集合中的创新问题聚焦

■邓建兵

以集合为背景的创新问题,常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,以集合为依托,考查同学们理解问题、解决创新问题的能力。常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托。

聚焦1：集合中的“新定义”问题

例1设集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A且2-x∉A},则B=( )。

A.{1} B.{-2}

C.{-1,-2} D.{-1,0}

解：抓住新定义集合B={-x|x∈A且2-x∉A}的代表元素的属性求解。若x=-1,则2-x=3∉A,此时-x=1满足其属性;若x=0,则2-x=2∈A,此时不符合要求;若x=2,则2-x=0∈A,此时不符合要求。故集合B={1}。应选A。

反思：集合中的新定义问题,要抓住代表元素的属性进行验证,注意集合中元素的确定性与互异性的应用。

例2设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”。给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有____个。

解：依据A的一个“孤立元”的定义求解。对于k∈A,k-1∉A,且k+1∉A,由给定集合S的3个元素构成的所有集合中不含“孤立元”,这三个元素一定是连续的三个自然数。故这样的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}{5,6,7},{6,7,8},即不含“孤立元”的集合共有6个。

反思：理解新定义的最好办法就是特殊化处理和列举法尝试。如题中S={6,7,8}不含孤立元,S={2,3,5}含孤立元5,三个元素构成的集合不含“孤立元”,这三个元素一定是连续的三个自然数。

聚焦2：集合中的“新运算”问题

例3对于集合A,定义一种运算“⊕”,使得集合A中的元素间满足条件:如果存在元素e∈A,使得对任意a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a,则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素。如A=R,运算“⊕”为普通乘法,存在1∈R,使得对任意a∈R,都有1×a=a×1=a,所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素。下面给出两个集合及相应的运算“⊕”:

(1)A=R,运算“⊕”为普通减法。

(2)A={x|x⊆M}(其中M是任意非空集合),运算“⊕”为求两个集合的交集。

其中对运算“⊕”有单位元素的集合为_____。

解：依据给定的运算,验证单位元素的运算满足交换律或举反例说明不成立。

(1)若A=R,运算“⊕”为普通减法,而普通减法不满足交换律,故没有单位元素。

(2)A={x|x⊆M}(其中M是任意非空集合),运算“⊕”为两个集合的交集,故单位元素为集合M。

反思：集合中的新运算问题,按照运算法则逐一进行验证,不成立举出反例,成立说明原因。本题实质就是验证单位元素是否存在且满足交换律的问题。

例4对于集合M,定义函数fM(x)=对于两个集合A,B,定义集合运算AΔB={x|fA(x)·fB(x)=-1},已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合AΔB的结果为____。

解：结合题设中集合元素的运算和分段函数的意义求解。要使fA(x)·fB(x)=-1,必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6,10}∪{1,12}={1,6,10,12},所以AΔB={1,6,10,12}。

反思：本题实质为特殊函数自变量的集合, 由 定 义 函 数fM(x) =,可转化为两个特殊集合的并集运算求解。

聚焦3：创新集合问题

例5设S是实数集R 的非空子集,如果∀a,b∈S,都有a+b∈S,a-b∈S,则称S是一个“和谐集”。下面命题中的假命题是( )。

A.存在有限集S,S是一个“和谐集”

B.对任意无理数a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”

C.若S1≠S2,且S1,S2均是“和谐集”,则S1∩S2≠∅

D.对任意两个“和谐集”S1,S2,若S1≠R,S2≠R,则S1∪S2=R

解：依据“和谐集”的性质对选项逐一验证。对于A,如S={0},显然该集合满足0+0=0∈S,0-0=0∈S,A 正确。对于B,设任意x1∈{x|x=ka,k∈Z},x2∈{x|x=ka,k∈Z},则存在k1∈Z,k2∈Z,使得x1=k1a,x2=k2a,x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka,k∈Z},x1-x2=(k1-k2)a∈{x|x=ka,k∈Z},因此对任意无理数a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”,B 正确。对于C,当S1,S2均是“和谐集”时,若a∈S1,则a-a∈S1,即0∈S1,同理0∈S2,此时S1∩S2≠∅,C正确。对于D,如取S1={0}≠R,S2={x|x=k,k∈Z}≠R,易知集合S1,S2均是“和谐集”,此时S1∪S2≠R,D 不正确。应选D。

反思：创新集合中的新性质问题,关键是应用创新性质和其他相应的数学知识来推理验证,正确结论需推理,不成立只需举反例即可。

例6设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈R,都有a+b、a-b、(除数b≠0),则称P是一个数域。如有理数集Q 是数域,数集b∈Q}也是数域。现有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;④数域必为无限集。其中正确命题的序号是____。

解：根据数域的四个性质逐一进行判断。①若a=b≠0,则a-b=0∈P,=1∈P,所以数域必含有元素0,1,①正确。②1,2∈Z,但∉Z,②错误。③令M=Q∪{π},则1,π∈M,1+π∉M,③错误。④如果a,b在P中,那么a+b,a+2b,…,a+kb(k为整数),…都在P中,且整数有无穷多个,故数域必为无限集,④正确。正确命题的序号为①④。

反思：本题主要考查同学们准确理解和快速掌握新知识的能力。

聚焦4：集合的创新应用问题

例7若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1,②b≠1,③c=2,④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是____。

解：抓住①②③④有且只有一个是正确的,进行合理推理。若①正确,则②③④都不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,①不正确。若②正确,则①③④都不正确,由④不正确得d=4,由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4。若③正确,则①②④都不正确,由④不正确,得d=4,由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4。若④正确,则①②③都不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2。综上所述,符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是6。

反思：解题时,根据题意,在合理的假设下用类似反证法的方法进行逻辑推理与判断。