K（Z（2），σ）上的高斯扩张的性质

谢光明，梁 婕

（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006）

设V是除环K上的全赋值环，σ∶Z（2）→Aut（K）是一个群同态. 则Z（2）在K上的斜群环K［Z（2），σ］有左商除环，记为K（Z（2），σ）. 笔者主要研究K（Z（2），σ）上的高斯扩张的性质. 2007 年，Brungs 等研究了张量积的分次扩张和高斯扩张的问题，并证明了分次扩张和高斯扩张中有一一对应的关系［1］. 2008—2009 年，谢光明等对斜罗朗多项式环上的分次扩张进行了完全分类，并对每一类的结构进行了刻画［2-3］.之后他们对相应的分次扩张和高斯扩张进行了研究［4-7］. 2009 年，谢光明等研究了K［Z（2），σ］上最简单的分次扩张——平凡分次扩张［8］. 2015 年，谢光明等对K［x1，x2；x1-1，x2-2］上的分次扩张进行了刻画，实际上是K［Z（2），σ］在交换情况下的结构［9］. 笔者讨论在非交换的情况下，K（Z（2），σ）上的高斯扩张及对应分次扩张的性质.

1 预备知识

定义1设K是一个除环，若对∀k∈K，k≠0，有k∈V或k-1∈V，则称V是K的一个全赋值环［2］.

定义2设是K［Z（2），σ］上的子加群，若对∀i，j，i′，j′∈Z，都有Α（i，j）X（i，j）·，则称Α是K［Z（2），σ］上的分次子环［2］.

定义3设是K［Z（2），σ］上的分次子环，若对∀i，j∈Z，aX（i，j）∈K［Z（2），σ］，aX（i，j）≠0，有aX（i，j）∈Α或（aX（i，j））-1∈Α，则称Α是K［Z（2），σ］上的分次全赋值环［2］.

定义4设是K［Z（2），σ］上的分次全赋值环，若Α（0，0）=V，则称Α是V在K［Z（2），σ］上的分次扩张［2］.

定义5设是V在K［Z（2），σ］上的分次扩张，则称Α的分次极大左理想的交Jg（Α）是Α的分次Jacobson 根［10］.

定义6设R是V在K（Z（2），σ）中的一个赋值环，且R∩K=V.若R满足条件：对任意的，当时，必有，则称R是V在K（Z（2），σ）上的一个高斯扩张［1］.

引理1设是V在K［Z（2），σ］上的分次扩张，Α（0，0）=V那么Jg（Α）是可局部化的，且是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张［1］.

引理2设R是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张. 那么Α=R∩K［Z（2），σ］是V在K［Z（2），σ］上的一个分次扩张，且Jg（Α）=J（R）∩K［Z（2），σ］，R=［1］.

引理3V在K［Z（2），σ］上的所有分次扩张组成的集合与V在K（Z（2），σ）上的所有高斯扩张组成的集合之间存在一个双射φ，并且具体映射方式为：其中Α是V在K［Z（2），σ］上的一个分次扩张，R是V在K（Z（2），σ）上的一个高斯扩张［1］.

定义7设R是整环，若对任意的a，b∈R，b≠0，存在c，d∈R，d≠0，使得da=cb，则称R满足左Ore 条件，或称R是一个左Ore 集［11］.

引理4设R是一个整环，且R是一个左Ore 集. 则对∀δ1，…，δn∈R，且δ1≠0，…，δn≠0，存在η1，…，ηn∈R，且η1≠0，…，ηn≠0，使得η1δ1=…=ηnδn［11］.

2 主要结论

设V是除环K上的全赋值环，σ∶Z（2）→Aut（K）是一个群同态，K［Z（2），σ］是Z（2）在K上的斜群环. 令X=X（1，0），τ=σ（1，0）∈Aut（K），Y=X（0，1），θ=σ（0，1）∈Aut（K）. 斜罗朗多项式环上的分次扩张及其商除环上的高斯扩张已经在文献［2-7］中进行了详尽的研究，但K［Z（2），σ］上的分次扩张及K（Z（2），σ）上的高斯扩张还有许多问题没有解决. 笔者将建立起它们与斜罗朗多项式环上的分次扩张及其商除环上的高斯扩张联系，可通过这种联系研究K［Z（2），σ］上的分次扩张及K（Z（2），σ）上的高斯扩张.

引理5设R是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张，令D=K（X，τ）. 则对∀γ∈D，γ≠0，有（γR）∩D=γ（R∩D）.

证对∀γ∈D，γ≠0，（γR）∩D⊇γ（R∩D）.另一方面，对∀α∈（γR）∩D，存在β∈R，使得α=γβ. 则β=γ-1α∈D，α=γβ∈γ（R∩D）.故对∀γ∈D，γ≠0，有：（γR）∩D=γ（R∩D）.

定理1设R是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张. 令：X=X（1，0），τ=σ（1，0）∈Aut（K），Y=X（0，1），，且令R∩DY j=SjY j.则：

（1）S0是V在D上的高斯扩张；

（2）B=⊕j∈ZSjY j是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.

证（1）j=0 时，R∩D=S0，S0∩K=D∩K=V. 对∀γ∈D，有γ∈R或γ-1∈R，从而γ∈S0或γ-1∈S0. 因此S0是D的全赋值环. 对∀0≠γ′∈K［X，X-1；τ］⊆D，设则存在t，使得，由R是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张，有由引理5 可知：

因此S0是V在D上的高斯扩张.

从而存在m，使得，由R是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张，有因为，且：，即，所以B是D［Y，Y-1；θ］的一个分次子环，从而B=⊕j∈ZSjY j.

对∀βY j∈DY j，有βY j∈R或（βY j）-1∈R，从而βY j∈B或（βY j）-1∈B. 因此B是D［Y，Y-1；θ］的一个分次完全子环. 故B=⊕j∈ZSjY j是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.

类似于定理1，可得定理2.

定理2设R是V在K（Z（2），σ）上的高斯扩张. 令：X=X（1，0），τ=σ（1，0）∈Aut（K），Y=X（0，1），θ=σ（0，1）∈Aut（K），E=K（Y，θ），，且令R∩EX i=Ti X i.则：

（1）T0是V在E上的高斯扩张；

（2）C=⊕i∈ZTi X i是T0在E［X，X-1；τ］上的分次扩张.

同时，定理1 和定理2 的逆命题也成立，可得定理3 和定理4.

定理3设S0是V在D=K（X，τ）上的高斯扩张，是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.令Sj∩KX i=Α（i，j）X i.则是V在K［Z（2），σ］上的分次扩张，且

证设是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张. 则对任意的j∈Z，都有，且对∀j1，j2∈Z，都有令则Α（0，0）=S0∩K=V，且对∀（i1，j1），（i2，j2）∈Z（2），都有：

则对∀（i1，j1），（i2，j2）∈Z（2），有

对∀i，j∈Z，0≠a∈K，假设a∉Α（i，j）.则aX i∉Α（i，j）X i=Sj∩KXi，aX i∉Sj. 因为对∀j∈Z，都有Sj∪，所以，

定理4设T0是V在E=K（Y，θ）上的高斯扩张，上的分次扩张.令则是V在K［Z（2），σ］上的分次扩张，且

3 结束语

笔者主要研究K（Z（2），σ）上的高斯扩张的性质. 在此基础上，还可进一步研究K［Z（2），σ］上的分次扩张的分类，K（Z（2），σ）上的高斯扩张限制在K［X（1，0），X（-1，0）；σ（1，0）］商环上的高斯扩张的结构，以及它限制在K［X（0，1），X（0，-1）；σ（0，1）］商环上的高斯扩张的结构.