融入数学文化 发展核心素养*——以“直线与平面垂直的判定”为例

田双瑞 徐会林 李薇薇 廖冬妮

⦿ 赣南师范大学数学与计算机科学学院

数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动”[1].在教学活动中有意识地融入数学文化,“有利于激发学生的数学学习兴趣,有利于学生进一步理解数学,有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养.”[1]

1 研究综述

诸多学者对如何在教学中融入数学文化,发展学生数学学科核心素养进行了相关研究.聂晓颖、黄秦安[2]给出了构建数学课堂文化的四个维度;侯代忠、喻平[3]就如何在教学中融入数学文化提出了教师在教学设计时应该思考的三个问题,即“①为什么要研究这个知识?②是怎么研究这个知识的?③这个知识有什么价值和意义”;李院德、史嘉[4]提出了核心素养背景下高中数学文化教育的具体实施策略.

本文中综合运用文献[2-4]中的相关策略,以“直线与平面垂直的判定”一节新授课为例,探究如何将数学文化融入数学课堂,提升学生数学学科核心素养的具体过程.

2 教学背景

2.1 内容分析

“立体几何初步”是北师大版高中教材《数学(必修第二册)》第六章的内容,是高中数学必修课程内容“几何与代数”这一主线的主要组成部分,是对义务教育阶段“图形与几何”内容的延续和发展.本章教学重点是帮助学生进一步形成空间观念,提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养水平[1].基本几何图形间的位置关系是“立体几何初步”这一章的重点内容,其直观基础是长方体,逻辑基础是相关概念与基本事实.平行和垂直是几何图形间的两大主要位置关系,是高中学业水平考试和高考所要求重点掌握的内容,二者的逻辑结构都是从“直线与直线”“直线与平面”到“平面与平面”,其抽象程度逐步提高,对学生素养水平的要求也逐步提升.

教材中以长方体为例,通过直观感知得出直线与平面垂直的判定定理.这种设计虽然符合课程标准的基本要求,但是实物模型不够丰富,操作确认过程过于单一,不利于促进学生数学学科核心素养的发展.在教学中,如果能融入数学文化,提供更加丰富的实物模型,让学生在操作确认中体验知识的生成过程,则更有助于促进学生数学学科核心素养的发展.

2.2 学情分析

本节课的授课对象是高一学生.知识结构方面,学生对义务教育阶段的“图形与几何”知识有了较好的认知基础,进入高中后已经学习和掌握了“线面平行”和“面面平行”两大判定定理,掌握了“线面垂直”的概念和性质.核心素养方面,学生已经具备了较高水平的直观想象素养,但数学抽象、数学建模和逻辑推理素养水平存在较大差距.本节课重在探究判定定理的形成过程,学生现有数学运算素养水平完全能够满足需要.认知特点方面,高中学生具有强烈的求知欲望和探究意识,有利于教学活动的开展.

2.3 教学目标及重难点分析

根据课程标准的要求,本节课有三个教学目标:(1)能够理解直线与平面垂直的判定定理,并熟练运用这一定理证明简单的几何命题;(2)在探究过程中,逐步提升数学抽象、直观想象、数学建模和逻辑推理素养水平;(3)了解与知识紧密相关的中华传统文化,感悟中华民族的智慧.

本节课的重点是理解直线与平面垂直判定定理的探究过程;难点是在探究过程中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学建模素养水平.

3 教学过程

3.1 引入文化,营造氛围

图1

情境:播放1分钟的日晷短视频,展示日晷图片(如图1).

教师:结合视频和图片,说一下日晷的晷针和晷面之间是什么关系?

师生活动:学生自主回答,教师介绍日晷的历史和工作原理,强调“晷针垂直于晷面”.

设计意图：日晷是我国古代的计时仪器,最早在《汉书》中就有记载,体现了我国古代天文学的辉煌成就.将日晷与数学知识相结合,创设文化情境,不仅为数学课堂增添了人文色彩,而且有助于引导学生“会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界”[1].

追问1:古人在建造日晷时,如何判断晷针与晷面是否垂直呢?

师生活动:学生将晷针抽象为一条直线,晷面抽象为一个平面,结合直线与平面垂直的定义,总结出需要判定晷针垂直于晷面内的所有直线.

设计意图：“寻找产生这个问题的缘由,从社会需求与数学学科发展需求两个方而来思考,从而揭示呈现的数学文化”[4]是将数学文化融入课堂的重要一步.以判断晷针与晷面垂直这一实际需求为出发点,说明探究直线与平面垂直判定定理的必要性,引导学生从文化情境中抽象出数学元素,既传递了数学文化,又促进了学生直观想象、数学抽象素养的发展.

追问2:要判断晷针垂直于晷面内的所有直线非常困难.大家思考一下,怎样才能既便捷又准确地判定晷针垂直于晷面呢?

师生活动:引导学生类比“线面平行”和“面面平行”的判定定理,思考如何根据晷针垂直于晷面内的有限条直线进行判定.

设计意图：引导学生进行类比推理,在学生的最近发展区内组织教学活动,有助于提升学生的逻辑推理素养水平;将“所有直线”转化为“有限条直线”,展示出数学以简御繁的强大功能,体现了数学的简洁美,有助于促进学生直观想象、数学抽象素养的发展.

追问3:晷针至少要垂直于晷面内的几条直线才能垂直于晷面?

师生讨论,自由发言.讨论结果如下:

(1)垂直于晷面内的一条直线.不能,反例:将三角板的一条直角边与黑板重合,另一条直角边与黑板不一定垂直.

(2)垂直于晷面内两条平行直线.不能,反例:在黑板内作两条平行线,使三角板的直角边与其中一条重合,另一条直角边与黑板不一定垂直.

(3)垂直于晷面内两条相交直线.未能举出反例,需进行实验探究.

设计意图：引导学生小组讨论,合理假设,可以培养学生的发散思维,感悟分类讨论的数学思想;利用反证法排除不合理的假设,有助于提升学生的逻辑推理素养水平;在未能举出反例的情况下,组织学生开展探究活动,可以培养学生严谨求实的学习态度;从日晷这一具体文化情境出发到完成分类讨论,对应了数学建模过程中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题三个阶段,有助于促进学生数学建模素养的发展.

3.2 实验探究,感悟新知

实验:小组合作,将准备好的三角形、矩形纸板进行一次性对折,折痕向上放在桌面上,并使被折的边与桌面完全重合.探究一下怎样才能使折痕与桌面垂直呢?

师生活动:各小组成员进行折纸活动.教师巡视,组织学生积极参与,重点关注各组内数学基础比较薄弱的同学,鼓励每个层次的学生参与到探究活动中.

设计意图：折纸大约起源于公元1世纪或2世纪时的中国,它不仅是一项重要的思维活动,也是一种很好的娱乐方式.折纸实验构建了一个验证线面垂直的直观模型,增强了学习的趣味性,可以让学生经历知识的形成过程,发展直观想象素养.

师生活动:选两个小组的代表,分别展示折痕与桌面垂直和不垂直两种情况.总结出“只要折痕垂直于被折纸板与桌面的两条交线,折痕就会与桌面垂直;其他情况下则不垂直”.

教师:为什么只要折痕垂直于被折纸板与桌面的两条交线,折痕就会垂直于桌面呢?

设计意图：折纸操作使学生获得对直线与平面面垂直判定定理的感性认知,从提出问题到操作确认,展示了判定定理的探究过程,可以引发学生的深度思考,为抽象概括作好铺垫,有助于发展学生的数学抽象、直观想象素养.

3.3 直观感知,抽象概括

教师:将桌面看作平面α,折痕看作直线AB,折痕与桌面的交点记为点B,折叠后纸板与桌面的两条交线分别记作直线BC,BD.固定BC,绕点B旋转BD.我们一起欣赏一下BD旋转的过程(Flash动画演示).

师生活动:学生观看动画,并转动自己手中的纸板,观察得出,当直线AB垂直于BC,BD这两条相交直线时,就会垂直于平面α内所有过点B的直线.

追问:直线AB与平面α内不过点B的任意直线m是否垂直呢?

图2

师生活动:学生作图探究,如图2,发现只要过点B作直线m的平行线,即可证明AB⊥m.

教师:当直线AB垂直于平面α内两条相交直线时,就会垂直于平面α内所有直线.根据直线与平面垂直的定义,可得AB⊥α.

设计意图：由直线AB垂直于平面内的两条相交直线,推广到垂直于平面内所有直线,结合定义判定出AB⊥α,体现了从特殊到一般的认识过程,有助于发展学生的逻辑推理、数学抽象素养;教学中注重传统教学手段与信息技术的融合使用,可以起到吸引学生注意、提高教学效率的作用.

3.4 归纳总结,获得新知

教师:如何判定直线l垂直于平面α?

师生活动:学生独立思考并用文字语言描述直线与平面垂直的判定定理,教师肯定学生的回答,或指出其中的错误,并分别用文字、符号和图形语言板书定理内容,重点强调“两条”和“相交”.

设计意图：学生独立思考并表述直线与平面垂直的判定定理,可以提升用数学语言表达问题的能力,促进逻辑推理素养的发展;教师用三种数学语言规范表述这一定理,有助于帮助学生形成严谨的学习作风,进一步提升数学抽象素养水平.

3.5 回归应用,体现本质

教师:大家现在能否回答“古人如何确保晷针垂直于晷面”这个问题?

师生活动:引导学生用自己的话表述出来,并给与积极评价.

设计意图：让学生体验定理的应用,完善整个数学建模过程,从而提升数学建模素养水平.同时,可以让学生体会数学与生活的密切联系,进一步感受数学的文化本质.

3.6 回顾总结,凝练素养

师生活动:回顾本节课重难点内容,总结本节课所用到的数学思想,并将直线与平面垂直的判定定理与“线面平行”“面面平行”相应的判定定理进行归纳对比,在学生原有知识结构的基础上,构建新的知识网络,形成思维导图.

设计意图：核心素养的发展不是一蹴而就的,要将传授知识与发展核心素养紧密结合,让学生感受到所取得的进步,增强学习信心,为后续学习奠定基础.知识网络的构建与更新,有助于学生从整体上把握数学知识的脉络,促进数学学科核心素养的连续性发展.

3.7 分层作业,学以致用

(1)基础作业:如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么这条直线和该平面是否一定垂直?

(2)提升作业(选做):小组合作,寻找生活中“线面垂直”的例子并给出判定,撰写一篇科研小论文.

设计意图：丰富作业形式,有助于提升学生完成作业的自主性和有效性,促进学生深度思考.基础作业面向全体学生,培养学生独立思考的习惯,在巩固新知的同时进一步发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养;提升作业针对学有余力的学生,培养数学应用意识和科研创新精神.分层作业体现了分层教学的思想,使“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上都能得到不同的发展”[1].

本节课严格依照新课标的要求,以发展学生素养为目标,以日晷、折纸等数学文化为载体,将直观想象、数学建模、逻辑推理、数学抽象素养与线面垂直判定定理紧密结合,在探究过程中寻找核心素养的生长点.运用“情境—探究”教学模式,步步深入,注重核心素养发展的阶段性、连续性和整合性.教学过程中关注不同层次的学生,随时给学生以积极评价,调动学生参与课堂的积极性;注重培养学生独立思考的习惯和合作探究意识,充分体现了教师主导和学生主体地位的统一,传授知识与发展素养的统一.将数学文化融入到教学过程的每一个环节中,学生在学习知识的同时潜移默化地接受数学文化的熏陶,充分落实了数学教育立德树人的根本任务.