经历“创造”过程，优化数学教学

［摘  要］ 数学学习并不是让学生被动接受知识的过程，而是从学生原有认知经验出发，实现知识主动建构的过程. 弗赖登塔尔倡导的“发现与再创造”对数学教学具有指导意义. 文章认为，经历“创造”过程，优化数学教学的措施有：课题引入，突出创造的必要性；注重探索，探寻创造的途径；完善认知，验证创造的正确性；总结提炼，揭示创造的意义.

［关键词］ 创造；优化；探索；复数

弗赖登塔尔提出：数学家从不按照创造数学的思维历程去讲述工作成效，而是颠倒思维，以结论作为出发点，反推出其他东西［1］. 正因为如此，他着重强调“再创造”为数学学习唯一正确的方法，即学生自主发现或创造出待学习的内容. 如复数就是虚构了一个“i”，创建了一个新的数学体系.

笔者曾参加过一次教研活动，观摩多位教师对于“数系的扩充与复数的概念”的教学，发现不少教师的课堂存在一个共同问题，即学生对概念的理解浮于表面，对概念的原理一知半解，为后期概念的应用埋下了隐患. 因此，笔者紧扣“创造”过程，以“数系的扩充与复数的引入”教学为例，具体谈谈其原理的揭示过程，与同行分享.

课题引入，突出创造的必要性

复数概念背后有什么数学原理呢？从数学发展史来看，能发现一些数学知识是由人类创造的. 因此本节课教学，首先要让学生明白知识“创造”的必要性.

师：大家说说你们心目中的数学是什么.

这个看似随意的问题，似乎和本节课教学没有什么关系. 笔者设计这个问题的主要意图在于拉近师生之间的距离，同时为导入教学主题做好情感铺垫. 有的学生提出数学就是解题，有的学生认为数学是公式、定理的应用，还有的学生认为数学是一种文化……顺着学生的思维，笔者提出自己的观点：数学还是一种“创造”.

情境创设：数学家卡丹提出，把10分成两个数，且这两个数的积恰好为40，求这两个数.

生1：假设把10分成的两个数分别为x，10-x，根据题意有x（10-x）=40，经化简可得一元二次方程x2-10x+40=0，但Δ=-60<0，方程无解.

师：“方程无解”，这种表达准确吗？

生2：不准确，应该表述为“方程无实数解”.

师：但卡丹认为该方程是有解的，解为x=5±，理由是这两个数的和恰好为10，积也恰好为40，与题意完全符合.

生3：二次根号下可以是负数吗？不对吧？

师：x=5±确实符合本题条件. 从刚才的表述来看，方程x2-10x+40=0无实数解，但并非无解，那是不是意味著它存在其他解呢？或者认为在其他数系中有一定意义呢？

将方程x2-10x+40=0的根的表述作为课堂导入情境，意在制造认知冲突，以引发学生思考与探索，为学生更好地接受“虚数”奠定基础. 这种课堂导入方式，不仅让学生明确实数系向外扩充的原因，还让学生感知数学创造的必要性.

注重探索，探寻创造的途径

章建跃先生认为：想要挖掘知识的育人价值，首先需打开知识，将知识原创者的实践过程与思维还原、重演、再现，让学生与知识重新“相遇”，感知知识创造的途径，启发学生进行知识的重组与生成［2］. 数学知识不仅刻画了客观事物的规律与特征，还蕴含了人类主观的思想与情感等.

因此，讲授新课时，教师除了带领学生学习新知外，还要关注知识所凝聚的实践因素，只有将这些因素转化为学生的精神财富，才能让学生从本质上掌握知识的内涵. 想让学生发现本节课教学内容的本质，就要带领学生经历知识的创造过程. 实践证明，从运算中发现问题，从探索中总结规律，可成功转变学生的数学观念，为形成合理的“虚构”奠定基础.

师：如何让有意义呢？

生4：根号里出现负数，不合常理啊！（学生无法接受根号里存在负数的现象）

师：新事物的形成与发展需要经历一个过程，我们要有接纳新事物的胸怀，若有疑问，可以进行探索和研究.

在笔者的启发下，学生开始探索在什么情况下有意义. 纵观整个数系的扩充过程，每次扩充必然伴随着运算的完善. 因此，可以借鉴加、减、乘、除与开方运算在各个数系中成立的情况进行分析. 如表1所示，要求学生自主判断各种运算在各个数系中成立的情况.

由于任意自然数经加或乘运算后，仍然是自然数，但经除、减或开方运算后就不一定是自然数，故只有加和乘运算在自然数集中是成立的；任意整数经加、减、乘运算后依然为整数，而经除与开方运算后就不一定为整数……

师：通过这张表格，你们有什么收获？

生5：由自然数到整数，再从整数到有理数，数系经过两次扩充后，之前无法解决的问题就都解决了，但从有理数扩充到实数，负数的开方运算依然未能解决.

师：由此可见，每次数系的扩充过程都是一次运算的完善过程，但负数的开方运算仍然是个“悬案”，这就说明进一步扩充数系势在必行.

生6：实数集还能如何扩充呢？

笔者带领学生总结历史中数系扩充的方法，让学生感知数系扩充应用了哪些技巧，并要求学生将图1补充完整.

生7：想让有实际意义，就要让有实际意义，要是能开平方就好了.

师：你指哪个数能开平方？

生7：我的意思是要是x2=-1就好了，但实数集中并不存在这样的数.

师：这种想法非常好！既然实数集中不存在这样的数，我们是否可以创造一个数系呢？结合之前数系扩充的原则进行思考，看看有没有什么好办法.

生8：引入一个新的符号或者新的数.

师：非常好！现在我们就虚构一个这样的数为“i”，让i2=-1.

在“以生为本”的基础上，笔者循循善诱引导学生突破原认识的禁锢，鼓励学生向未知挑战，让学生自主考虑“创造”是解决问题的良好方法. 那么，这种“创造”是否科学呢？这需要经过严谨的探索与验证.

完善认知，验证创造的正确性

创造、猜想等是人类主观意识的表现，想要证明其是否科学合理，需要经过严谨的探索与验证. 当然，探索与验证的过程离不开教师的引导与启发.

师：现在我们引入“i”，可表达为i，那么5±就可以表达为5±i，如此就解决了二次根号下存在负数的问题. 大家觉得给含“i”的数取个怎样的名字比较合适呢？

生9：既然是创造出来的数，就称为“虚数”吧.

师：看来这位同学预习过. “i”是imaginary（虚幻、想象的）的首字母，用“虚数”命名再贴切不过了. 现在我们明确“i”为虚数单位，结合数系扩充的规律，是否可以将i和实数进行四则运算呢？请举例.

生10：如4i，3+2i，-i，3-4i.

师：观察生10所举的例子，从结构上看，有什么特点？

生11：每个结构都符合a+bi（a，b∈R）的模式.

师：4i，-i也符合这个模式吗？

生12：符合，当a=0，b=4时，就是4i；当a=0，b=-1时，就是-i.

师：实数2，0的结构也符合a+bi（a，b∈R）吗？

生13：符合，当a=2，b=0时，就是实数2；当a=0，b=0时，就是实数0.

师：也就是说a+bi（a，b∈R）不仅能表示虚数，还能表示实数. 由此可以看出这一类数的集合包含实数集，我们将这一类数统称为复数，用C表示其集合. 从字面来看，复数就是复合的数，现在请大家说说对复数的直观理解.

生14：结构为a+bi（a，b∈R）的数为复数，主要由前后两部分组成.

师：非常好，复数可记作z=a+bi（a，b∈R），a称作实部，b称作虚部.

类比实数的运算法则，笔者带领学生从特殊到一般进行复数概念的提炼，从一定意义上促进学生知识体系的完善，让学生进入探寻事物性质的积极状态. 在以上教学过程中，避免了机械式教学的弊端，让学生从根本上理解了复数的由来与意义.

师：现在你们知道复数分为哪几类呢？

生（齐）：实数和虚数.

师：我们将类似于4i，-i的复数称为纯虚数. 如图2所示，用韦恩图表示实数、虚数、复数之间的关系.

问题1 写出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.

2-3i，5，6+i，0，7i，2i2.

学生解题还算顺利，但对2i2的分类出现了争议，经过交流与探索，最终发现2i2实际上是-2，由此确定2i2是实数. 据此，学生得到了“含有i的数不一定是虚数”的结论.

问题2 复数系中，怎样证明复数z=a+bi（a，b∈R）與复数z=c+di（c，d∈R）是相等的关系？

生15：要确定复数的实部相等，虚部也相等，即a+bi=c+di?（a-c）+（b-d）i=0?a=c，b=d.

随着问题的提出与解决，学生领略到复数概念的内涵与逻辑关系，并在分类中对知识形成了系统认识，在完善认知结构的同时，达到了融会贯通的目的.

总结提炼，揭示创造的意义

创造的形成离不开创新思维的支撑. 创造是逻辑思维与非逻辑思维的结合，也是收敛思维与发散思维的统一，是人脑对客观现实按照一般思维规律认识并创新的过程，因此创造凸显着创新思维的价值. 创造（创新）思维既具有一般思维的深刻性、敏捷性、批判性等，又具备区别于一般思维的独特性. 因此，在创造过程中，应注重对思维的提炼与总结，凸显出创造的价值与对数学发展的意义.

师：本节课我们一起创造了“虚数”，复数开方运算的问题就解决了，同时还认识了一个更大的数系——复数. 通过前面的学习，大家认为虚数纯属虚构吗？

生16：貌似有点“虚”，但从解决实际问题的角度来看，好像又没那么“虚”了.

师：大家都知道，每个实数都能与数轴上的点对应起来，如图3所示，通过数轴我们可以看见，将1绕原点逆时针旋转180°得到-1，也就是1×（-1）=-1. 如图4所示，将1绕原点逆时针旋转90°后再旋转90°得到-1，引入i2=-1，即1×（-1）=1×i×i. 因此，你们有没有发现实数和i的积存在什么几何意义？

生17：可认定其为有向线段的旋转.

笔者所提的这个几何意义在虚数出现前并未被发现，而是随着虚数的创造逐渐被挖掘出来. 其实，科学家创设各种知识时，不一定事先获得真理，真理可能是通过后续不断研究与实践而得到的. 此处，通过揭示复数的几何意义，让学生切身感受虚数的价值与意义，使学生发自内心地理解并接纳复数.

师：本节课给你们带来了什么收获？复数能否继续扩充？

对于这个总结性的问题，学生的回答比较丰富，有学生提出虚数原来并不“虚”，也有学生提出数学原来是创造出来的……在此笔者趁机渗透以下几点重要思想：①数是人类创造出来的；②当遇到无法解决的问题时，可尝试创造出新的数来分析问题；③能否解决问题、有与无等都是相对而言的，数学创造的难点在于如何打破思维定式，只有解决这一难点，才能获得创造力.

至于复数是否可以继续扩充的问题，意在激发学生的数学思维以及学习内驱力. 值得注意的是，课堂小结不仅仅是知识点的总结，更是数学思想方法、情感体验与综合素养的提炼. 尤其是“悬案”的设置，能有效激发学生探究的动力，让学生感知理性思维的重要性与创造的意义.

总之，知识的“发现与再创造”过程，实质上就是架构局部数学体系的过程［3］. 学生亲历知识创造的过程，对知识的实际意义与价值有更深刻的理解，这体现了探究性学习的宗旨.

参考文献：

［1］ 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］ 曹才翰，章建跃. 数学教育心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2006

［3］ 汤慧龙. 关于数学创新性教育的另一种思考［J］. 数学教育学报，2011， 20（03）：17-18.

作者简介：姜璐璐（1989—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.