF=BA+AF=（1－t）BA+tBC，AO=－BA+12BC，则由BF·AO=0，解得t=12，得F为AC的中点；②解析法，如以BA，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，从计算斜率，即kBF×kAO=－1入手，求得F（1，2），说明F为AC的中点；③利用平面几何知識，如同一法（设F′是AC的中点，利用三角形相似或勾股定理的逆定理证BF′⊥AO，由唯一性知BF与BF′重合，即F、F′为同一点）.最后证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

第二问，可从以下两个角度进行思考：①利用向量法，如计算法向量，证法向量垂直；②几何综合法，如计算OD2+AO2=AD2=152，利用勾股定理的逆定理得OD⊥AO，进而由线面和面面垂直的判定定理证明.

第三问，同样有两个思考角度，如图2：①利用空间向量法，建立空间直角坐标系，得平面AOC的一个法向量m=（0，0，1），平面ADO的一个法向量n=（1，2，3），由向量夹角公式和同角关系得结论为22；

②几何综合法（一作二证三计算），如过点O作OH∥BF交AC于点H，则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角，但运用余弦定理求角时需求△DOH的三边长，它不仅需继承已有结果，而且计算边DH=152的运算也不简单.详解  略.

素养水平  通过对试题的详细分析可知，该题在考查相关空间点、线、面位置关系判定的同时，全面考查考生空间想象、运算求解、逻辑推理及综合分析解决问题的能力.第一问在情境与问题这个维度涉及到的只有数学情境，无其它情境；在知识与技能这个维度，考查的知识点涉及线线平行、线面平行的判定和线线垂直的性质及相关平面几何知识，考查考生灵活应用所学知识，选择合理运算方法解决问题的能力；在思维与表达这个维度，体会通过合理运算解决线面平行的推理证明过程，形成规范化思考解决问题的品质；从交流与反思这个维度来看，体现了借助运算探讨位置关系的运用.根据《标准》有关数学运算核心素养的水平划分，第一小问基本可以划分为数学运算核心素养的水平2.

第二问承前启后，通过勾股定理的逆定理得到DO⊥AO，进而有EF⊥AO，说明考生能将题目提供的数据信息与几何图形有机联系，并能形成合理的运算思路解决问题，类同第一问，根据加分原则，可以认为达到数学运算核心素养水平2的要求.

第三小问在情境与问题这个维度仍仅涉及数学情境，运算对象清晰；在知识与技能这个维度，在前两问的基础上还涉及二面角、空间向量坐标、法向量、夹角公式、同角三角关系等知识点，主要考查考生根据所求问题选择适合解决该问题的运算方法；在思维与表达这个维度，主要考查学生能否利用所学知识设计运算程序，求出二面角的正弦值，进而体验运算即逻辑推理的过程；在交流与反思这个维度，体现了利用运算结果说明问题这一过程，根据《标准》，该问达到数学运算核心素养的水平2的要求.

例2  （理科第20题，文科第21题）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的离心率是53，点A（－2，0）在C上．

（1）求C的方程；（2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．

试题分析  该题以圆锥曲线中的椭圆为载体设置，第一问相对比较简单， 主要考查的是考生能够利用主干条件求出题目中要求的椭圆的标准方程，第二问在主干条件的大前提下，又设置了小条件作为问题解决的媒介，考查的是直线恒过定点问题.

解答第二问，首先要不拘泥于试题的固有形式，能对试题适当拓展延伸，问题即验证yM+yN2为定值；其次，能够针对所求问题选择较合适的运算方法，最主要的是结合所学知识将抽象的动态的问题转化为可以直接解答的问题，如图3.

易知直线PQ的斜率存在，设PQ：y=k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立，韦达定理可得

x1+x2=－8k（2k+3）4k2+9，x1x2=16（k2+3k）4k2+9，再在直線AP：y=y1x1+2（x+2）中，令x=0，得yM=2y1x1+2，变量替换可得yN=2y2x2+2，综合y1=k（x1+2）+3，y2=k（x2+2）+3等信息，运算得

yM+yN2=3，即证得线段MN的中点是定点（0，3）.

在整个解题过程中考生能体验到利用数形结合、分类讨论、转化化归思想解决复杂问题的功效，及规范化的理性思维品质和克服困难、勇攀高峰的精神意志.详解  略.

素养水平  通过上面对试题的详细分析，可以看到这道试题不仅是单一地考查相关知识点，还考查考生的综合分析及解决问题的能力. 这道试题的第一问在情境与问题这个维度涉及到的只有单纯的数学情境，无其它任何的实际情境；在知识与技能这个维度，考查的知识点涉及椭圆的离心率、顶点、椭圆的标准方程，主要考查考生应用所学知识列、解方程的能力；在思维与表达这个维度，考生能够体会椭圆的几何性质及方程思想对整个问题解决的关键作用；从交流与反思这个维度来看，体现了“反思” 这个过程. 根据《标准》有关数学运算核心素养的水平划分，该问基本可以划分为数学运算核心素养的水平1.

第二问在情境与问题这个维度涉及到的是纯数学情境，只需简单转化即可明确运算对象；在知识与技能这个维度，该问除了要利用第一问的计算结果之外，还涉及直线方程、直线与椭圆位置关系、韦达定理、中点坐标公式和定点等知识点，主要考查考生能否综合应用所学过的知识，结合题目条件准确地找出运算问题，再根据所求问题的类型选择适合解决该运算问题的运算方法；在思维与表达这个维度，主要考查学生能否利用数形结合、分类讨论、设而不求、设而要求、化归等思想方法设计运算程序，求出点M、N的坐标之和；其次，在解题过程中切身体会到运算过程是一种逻辑推理过程；在交流与反思这个维度，体现了“反思”这一过程，说明考生能合理构造运算程序，综合运用相关运算，完美解答问题，根据《标准》，遵循加分原则，该问可以划分为数学运算核心素养的水平3.

《标准》中指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程. 从表1展示的素养水平可以看出，全卷100%的题需计算，整体计算量较大，运算能力水平要求较高，如理科设问32个，运算素养水平1、2的问题各15个，水平3的问题2个，相关问题的分值权重依次为43.8%，48.7%，7.5%，理科运算素养的考查水平明显高于文科，虽有近一半的题目运算对象明确，运算所必须的知识及技能熟悉，但它与正确求得运算结果还有较大距离，对于需要转化甚至构造运算对象，探究运算方法的题目，更需考生具备较强的综合运用知识分析和解决问题的能力.

3  基于运算素养的教学建议

高考题是命题专家依据《标准》和《中国高考评价体系》经过严格推敲，体现“一核四层四翼”的良好素材，是中学教与学的指南针，深化对高考考查方式、命题特点的理解，在教中练，在练中悟，在悟中学，在学中提升数学核心素养，是我们教学的出发点和着力点.这里以运算素养的主要表现形式为抓手，通过具体试题的剖析，给出教学建议，促使大家在欣赏高考试题的同时，强化培养运算素养的意识.3.1  理解运算对象，保证运算的根正苗红

例3   （理科第3题，文科第3题）如图4，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（  ）.A.24     B.26  C.28     D.30

解析  如图5所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，点H，I，J，K为所在棱上靠近点B1，C1，D1，A1的三等分点，O，L，M，N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-A1B1C1D1去掉长方体ONIC1-LMHB1之后所得的几何体.

解法1  直接法.该几何体的表面积为正方体ABCD-KHIJ的表面积与长方体KMNJ-A1LOD1的侧面积之和：（2×2）×6+（2×2+1×2）×1=30.

解法2  间接法.该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：（2×2）×2+（2×4）×3－（1×1）×2=30. 故选D.

评析与建议  求空间几何体的表面积，关键是要弄清几何体的类型及其结构特征，并正确写出面积表达式.本题由三视图还原空间几何体，在求其表面积时易忽视面MNOL错选C，忽视底面错选B，或空间上的对象模糊混乱，如用ABCD-A1B1C1D1的表面减去MHIN-LB1C1O的表面或侧面或底面而错选B、C、A等等.由于学生的基础和理解能力不尽相同，教学中对写错算式不能简单用“粗心马虎”武断了之，而应放慢速度，长期地从题目阅读、疑点释疑、难点化解、重点突破、关系梳理及数学表达等方面探索交流，以落实学生的数学素养为目的，逐步培养学生分析问题的能力，形成扎实的运算基础.3.2  掌握运算法则，储备运算的科学武器

例4  （理科第1题）设z=2+i1+i2+i5，则=（  ）.

A.1－2i    B. 1+2iC. 2－i       D. 2+i

解析  由题意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1－1+i=i（2+i）i2=2i－1－1=1－2i，则

=1+2i. 故选B.

评析与建议  掌握复数四则运算及乘方运算法则是计算复数z的关键，且本题仍存在i5计算或四则运算不仔细，忽视目标是求共轭复数等因素出错.中学所涉及的数学定义、定理、公式、运算法则，系统地观察并不多，如数式的六种初等运算（加、减、乘、除、乘方和开方），集合、指对数、三角、向量、导数等相关运算法则，但由于其非常基本，使用频率高，运用的综合性强，因而对这些法则必须深度理解、系统地准确记忆并能灵活应用.

3.3  探究运算思路，把准运算的正确方向例5  （理科第12题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA·PD的最大值为（  ）.

A.1+22    B. 1+222C. 1+2  D. 2+2

解析  解法1  三角法.由OA=1，OP=2及题意，得PA=1，∠APO=π4.

当点A，D位于直线PO异侧时，设∠OPC=α，0≤α≤π4，则PA·PD

=|PA|·|PD|cosα+π4=12－22sin2α－π4.

由0≤α≤π4，得－π4≤2α－π4≤π4，所以，当2α－π4=－π4时，PA·PD有最大值1.

当点A，D位于直线PO同侧时，设∠OPC=α，0≤α≤π4，则PA·PD

=PA·PDcosπ4－α=12+22sin2α+π4.

0≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤3π4，所以，当2α+π4=π2时，PA·PD有最大值1+22.

综上可得，PA·PD的最大值为1+22.故选A.

解法2  向量投影法. 如图6所示，OA=1，OP=2，则由题意可知PA=1，∠APO=π4.由于D为BC的中点，所以PB⊥OD，所以点D在以PO为直径的圆上，设PO的中点为Q，垂直PA的直线切圆Q于点D0，交PA于点E0，则∠D0QO=π4，所以AE0=QD0－12PA=22－12，PE0=PA+AE0=22+12，PE是PD在PA上的投影，于是PA·PD=PA×PE≤PE0=2+12.解法3  估算法. 注意到四个选项相差较大，

PA·PD=PA×PE=PE，借助几何直观发现PE∈（0，PE0］，而PE0∈（1，2），B，C，D三个选项都大于2，故选A.

评析与建议  解法1的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，反映了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.然而完整作答需分类讨论，利用平面向量的数量积定义得到PA·PD=12－22sin2α－π4，或PA·PD=12+22sin2α+π4，然后结合三角函数的性质确定

PA·PD的最大值，大小有近二十步的计算量，耗时费力.解法2充分利用数量积的几何意义，借助直观图形，结合向量投影的几何属性，辅以适量的运算求解，事半功倍；解法3结合题设条件的几何特征与选择支差异，通过较强的直观想象和数感能力分析得解，达到“上兵伐谋”之功效.无疑，解法3的境界是我们的追求，但冰冻三尺非一日之寒，高中数学运算技巧很多，除了基本的公式法则的正用、逆用、变用外，还包括换元、配方、待定系数、化整为零、化零为整、恒等变换、数形转化、设而不求、放缩变换等等，要达到灵活运用技巧解题，须在平时善于提炼数学思想方法，善于挖掘数学问题的本质，善于一题多解并能举一反三，善于训练积累和钻研.3.4  设计运算程序，铺平运算的康庄大道例6  （理科第21题）已知函数f（x）=1x+aln（1+x）.

（1）当a=－1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范圍.

解析  数学运算既服务于解题，又引导解题方向，合理的运算程序蕴于解题程序之中，本题解题流程图（图7）的每一模块实质上包含一个或多个运算步骤.请读者不妨依程序框图试着写出题目详解.

评析与建议   （1）求切线方程的核心是利用f′（x）的几何意义求切线的斜率f′（1），一般求f′（x）要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，对复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.接着求切点坐标到切线方程的化简整理，运算贯穿始终，可以说运算过程就是解题过程.

（2）遵循定义域优先原则，结合对称的必要条件，通过函数的定义域即可确定实数b=－12，进一步由函数的对称中普遍与特殊的关系，利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a=12，最后检验所得的a，b是否正确，完成充分性论证，体现运算在解决问题中的工具性和逻辑价值.

（3）f（x）在（0，+∞）存在极值等价于f′（x）有变号的零点，等价于f′（x）=0有变号根，据此构造新函数h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1），求h′（x）=2ax－ln（x+1），分三种情况讨论导函数的性质，可求得实数a的取值范围是0，12.即：

①当a≤0时，h′（x）<0，h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，此时h（x）<h（0）=0，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，不合题意;

②当a≥12时，由于h″（x）=2a－1x+1>0，所以h′（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）>h′（0）=0，h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，h（x）>h（0）=0，所以h（x）在区间（0，+∞）上无零点，不合题意；

③当0<a<12时，由h″（x）=2a－1x+1=0可得x=12a－1.

当x∈0，12a－1时，h″（x）<0，h′（x）单调递减，h′（x）<h′（0）=0；

当x∈12a－1，+∞时，h″（x）>0，h′（x）单调递增，利用lnx<x－1x（x>1）（*）得h′（x）=2ax－ln（x+1）>2ax－x+1－1x+1=（2ax+1－1）xx+1.

令2ax+1－1=0，得x0=14a2－1，于是h′（x0）>0，

根据零点存在性定理可知：h′（x）在区间12a－1，x0，即（0，+∞）上存在唯一零点x1.

当x∈（0，x1）时，h′（x）<0，h（x）单调减，h（x1）<h（0）=0；

当x∈（x1，+∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增，利用不等式（*），有

h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1）>ax2+x－（x+1）x+1－1x+1=（ax+1－x+1）x.

令ax+1－x+1=0，得x2=1－2aa2，所以h（x2）>0，

所以函数h（x）在区间（x1，x2），即（0，+∞）上存在变号零点，符合题意.

前面四次等价转化需要对问题有较强洞察和模式识别能力，之后的h（x）零点研究，特别是在0<a<12时“找点”利用定理验证零点存在性的环节，没有合理解题思路指引，没有厚积的知识储备和扎实的运算素养，是不可能实现解题愿望的.

运算的程序设计是数学运算最重要的内容，是实现数学运算的保证，它不仅对数学中许多问题的解决有重要作用，而且广泛应用于其它科学技术之中.运算的程序设计能力也是一种数学理性思维能力的具体体现，教师要不失时机地通过问题与交流、探究与归纳、模仿与表达、实践与反思等手段重点培养.

4  结束语

1963年编制的《全日制中学数学教学大纲（草案）》首次明确提出“培养学生正确而且迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力”的要求.1991年原国家教育委员会发布《普通高等学校招生全国统一考试数学科说明》提出“数学科考试旨在测试基础知识、基本技能、基本方法和运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法，分析和解决问题的能力”，即所谓“三基四能” ［2］.2017年版（2020年修订）的《标准》明确提出了包含数学运算的六个既有独立性又互相交融的数学核心素养，同时在高考从能力立意到核心素养立意的实践中，数学运算核心素养肩负着异乎寻常的责任. 从“三大能力”中的“计算”，到“四大能力”中的“运算”，再到“五大能力”中的“运算求解，数据处理”，再到《标准》提出的“數学运算素养”，统统说明数学始终离不开数学运算.运算素养是学生适应未来社会的一个最基本素养，它是甄别个人思维能力、展现思维过程的载体，是促进个人智力发展的催化剂，是学生学习态度、意志品质的反映，是数学落实立德树人的指路明灯，更是决定数学高考成败的关键！

参考文献

［1］  李子瞻，胡典顺.基于数学核心素养的新旧高考比较分析——以2021年新高考Ⅰ卷与2020年全国Ⅰ卷为例＼[J＼].数学教育学报，2022（03）：26-30.

［2］  任子朝，陈昂，赵轩.数学核心素养评价研究＼[J＼].课程·教材·教法，2018（05）：116-121.

作者简介  刘正章（1968—），正高级教师， 特级教师，陕西名师，省级教科研先进个人；主要研究中学数学教学及数学文化;撰写数学书籍30多部，发表文章130余篇，主持省市级课题10多个．