挖掘内在联系，揭示数学本质

［摘  要］ 文章拓展一道课本习题，引进直线法向量的概念，利用它帮助学生理解直线一般式中系数的几何意义、平行垂直的条件、点到直线的距离公式等解析几何内容，站在向量的角度挖掘这些问题，更能看清问题的本质所在.

［关键词］ 习题；法向量；数学本质

课题提出

本节课安排在学生学习完点到直线的距离公式后. 人教A版必修2推导点到直线的距离公式时，主要采用了以下两种方式：①在代数的视角下，构造方程，求出垂足的坐标，然后利用两点间的距离公式求解；②在几何的视角下，构造直角三角形，利用等面积法处理距离问题. 这两种处理方法计算量较大，然而得到的公式却如此简洁优美. 为了让学生看到公式的本质特征，在解析几何中渗透向量法，为后面学习利用空间向量研究几何问题做铺垫. 笔者从一道课后习题出发，上了一节数学拓展课.

教学过程

环节1：回顾旧知，提出问题

问题1 昨天我们已经用多种方法推导了点到直线的距离公式，你能简单说说这几种方法吗？

生1：代数法，先求垂足的坐标，然后将点到直线的距离转化为两点间的距离.

生2：几何法，利用“降维”思想，将“斜”距离转化为平行于坐标轴的距离来处理.

生3：将点到直线的距离转化为点到直线上的动点距离的最小值，得到了这个公式.

笔者向学生展示生3的推导过程，大家都佩服不已.

师：前面的几种推导方法运算量都比较大，也不能很好地反映公式的本质特征，有没有更简单的方法来推导这个公式呢？今天这节课我将和大家一起来探究这个优美公式背后的数学本质，我们先一起来回顾一道课本习题.

设计意图 学生尽管已经掌握了公式的推导方法，但是公式推导过程的复杂与公式结构的简洁形成了鲜明的对比，能否优化推导过程或者有没有更好的方法来推导这个公式是大家需要考虑的问题. 本问题的设计旨在激发学生的好奇心，引导学生继续探究点到直线的距离公式的本质.

环节2：习题拓展，引入新概念

问题2 人教A版必修2介绍完直线方程的五种形式后，在第107页的B组题中安排了这样一道题：设点P（x，y）在直线Ax+By+C=0上，求证这条直线的方程可以写成A（x-x）+B（y-y）=0.

师：大家回顾一下当时你是如何证明的.

生4：设P（x，y）为直线Ax+By+C=0上的任意一点，则Ax+By+C=0. 又点P（x，y）也在直线Ax+By+C=0上，所以Ax+By+C=0. 两式相减就能得到这个结论.

师：很好，其实我们做完题后，还可以思考以下问题.

问题3 直线写成“A（x-x）+B（y-y）=0”这种形式，它有什么作用？或者说由这个结构特征，你想到了什么？

生5：这个结构很像向量垂直的条件，即xx+yy=0.

师：不错，能不能说得具体一点？

生5：记n=（A，B），=（x-x，y-y），实际上，可以看成直线的一个方向向量，向量n可以看成与直线的方向向量垂直的一个向量.

师：如图1所示，画出图来看一下，我们把与直线的方向向量垂直的向量n=（A，B）叫做直线的法向量，后面学习空间向量的时候也会学到这个概念.同学们继续思考下面的问题.

设计意图 解析几何利用代数法来研究几何问题，而许多代数式的结构也隐藏着几何的影子，利用几何图形能帮助学生直观理解代数问题. 问题2这道课本习题显现的是向量相互垂直的一个代数结构，实质是直线的另一种表示——“一个点和一个与直线方向向量垂直的向量”. 笔者借此题引入法向量，引导学生利用向量来研究解析几何问题.

环节3：概念应用，再看直线的一般式方程

问题4 你们认为还可以如何确定一条直线？

生6：给定直线上的一个点和这条直线的一个法向量.

师：给定直线上的一个点P0（x，y）和这条直线的一个法向量n=（A，B），那么该直线上的任意一点P（x，y）都满足⊥n，即满足关系式A（x-x）+B（y-y）=0，这是从向量的角度来理解直线的一般式方程.

问题5 请说说直线一般式方程Ax+By+C=0中的系数的几何意义.

生7：n=（A，B）表示直線Ax+By+C=0的一个法向量，而C=-Ax-By.

师：这样一来，直线的一般式方程中系数的几何意义我们都知道了. 下面我们继续看一道习题.

问题6 （人教A版必修2第107页B组第4题）已知直线l，l的方程分别是l：Ax+By+C=0（A，B不同时为零），l：Ax+By+C=0（A，B不同时为零），且AA+BB=0，求证l⊥l.

师：同学们能用直线的法向量来求证吗？

生8：由AA+BB=0可知两条直线的法向量相互垂直，从而证明两条直线相互垂直.

追问：如果两条直线平行或者重合时，A，B，A，B应该满足什么条件？

生8：如果两条直线平行或者重合，那么它们的法向量共线，即AB=AB.

设计意图 课本在章小节的“回顾与思考”中，让学生指出直线的点斜式、两点式、斜截式、截距式方程中系数的几何意义，没有提及直线的一般式方程中系数的几何意义，因此笔者通过拓展课本习题，引入直线的法向量，这不仅能够解答学生心中的疑惑——“直线的一般式方程中系数的几何意义是什么”，还能让学生真正理解直线垂直与平行条件的本质所在.

环节4：概念应用，再探点到直线的距离公式

问题7 已知点P（x，y）和直线l：Ax+By+C=0，我们已经得到了点P0到直线l的距离公式为d=. 你能从向量的角度来认识这个公式吗？

师：我们可以观察公式的结构特征，思考其背后的知识，如我们知道向量a=（x，y）与向量b=（x2，y2）垂直的条件是xx+yy=0，你能从与Ax+By+C中分别想到哪些知识？

师：由于直线上的任意一点P（x，y）满足Ax+By+C=0，所以C=-Ax-By，这样Ax+By+C就可以写成Ax+By-Ax-By=A（x-x）+B（y-y）的形式，请同学们继续思考.

生10：式子A（x-x）+B（y-y）可以看成两个向量的数量积.

师：哪两个向量？

生10：向量=（x-x，y-y）与法向量n=（A，B），因为·n=A（x-x）+B（y-y）.

师：通过问题7的探究，我们可以将点到直线的距离公式写成向量的形式，即d==（其中P为直线上的任意一点）.

问题8 回顾向量的相关知识，请解释d=的几何意义.

由于向量是高一上学期学习的内容，学生对向量投影的概念忘记得差不多了，这里笔者和学生一起解答.

的几何意义是向量在直线法向量n上的投影的绝对值. 故以向量的角度来看，点到直线的距离d可以理解为直线上任意一点P（x，y）和点P（x，y）构成的向量在直线法向量n=（A，B）上的投影的绝对值，这也是点到直线距离的本质特征所在. 后面我们学习空间向量时，也是这样处理点到面的距离的.

当这节课上到这里，学生看到点到直线的距离公式可用向量表示时，都赞叹不已.

问题9 你能根据以上分析，用向量来证明点到直线的距离公式吗？

笔者巡视5分钟后，发现很多学生的答案都不完整，所以自己展示证明过程，让学生核对.

师：已知直线l：Ax+By+C=0的一个法向量为n=（A，B），P（x，y），在直线l上任意取一点P（x，y），向量=（x-x，y-y），则点P到直线l的距离为d===. 又C=-Ax-By，所以d=.

师：同学们，简洁是智慧的灵魂，对比上节课我们推导点到直线的距离公式的方法，用向量法是不是显得更加简洁，更具形象直观，更能反映公式的本质，彰显我们的数学智慧？这里向量法不仅帮助我们证明了点到直线的距离公式，而且还是我们后面研究空间距离的重要方法.

问题10 对比点到直线的距离公式的各种推导方法，你认为它们各自蕴含着哪些数学思想？

（学生讨论后回答）

生11：交点法利用了转化与化归思想，将点到直线的距离转化为两点间的距离；等面积法利用的是“降维”思想，将“斜”距离转化为“水平”距离，然后通过等面积来处理；最小值法利用的是函数思想，将点到线的距离转化为点到直线上动点的距离的最小值；向量法利用了数形结合思想，将“距离”理解为“投影”来研究.

师：四种推导方法各自蕴含着几种不同的数学思想，分别带领我们从不同的角度认识了“距离”的本质，理解了知识间的内在联系.

设计意图 利用向量法来研究点到直线的距离公式，不仅能让学生看清楚公式的本质，还能让学生初步体会用向量处理一些解析几何问题时所表现出来的优越性.

课堂小结 回顾本节课，我们研究了哪些问题？我们是如何展开研究的？

生12：我们学习了直线的法向量，通过法向量研究了直线方程Ax+By+C=0中系数的几何意义，以及两直线平行与垂直的条件，更精彩的是利用向量推导出了点到直线的距离公式.

师：说得很好. 这节课我们从一道课本习题出发进行了拓展研究，引进了直线的法向量这个“神器”，它不但帮助我们更深刻地理解了直线的一般式方程以及其平行和垂直的条件，还让我们进一步认识到了点到直线的距离公式的本质.

课后反思

1. 拓展、延伸是研究数学问题、揭示数学本质的常用手段

因为向量具有几何和代数的双重属性，所以很多解析几何问题都能引用向量来解决. 尽管教材没有介绍利用向量研究直线问题的方法，笔者思考可能是由于教材内容安排顺序所导致的，因为在人教A版必修4第121页的复习参考题中出现了利用向量研究直线的问题. 本节课中，笔者尝试拓展课本习题，引进了直线法向量的概念，不仅完善了直线五种形式中系数的几何意义，加深了学生对直线一般式方程下“垂直”与“平行”条件的本质理解，而且引导学生从向量观点来理解和推导点到直线的距离公式，方法更加简洁，也更能反映公式的本质特征. 同时，本节课内容也为后续利用空间向量研究空间距离和空间角做好了铺垫.

2. 源于课本，对教材实施“再开发”

课本是一科之本，它是学生获取数学知识的主要来源，也是数学教师施教的根本所在. 然而在目前的课堂教学中，很多教师脱离课本的现象普遍存在，认为“教材太简单，不足以应付高考”，崇尚各种教辅资料，殊不知教材中的例题是经过专家反復打磨的，习题是精挑细选出来的，它们的育人价值是很多粗制滥造的教辅资料无法替代的. 当然，如果我们只是照本宣科，不去深刻研讨教材，挖掘知识间的内在联系，那么这些例题和习题离真正的高考题还有一些差距. 因此，在教学中，需要教师认真研究教材中的例题和习题，创造性地使用它们，才能很好地帮助学生理解数学的本质.

作者简介：蔡斌（1984—），硕士研究生，中学一级教师，佛山市顺德区高中数学兼职教研员，从事高中数学教学工作.