让数学核心素养在高中数学课堂落地生根*——以人教版高中“函数的奇偶性”教学为例

夏启明 曹鑫月 陆万顺

⦿ 宁夏固原第五中学

奇偶性作为函数的重要性质之一,对研究函数图象和性质具有重要作用.但“函数的奇偶性”这一节,内容较为抽象难懂,为了使学生更好地理解和掌握,需要精心设计教学过程,同时利用多媒体等教学资源,引导学生积极探索、合作交流,在学习的过程中发现规律、获得知识,学会学习并且热爱学习.

1 教学分析

1.1 教材分析

“函数的奇偶性”是人教A版必修一中第三章第二节“函数的基本性质”的第2小节.函数的奇偶性是函数的整体性质.在本书中,和处理函数单调性的方法一样,先给出几个特殊函数的图象,通过这些图象去直观地理解奇偶性,然后利用表格发现数量变化特征,再通过代数运算进行验证,由此建立了奇(偶)函数的概念.

1.2 学情分析

学生在初中已经学过轴对称和中心对称的图形,同时,上一课学习了函数的单调性,并从初次学习函数性质的经验中积累了研究函数的基本方法.

1.3 核心素养目标

本节课通过图象直观地感知对称性,从具体的图象中抽象出数学概念,并用数学符号语言揭示规律和表征,是培养学生数学抽象素养的核心.

1.4 教学重难点

教学重点:了解奇函数与偶函数的定义和图象特征,根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.

教学难点:将“图象关于y轴(原点)对称”转化为定量的符号语言.

2 教学过程

2.1 创设情境,提出问题

首先展示图1所示的图形.

图1

教师:生活中并不缺少美,而是缺少寻找美的乐趣.

请大家观察老师展示的这两幅图片,美丽的蝴蝶和我们传统文化中的京剧变脸,它们有什么共同的特征呢?

生1:它们是轴对称的.

教师:我们把生活中的美抽象成了数学中的对称,那同学们想一下,数学中有哪些内容展现了这样的对称呢?

生2:函数图象,如f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=x-1的图象.

教师:类似,我们借助几何画板再画一些函数的图象,如f(x)=x-2,f(x)=x3,f(x)=x4的图象.

设计意图：通过情境创设,学生真正体会到数学来源于生活,发现于生活,与日常生活密切相联,从而能够很好地激发学生学习数学的兴趣,体会数学美.

探究活动1:观察这些函数的图象,根据它们的特征给这些函数分类,并说明分类依据.

生3:函数f(x)=x2,f(x)=x-2,f(x)=x4的图象都关于y轴对称,函数f(x)=x,f(x)=x-1,f(x)=x3的图象都关于原点成中心对称图形.

教师:请观察这些函数的解析式,你能根据它们的特征给这些函数取一个特殊的名字吗?

生4:关于y轴对称的函数叫做偶函数,因为它们的指数都是偶数;关于原点对称的函数叫做奇函数,因为它们的指数都是奇数.

教师:瑞士数学家欧拉在1727年首次提出奇函数和偶函数的定义时,是根据指数的奇偶性来定义的,同学们课下可以查阅有关资料加深了解.

教师:今天我们共同来探究函数的奇偶性.

设计意图：通过设置问题,引发学生的猜想,数学史的引入让学生更加了解函数奇偶性定义的发展过程,将课堂还给学生,极大地增强学生学习数学的兴趣和信心,充分体现数学核心素养的要求.

2.2 探究新知,形成概念

教师:刚才我们是通过函数图象的对称性来对函数进行分类的,但是当我们遇到不熟悉的函数时,不能快速画出它的图象,也就无法判断函数的对称性,那我们又应该从哪个角度来判断呢?

生5:既然从图象角度无法判断,那可不可以类比上节课学习函数的单调性的方法,从代数的角度来研究函数的奇偶性呢?

设计意图：在学生学习知识的基础上,结合最近发展区,提出一些学生能够主动并且可以去解决的问题,激发学生的好奇心,让学生真正学会学习.通过类比、数形结合、由特殊到一般的方法,学生在获得知识的同时也获得了学习的方法.

探究活动2:如何用数量关系来刻画函数的对称性呢?

教师:以f(x)=x2为例,通过几何画板演示,同学们有怎样的发现呢?

生6:当自变量互为相反数时,函数值相等.(文字语言)

教师:观察表1中相应的函数值,大家能证明生6的结论吗?

表1

生7:对于函数f(x)=x2,有f(-3)=f(3)=9;f(-2)=f(2)=4;f(-1)=f(1)=1.

教师:这些都是比较特殊的函数值,不能用局部代表整体,那如何用更加严密的语言来证明呢?

学生共同回答:要证明对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(-x)=f(x).

教师:若对函数f(x)定义域内的任意x,都有f(-x)=f(x),那么其图象关于y轴对称吗?

生8:函数图象上的任意一点关于y轴对称的点也在这个函数的图象上.

设计意图：培养学生主动探究、动手操作,以及能够合理运用文字语言、符号语言表述问题特征的能力,促使学生的思维水平、问题解决的能力都能得到提升和发展.

引出偶函数的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.

2.3 合作探究,类比推理

学生完成表2.

表2

可以发现,当自变量x取一对相反数时,相应的函数值也是一对相反数.

学生合作探究得出,对于函数f(x)=x,有

f(-3)=-3=-f(x);f(-2)=-2=-f(2);f(-1)=-1=-f(1).

那么类比偶函数的定义,我们如何定义具有上述特征的函数呢?

生9:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.

教师补充:奇函数的图象关于原点对称.

设计意图：通过类比上一节课学习函数单调性的方法来研究函数的奇偶性,从整体上研究函数的性质,函数值随自变量的变化而变化的规律特征,为以后的学习奠定了基础.

2.4 讲练结合,巩固新知

例题利用定义,判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;

师生活动:教师引导学生找出判断的依据——定义,根据定义求出函数的定义域I后,再判断两个条件“①任意x∈I,-x是否属于I;②f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”是否成立,只有①②同时成立,才能判断函数的奇偶性.

预设的答案:

解：(1)函数f(x)=x4的定义域为R.

因为对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4为偶函数.

(2)函数f(x)=x5定义域为R.

因为对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5为奇函数.

追问1:你能总结利用定义法判断函数奇偶性的步骤吗?

学生讨论探究并回答:第一步,求函数的定义域I.第二步,判断定义域是否关于原点对称.如果定义域不关于原点对称,则函数不具有奇偶性,结束判断;若定义域关于原点对称,则进行第三步.第三步,对任意x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)与f(x)既不相等也不相反,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

追问2:如果可以作出函数的图象,是否还需要利用定义判断函数的奇偶性?你能得到其他的判断方法吗?

学生:可以直接根据函数的图象判断函数的奇偶性.如果函数图象关于y轴对称那么函数为偶函数;如果函数图象关于原点对称,那么函数为奇函数.

设计意图：例1和追问1能够帮助学生理解并掌握应用定义判定函数奇偶性的过程,进一步加深对概念的认识,在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养.追问2能够引导学生体会函数的图象.对于研究函数性质的作用,提升学生直观想象素养.

2.5 归纳小结,布置作业

教师:回顾本节课的内容,请回答以下几个问题.

(1)什么是奇(偶)函数?用定义判断函数奇偶性的步骤是什么?

(2)比较奇函数和偶函数的定义,说说二者的异同点.

师生活动:学生顺利回答了第(1)个问题并指出了奇函数和偶函数的相同点与不同点.

(2)相同点:①定义域都关于原点对称;②都是函数的整体性质.

不同点:①偶函数的图象关于y轴对称,而奇函数的图象关于原点对称;②当自变量取一对相反数时,偶函数对应的函数值相同,而奇函数对应的函数值相反.

设计意图：通过梳理本节课的内容,学生更能够系统地理解和掌握函数奇偶性的概念和判定,提升数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养.

本文立足于高中数学课堂实践基础之上,选取了人教版高中数学必修一中的重点之一——“函数的奇偶性”,进行具体的教学设计并实施教学实践,为数学核心素养进一步落实到数学课堂中打下了良好的基础.最后,学生可以通过建立“研究和思考”系统,利用所学到的知识来解决现实生活中的问题,切实将数学核心素养渗透到数学教学中.Z