与二次函数有关的“恒成立”问题的求解策略

■张亮昌

解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等。下面举例分析这类问题的求解策略。

方法一：判别式法

例1已知不等式(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3＞0 对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是____。

①当m2+4m-5=0时,可得m=-5或m=1。

若m=-5,则不等式化为24x+3＞0,这时对任意实数x不可能恒大于0。若m=1,则3＞0恒成立。

综上可知,所求实数m的取值范围是{m|1≤m＜19}。

评注：对于一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)在R 上恒成立,则Δ=b2-4ac＜0;一元二次不等式ax2+bx+c＜0(a＜0)在R 上恒成立,则Δ=b2-4ac＜0。

方法二：分离参数法

例2不等式xy≤ax2+2y2对于1≤x≤2,2≤y≤3恒成立,则实数a的取值范围是_____。

不等式xy≤ax2+2y2对于1≤x≤2,2≤y≤3恒成立,等价于对于1≤x≤2,2≤y≤3恒成立。

令t=y

x,则1≤t≤3,所以a≥t-2t2在1≤t≤3上恒成立。

故实数a的取值范围是{a|a≥-1}。

评 注：若a≥f(x)恒 成 立,则a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)min。

方法三：主参换位法

例3已知函数y=ax2-2ax+8+3a,若对于1≤a≤3,y＜0 恒成立,则实数x的取值范围为____。

已知函数可化为关于a的函数y=ax2-2ax+8+3a=(x2-2x+3)a+8。

由题意知,y＜0对于1≤a≤3恒成立。

评注：在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)。

在R 上定义运算⊗:A⊗B=A(1-B),若不等式(x-a)⊗(x+a)＜4对x∈R 恒成立,则实数a的取值范围为_____。

提示:(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a＜4对x∈R 恒成立,即x2-x-a2+a+4＞0对x∈R 恒成立,所以Δ=4-4(-a2+a+1)=4a2-4a＜0,所以0＜a＜1,即实数a∈(0,1)。