凝练习题教学路径 发展过程分析能力

毋晓迪 陈辉坤 鞠腾基

基金项目  广西教育科学“十四五”规划2021年度专项课题“基于高中生数学核心素养发展之研究性学习的开展策略与实践研究”（2021ZJY1814）.

【摘  要】  数学习题教学是高中数学教学不可或缺的环节，是培养学生过程分析能力的直接教学形式.通过“课堂提问巧设计”“问题阶梯巧设置”“题干条件巧变式”及“图形图象巧利用”4个路径，旨在让学生在解题中经历各种分析过程，形成解决问题的意识并抽象出解决问题的方法，以期提高学生的过程分析能力，形成可持续的发展过程.

【关键词】  习题教学；过程分析；问题设置；能力提升

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：教学评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生的学习过程［1］.进一步凸显了“过程和方法”作为新课程目标的一个核心领域，这对高中数学教学提出了更高的挑战，对学生的思维提出了更高的要求.

数学习题教学是高中数学教学不可或缺的环节，是培养问题意识的萌芽阶段，是教师引导学生将客观知识转化为主观知识的一个渐进过程，也是教学效果反馈的重要渠道.高中生具备一定的抽象思维能力，他们有对感知材料（情景）进行积极思考并提出问题的意识，有对挑战性问题积极参与合作交流的意识，有对相似性认知问题归纳综合的意识.

因此，适度的数学解题训练，不仅能帮助学生从不同侧面、不同角度完善对数学概念、定理以及公式的理解，而且可以通过问题变式，加强学生合作探究，及时帮助学生建构知识网络，拓展创新解决问题思路，积累解决问题的方法（习题教学流程如图1所示）.

诚然，学生解题能力的提升、解题思路的完善和解题方法的获取须根植于整个解题过程中.因此，在数学问题解决中发展学生过程分析能力，必定脱离不了习题教学的参与.具体的教学实施可聚焦于以下4条路径.

1  课堂提问巧设计，诱导学生说过程

提问是课堂教学中最常用的一种教学手段.事实上，教师提问的过程，是促使学生调动已有知识“加工”新知识的过程，是引导学生自主建构知识的过程，也是引导学生积极参与到学习活动中的过程［2］.若教师在具体的课堂教学中把握不好提问的“度”，容易忽视不易察觉的关键“题眼”，抓不牢思维顿悟点，进而失去培养学生发散思维能力的好时机.教师需要在问题设置上下功夫，需要在发问中诱导学生说思维运演过程.

例1  已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形△OCD的顶点C，D在半圆弧AB上运动，且∠COD=120°，点P是半圆弧AB上的动点，求PC·PD的取值范围.

对于两向量的数量积运算，可以从三方面思考.第一，公式运算：a·b=|a||b|cos<a，b> ；第二，坐标运算：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2；第三，两向量数量积的几何意义：一个向量的模乘以另一个向量在其方向上的投影.鉴于此，教师可以设置如下问题，诱导学生说思维过程（见表1）.

上述问题解决的过程是采取了不同解题视角启发学生说过程，学生在问题引导中会外显出思维过程，同时也能暴露出平常不易发觉的问题，尤其是学生容易忽视圆周角定理和圆内接四边形的性质.此时，正是教师

给学生创造思维生长点、发展过程分析能力关键点的最佳时机.

创设能力生长点，诱发最新发展点，发展过程分析能力的关键点.

2  问题阶梯巧设置，引导学生写过程

在习题教学中，学生会在教师的提问下进行过程分析，若要完成习题的解析过程，就需要学生进行独立的思维活动，在解决问题的过程中增强问题意识［3］.诚然，设置好习题，使学生在解决序列问题过程中达成自主构建的目标，远比学生追求解题速度和数量的功利思想更有价值.鉴于此，教师需要考究好习题的难度，设置好富有阶梯性和“召唤性”的问题情境，把较复杂或难度较大的问题分解成若干个紧密关联的子问题.基于学生的认知发展和思维水平细化问题，决定问题的台阶，诱发学生深入思考，助推学生产生疑问，激起学生的学习需要和学习期待.

另外，在写过程中，确保问题的逐阶设问既能让学生克服（探寻达成目标的途径），又能让学生可望又可及（跳一跳就能够得着），为学生创造收获的机遇，这也是教师教学的艺术性所在.

例2  已知PC是△PAB的角平分线，点C在线段AB上，AC=3，BC=1，问题设置如表2所示.

該习题的问题设置，表2中的第一种问题设置形式是常见的直问方式，而第二种问题设置形式是将抽象问题分析过程设置成若干个简单的解决子问题过程.在一个个铺垫的子问题中，采取小步走的方式，逐步引导学生进行过程分析，在解决问题的过程中形成一个具有渐进结构的问题系统.

从第二种问题设置形式的设问1中求线段PA∶PB的值作为解决问题的突破口，也是解决本题目的关键导向点，旨在考查学生对角平分线定理的理解、掌握及应用水平.学生只有得到PA∶PB的值为3∶1，才能采取建立平面直角坐标系的方法，或者根据限制条件列式求出点P的运动轨迹是一个圆.所以，设问2是本题目的核心突破点，也是学生在“写过程”时的一个难点.若设问2的问题能顺利解决，那么，解决设问3和4这两个问题便可顺水推舟.

显然，分析并解决例2的过程并不是所有学生都能既懂又会，尽管教师采取问题多阶梯的设置方式，但是解决问题过程的方向是受教师牵制的，容易忽视学生的另解视角.通过窥探试题情境，若要求△PAB面积的最大值，还可以把问题设置成表3中的形式3.

通过上述的多角度解题分析，无论以何种问题设置情境，还是多台阶化解构问题，都充分展现出习题教学需要重过程、重探究及重能力.习题教学时，题量不在多，不在难，贵在精.提高试题的利用率，是教师“备题”时首先考虑的问题.所以，充分挖掘试题内涵，让每一道精选的习题都充分发挥自身的教学价值，促进学生巩固所学的知识，进而达成知识传授、技能转化、培养过程分析能力的目的.3  题干条件巧变式，多种情境比过程

精选的习题可以作为破解概念难点的重要载体，也可以作为重要结论的感性素材，更是作为知识巩固提升的重要阶梯.通过数学习题的练习与讲评，学生既能从中体悟到题目中所蕴含的思想与方法，又能从中认识到自身知识体系的欠缺.若习题仅仅止步于练习与讲评，则会容易掐断学生继续思考和应用迁移的进程，形成思维僵化，高耗低效的态势.当学生再次遇到新的数学问题时，受思维定势的影响，就会生搬硬套解题模式，这正是陷入数学学习中“懂而不会”怪圈的根本原因.

因此，在习题练习和讲评后，可以借助习题变式这一载体，从不同角度和方式变换习题非本质的属性，在对比变式前后的问题情境中，构建一个能让学生亲身体验分析过程的实践平台，进而揭示习题的本质属性.下面以新人教A版高中数学选择性必修一教材第116页习题14为例，进行习题变式探究教学.

例3  已知椭圆x24+y29=1，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.

解构例3的“题眼”，所求问题可理解为：椭圆的平行弦中点在同一条直线上，其轨迹是一条线段，可用两种思路定量分析.

思路1：设直线y=32x+m被椭圆截得线段的中点为M（x，y），把y=32x+m代入椭圆方程x24+y29=1，得9x2+6mx+2m2－18=0，若x1、x2是方程9x2+6mx+2m2－18=0的两个实数根，则x=x1+x22=－m3，联立y=32x+m和x=－m3，消去m，得3x+2y=0.因此，当这组直线与椭圆有两个公共点时，这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线3x+2y=0上.

思路2：设直线与椭圆的交点坐标为（x1，y1），（x2，y2），则

x124+y129=1，x224+y229=1，作差整理，得y1－y2x1－x2=－94×x1+x2y1+y2=－94×xy=32，即3x+2y=0.

窥探上述解析过程，思路1采取方程思想，通过消参得出点M（x，y）的运动轨迹方程；思路2采取点差法，直接得出点M（x，y）的运动轨迹方程.在结束本试题讲评后，可以对例3中平行弦与椭圆的交点改变为任意两点，进行如下变式与拓展（如表4所示）.

变式1和2让学生在对比过程中，突破“椭圆曲线上两点对称问题处理”和“椭圆曲线上两点中垂线问题处理”两个知识疑点.由此可见，选好富有横纵联系、具有延展性的“原题”，才能“变式”出富有启发性和探索性的题组，帮助学生在不同情境中多方向、多层次思考问题，摆脱一味被动灌输，打破思维定势桎梏，跳出固有解题模式，避免反复机械训练.这样的变式训练有助于学生深刻地理解数学概念与规律，有助于学生提出新问题或获取同一问题的多角度解答，有助于学生建立良好的知识体系，有助于学生提高过程分析能力和知识迁移能力.4  图形图象巧利用，训练学生画过程图形和图象是链接数学规律与数学模型之间的一条重要枢纽带，图象和图形的呈现或为了说明相关的数学问题情境，或为了描述相关量之间的依存关系，或为了阐明某些变化规律.会解读、会描绘、会运用、会变换数学图象和图形，是学生需要习得的一项基本技能.

在数学习题教学中，对于一些定性分析的问题，通常采用数形结合的方法简要分析便能得到结论.若想利用图象求解一些定量分析的问题，特别是那些隐藏在题设中的条件或者规律，那么求索图象和图形的过程事实上是一个集探寻规律、寻觅方法、建构思路于一体的综合分析过程，也是发展学生过程分析能力的有效之举.因此，画出的图形和图象，要具有直观反映出题设中隐匿条件的价值.例4  是否存在每个面都是直角三角形的四面体？

对于立体几何知识的学习，需要遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则认识并感知空间图形.显然，该题目考查学生对多面体结构特征的认识，需要学生正确运用平行或垂直的判定或者性质定理进行判断.巧利用哪些特殊图形能训练学生画出该图形，是解决本题的突破点，从学生熟悉的长方体（或正方体）入手，探寻线和线、线和面的垂直关系，如图2所示.

由图2可知，正方体AC1 中的四棱锥C1-ABC，四个面均为直角三角形.在画图的过程中，不仅印证了存在每个面都是直角三角形的四面体这一基本事实，而且能收获一些解决空间几何问题的数学模型（或规律性结论），例如平面ABC1⊥平面BCC1B1、四棱锥C1-ABC外接球的直径为AC1、点B到平面ACC1的距离为面对角线长度的一半、点C到平面ABC1的距离也为面对角线长度的一半、∠CBC1为二面角C1-AB-C的平面角、∠ACB为二面角A-CC1-B的平面角等.

基于此，我們不难发现，在习题教学中，画图的过程实质上是建构解题思路的过程，是分析关键“题眼”的过程，是探寻图形中边与角关系的过程，是打开发散思维突破口的过程，是形成严谨分析数理逻辑的过程，是有利于学生可持续发展的过程.

5  教学启示打破“高耗低效”，充分发挥习题教学的育人功能，是我们应然追求的教学目的. 那么，什么样的习题教学才是学生所需要的？如何组织习题教学，使得教学效果最佳？

多数教师可能都会认为是达成知识、能力、素养三大目标.但这只是一种理论目标，是一种“设计图”，就如建造高层大楼一样，仅有设计图是无法施工的，还需要精细绘制的“施工图”.那么数学习题教学中如何精心雕琢好“施工图”？答案是：重在过程实践.如何把握好解题教学过程，在解题过程中培养和发展过程分析能力，需要注意如下3方面.

5.1  变走马观花为寻根究底抽象概括与归纳是一种学生思维能力发展到一定阶段之后的形成的一系列理性思维.在习题教学中，针对精选的习题，例如平面向量a、b、c满足

|a|=1，b·c=0，a·b=1，a·c=－1，求|b+c|的最小值，教师可采取稚化追问：从向量数量积的几何意义来看，将a·b=1，a·c=－1可以等价转化成什么问题？求|b+c|的大小，本质上是求哪个量的大小？引导学生说过程、写过程和画过程，简洁思路见图3.从而避免学生解题中跟随老师的点拨思路走马观花，在明晰知识内涵的同时，逐步形成正确分析、推理、论证、概括与归纳的学习逻辑，在解题过程中养成“寻根究底”的习惯.

然而“寻根究底”也需要把握3个“度”：①需创设问题情境，提炼教学兴趣点，提升学生“参与度”；②需巧设问题台阶，创设能力生成点，保证问题有“梯度”；③需紧扣课堂现场，凝练思维顿悟点，探究问题的数量要“适度”.

5.2  变全盘接受为质疑创新

通过习题教学能帮助学生巩固数学知识与技能，深化学生思维能力，活化数学思想和方法.但在习题练习与讲评中，让学生亲历试题考查的知识点、解题的方法、答题的策略，如果学生不假思索地全盘接受教师的“灌输”，那么习题教学就会缺失“对话、交流”的机会.质疑是创新的根基，而创新是从质疑中来.因此，教师要给习题教学中留置开放“时空”的位置，给学生创造“质疑”的时机，在质疑中得到“意外收获”，在质疑中达到意义建构，进而提升创新能力.例如本文例2的教学，通过对题设关键信息的捕捉，建构“阿氏圆”模型，继而进行关键步骤推理，在质疑与创新中发散思维，尽可能多角度解决待求问题，这种思维过程，可概括提炼为一类习题练习和讲评的模式，具体流程可用如图4表示.

5.3  变“依葫芦画瓢”为延伸拓展

日常教学实践中，经常会遇到学生“懂而不会”的现象，在这里，“懂”可以理解为“知识的意义建构”，“会”可以解读为“能力的生成”，简言之，说明学生“懂”和“会”这两种境界是不在同一频道上的.学生过度依赖、套用學过的题型去解新问题，是“懂而不会”的缘由之一.从某种意义来讲，这种“依葫芦画瓢”的学习现象，实际上一方面是知识积累的缺失，另一方面是知识提取的缺失.如何弥补这一缺失，助推学生“由懂到会”，达到“既懂又会”的目的？对知识延伸拓展便是最佳选择，尤其在习题教学中，可以将知识数学模型化，如上述例题1，计算两向量的数量积，可以构建“投影向量模型”，通过对该模型进行拓展，来解决拓展性习题.例如，已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若∠A=π4，求

AB·OC的最大值（简解思路见图5）.

另外，在习题教学中，有必要设置以强化相似性认识为目标的、蕴含着思维品质的延伸拓展性习题，转变学生过度依赖套公式、套模板的学习现状，发展学生学会用多种思维表征来表达内心世界的能力，强化学生思维的深刻性、批判性和敏锐性，在问题解决的过程中逐步理顺学生认知线索，实现从习题教学走向问题解决教学.

参考文献

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］  刘兵，梁书莹，彭艳贵.初中数学专家型与普通型教师课堂提问语言的比较研究［J］.数学教学研究，2020，39（05）：28-32.

［3］  顾日新.激活问题意识 点燃思维火花——以一道高考题的两个教学片段为例［J］.数学通报，2018，57（12）：33-35+43.

作者简介  毋晓迪（1992—），男，河南许昌人，硕士，讲师;研究方向为数学课程与教学研究和数学教师教育；主持省部级课题4项，出版专著1部，近四年来指导师范生参加省级国家级教学技能比赛获得一等奖15项，发表教学和科研论文20余篇.

陈辉坤（1999—），男，广西梧州人，硕士研究生;研究方向为数学课程与教学研究;参加国家级微课比赛获一等奖2项，参加广西全区师范生创课比赛获二等奖1项，获软件著作权1项.

鞠腾基（2004—），男，山东安丘人，数学与应用数学专业学生;兴趣爱好为数学教学研究;参加全国“华文”师范生教学技能比赛获一等奖2项；参加广西全区师范生创课比赛获二等奖1项.