基于“意义建构”理论的数学思维的引导研究

［摘  要］ 思维贯穿数学教学整个过程，不论是教师的思维，还是学生的思维，对课堂的“意义建构”都有着至关重要的影响. 文章以“基本不等式”的教学为例，具体从“情境创设，诱发思维”“问题驱动，激活思维”“实际应用，提升思维”三方面，谈一谈基于“意义建构”的数学课堂思维的引导措施.

［关键词］ 意义建构；思维；情境；应用

布伦达·德尔文（Brenda Dervin）在1972年提出“意义建构”理论，认为知识由学习者主观建构而成. 该理论是在皮亚杰“认知发展”理论的基础上，经过實践与研究而来的，其中“同化”与“顺应”为认知发展的主要过程，学习者的内部行为与外部行为的共同作用促进了意义建构. 如何在课堂中引导学生充分暴露思维过程，有效促进意义建构呢？本文以“基本不等式”的教学为例展开分析，与同行交流.

情境创设，诱发思维

数学是思维的体操. 想要诱发学生的数学思维，教师就要站在学生的立场上，通过合适的情境激发学生的热情，调动学生思维的积极性，让学生主动参与到知识的建构中来. 丰富的教学情境，能诱发学生的多向思维，促使学生从不同角度客观认识知识. 在教学实践中，良好的情境常能带给学生较好的情感体验，促进学生进行思考与探究，帮助学生更好地把握数学本质.

初学基本不等式，学生的思维仍停留在“式子”“大于”“小于”等基本知识层面，想让学生立即认识到基本不等式是一种新的知识模式，确实存在一定的难度. 为此，教师需要研究学生的思维起点与思维习惯，通过丰富的情境让学生感知基本不等式与之前接触的方程、函数等的区别. 引导学生发现这是一种新的数学现象，主要研究的是两个变量所组成的代数式间的不等关系.

“两个变量”“两个代数式”“一个恒成立的不等关系”是基本不等式的特点，但学生对此是陌生的. 想要帮助学生突破思维定式的影响，需要创设丰富的情境，在耐心等待中诱发学生的多向思维，促使学生多方位建构新知.

情境1 如图1所示，此为2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会标，该图案是根据赵爽弦图设计的，透过明暗色彩不难看出这是一个风车图案. 大家能从这幅精美的图案中探寻出一些相等或不等的关系吗？

学生分组合作学习，每组派一名代表汇报探究结果. 为了充分暴露学生的思维过程，促进学生进行知识意义建构，笔者开始点拨如下.

师：图2为会标的简图，大家从中发现了哪些熟悉的几何图形？

生1：分别有大正方形ABCD、小正方形EFGH以及四个全等的直角三角形.

师：很好！既然我们发现了这些图形，能否从这些图形的面积着手，探寻出其中存在哪些相等与不等的关系呢？

生2：从图中发现，大正方形ABCD的面积S=a2+b2，小正方形EFGH的面积S=（a-b）2，四个全等的直角三角形的面积和S=2ab，其中S>S，也就是a2+b2>2ab.

生3：若a=b，可将直角三角形理解成等腰直角三角形，小正方形EFGH缩成一个点，此时S=S. 因此，S≥S，不等关系应是a2+b2≥2ab.

将数学史作为情境素材，不仅能起到激发学生兴趣、渗透数学文化的作用，还能发展学生的人文素养. 通过适时点拨，引导学生自主从背景丰富的图案中探寻出面积间的数量关系，并抽象出不等关系. 该情境，成功地帮助学生从几何与代数的角度认识到了不等式.

情境2 如图3所示，已知半圆的直径为AB，点C位于圆周上，且CH⊥AB，H为垂足. 若AH=a，BH=b，为算术平均值，为几何平均值.

师：说一说图中的哪些线段可以代表a，b的算术平均值？

生4：线段AO，OB，OC都可以，它们都是圆的半径.

师：很好，那么图中哪些线段为a，b的几何平均值呢？

生5：结合射影定理，不难发现CH==.

师：若想比较它们的大小，该如何处理呢？

生6：可过点O作AB的垂线，与半圆相交于点E，OE为半径. 观察图形发现，半弦CH不大于半径OE，即CH≤OE，所以≤，当且仅当点H与圆心O重合，也就是a=b时，半弦和半径为相等的关系，此时可取等号.

师：很好！有其他意见吗？

生7：若从Rt△CHO着手分析，或许更直观也更容易理解CH≤OC.

师：非常好！从“几何意义”的角度出发，咱们又获得了一个不等式≥，这个不等式中的a，b的取值范围有什么规律吗？

生8：有，a>0且b>0.

生9：不对，应该是a≥0，b≥0. 若a，b均为负数或一正一负，则该不等式不成立.

师：非常好！但咱们现在只研究该不等式成立的条件a>0，b>0.

该情境从学生熟悉的几何图形出发，让学生从图形中自主探索出基本不等式. 这种方式不仅锻炼了学生的观察能力与思考能力，还让学生切身体会到数形结合思想在数学学习中的应用，同时深化了学生对基本不等式的认识，为接下来的教学奠定了基础.

利用赵爽弦图引出不等式，借助几何图形让学生自主抽象出不等式，学生在两个情境的启发下，不仅发展了数形结合思想，还初步获得了用几何法证明不等式的能力.

问题驱动，激活思维

问题是数学的心脏. 在教学中，不断涌现的问题体现了数学的生命力. 问题分为外显的知识性问题与内隐的经验生成性问题. 外显的知识性问题是单纯的教学知识问题化，而内隐的经验生成性问题则是数学问题意义化、形式化. 一般情况下，问题能将知识间的逻辑关系暴露出来，让学生的思维沿着问题的深化螺旋式上升.

实践证明，在数学概念、规律等的教学中，教师不能满足于演绎问题或形式地呈现问题，而应将数学本质展露出来，让学生在问题的驱动下提出更好的新问题. 同时，课堂问题应具备启发性、探索性、开放性与推广性等特征，遵循“少而精”的原则，如此才能让学生拥有充足的时间进行分析与思考.

师：通过刚才对两个情境的分析，大家经历了不等式形成的过程，其实该过程实则为不等式的证明方法. 大家还有其他证明方法吗？

生10：-==（-）2≥0，即≥，当且仅当a=b时取等号.

师：很好，这就是证明基本不等式的方法之一——作差法. 还有其他方法吗？

生11：根据a>0，b>0的条件，要证明≥，即证明a+b≥2，也就是证明a+b-2≥0，即证明（-）2≥0. 我们知道（-）2≥0恒成立，所以≥成立.

师：非常好！这种方法以结论为起点，通过推导到已知条件而完成证明，这也是证明基本不等式的方法之一——分析法. 值得注意的是，书写“要证明”“即证明”“?”等文字或符号时，要保证每一个步骤都具有可逆性.

生12：能否将生11的证明方法反过来？如对正数a，b，因为（-）2≥0，所以a+b-2≥0，即a+b≥2，因此≥.

师：这也是基本不等式的证明方法的一种——综合法. 即以已知条件或结论为出发点，通过“由因索果”的方法获得结论. 还有其他方法吗？

生13：因为a2+b2≥2ab，所以a2+2ab+b2≥4ab，也就是（a+b）2≥4ab. 由于a>0，b>0，因此可将（a+b）2≥4ab的两侧同时开方，得a+b≥2，也就是≥，当且仅当a=b时取等号.

师：这里应用到了“当且仅当”这个说法，为什么会这么说？

生14：为了表示两者相等的关系，“当且仅当”可从以下两个方面进行理解. 一方面，当a=b时取等号，也就是a=b?=；另一方面，仅当a=b时取等号，也就是=?a=b.

师：对于“≥（a>0，b>0），当且仅当a=b时取等号”，大家是怎么理解的？

生15：可以理解为两个正数的和与积之间的不等关系.

生16：可以理解为两个正数的几何平均数必然不大于它们的算术平均数.

生17：还可以从数列的角度来理解，即将视为正数a，b的等差中项，将视为正数a，b的等比中项，则基本不等式可作如下描述：两个正数的等差中项必然不小于它们的等比中项.

师：非常好！大家从不同角度对基本不等式进行了理解与总结，今后若遇到涉及两个正数的和与积的问题，可尝试从基本不等式的角度来分析问题、解决问题.

“还有其他证明方法吗？”这是一个开放性问题，为学生思考提供了充裕的空间. 在此环节中，通过言简意赅的问题的驱动与提炼，让学生自主探索出几种常用于证明基本不等式的方法（作差法、分析法、综合法）. 每一种方法都由学生自主领略而来，让学生从真正意义上实现了基本不等式的意义建构，也充分揭示了知识的本质.

其中，生11的逆向思维令笔者惊叹，该生能自主转化思维方式，出其不意地从结论出发，为证明带来新的突破. 由此可见，只要给予学生充足的时间与空间，学生就能给我们带来惊喜. “执果索因”的方法，不仅给所有学生都带来了启示，还从一定意义上突破了学生原有的认知. 同时，笔者规范了书写要求，为培养学生严谨的学习习惯奠定了基础.

实际应用，提升思维

数学结论为实际应用服务，数学学习重在辨别、模仿与创新. 基本不等式的几种证明方法，不仅开阔了学生的视野，还为接下来的实际应用夯实了知识基础.

例题：若a，b均为正数，求证（1）+≥2；（2）a+≥2.

生18：（1）+=，因为（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab. 又a>0，b>0，所以≥2，也就是+≥2.

（2）a+=，因为（a-1）2≥0，所以a2+1≥2a. 又a>0，所以≥2，也就是a+≥2.

师（未置可否）：有没有其他解题方法？

生19：（1）a2+b2≥2ab，因为a>0，b>0，所以≥2，也就是+≥2.

（2）a+-2=，因为a>0，所以≥0，也就是a+-2≥0，所以a+≥2.

师：还有其他意见吗？

生20：若直接用基本不等式证明更简单.

（1）因为a>0，b>0，所以+≥2=2，当且仅当=，也就是a=b时取等号.

（2）由于a>0，故a+≥2=2，当且仅当a=，也就是a=1时取等号.

三位学生分别从综合法、重要不等式与基本不等式三个角度来分析并解决问题. 虽然用基本不等式解决此题更简洁，但由于是新知，因此学生应用时并不十分流畅. 为了增加学生的熟练度，笔者应用变式题诱导学生思考，增强学生的应用意识.

变式题：求函数f（x）=+x的值域.

生21：f（x）=+x≥2=2，当且仅当x=，也就是x=1时取等号，因此函数f（x）=+x的值域是［2，+∞）.

生22：不對，题设条件并没有明确指出x>0，我们应该将x<0的情况考虑进去.

师：非常好！考虑得很周全，也就是说要对x进行分类讨论，谁来说说x<0时该怎么处理呢？

生23：当x<0时，则-x>0，-f（x）=-x≥2=2，因此f（x）≤ -2，当且仅当-x=-，也就是x=-1时取等号. 综上分析，函数f（x）=+x的值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）.

生24：函数f（x）=+x属于对勾函数，通过作图，结合函数的单调性，也可获得该函数的值域.

变式题的应用不仅深化了学生对基本不等式的理解，还强化了学生对“一正二定三相等”的认识，将基本不等式和函数最值问题联系起来，从真正意义上实现了知识建构.

苏霍姆林斯基认为，每个人都希望自己是一个发现者、研究者、探索者. 学生对知识的探索欲与生俱来，关键是教师如何利用好学生的这种心理. 涂荣豹先生认为，在教学中，教师要注重启发式的提问，尽可能多采用一些元认知问题，少采用一些认知性问题，让学生在开放性的状态下应用所学知识解决实际问题，以强化学生对知识的应用能力.

总之，情境创设、问题驱动与实际应用是引导学生充分暴露思维过程，促进知识意义建构的重要途径. 作为教师，应想尽一切办法了解学生的思维，提炼学生的思维，尤其将数学思想方法巧妙地融入教学的各个环节，让学生自主感悟、体会知识的意义建构，从真正意义上发展学生的数学学科核心素养.

作者简介：蒯龙（1981—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.