单相中频逆变器中的双分数阶重复控制策略

王晓雷，张 臣，郭飞亚

（中原工学院电子信息学院，郑州 450007）

0 引言

随着航空技术的飞速发展，航空领域对交流电源供电系统输出的电压、电流频率的要求也越来越高。并且由于航空领域的特殊性，需要在保证交流电源能输出高频的前提下具有更高的精确度和稳定性，使输出的电能质量更高。360～800 Hz 变频逆变电源可以应用于航空领域，满足航空领域对交流电源的高频需求，但是传统的变频逆变器存在控制精度不高，输出电压波形畸变等问题，导致输出的电能质量较差。因此在不考虑变频逆变器拓扑情况下，变频逆变器的控制策略研究引起了广泛关注。

在变频逆变器的控制策略中，最常用的有PI 控制、PR 控制、重复控制（RC）以及复合控制等控制方式。其中PI 控制应用最为广泛，因为其设计简单，参数易整定[1]，但是PI 控制很难高精度地控制交流量，同时在带整流性负载时，输出电压的稳态误差较大[2]。因此，有学者提出采用PR控制，设计多个谐振点去抑制输出电压波形发生畸变[3-4]，但是这种控制方案仅对于频率小范围变化的逆变器有效，而对于可大范围调频的变频逆变器控制效果较差[5]。基于内模原理的RC 能对输入信号实现无静差跟踪[6-7]，但是RC 对于变频逆变器参考频率大范围变化时，控制器则难以跟踪输入信号，存在较大静差。复合控制集合了多种控制方式的优点，但是其控制系统结构复杂，参数计算困难，增加了设计难度，不利于实际应用。

本文将双分数阶重复控制的控制策略应用到360～800 Hz单相变频逆变器中，设计了分数延迟FIR 滤波器，分数相位补偿，简化了控制器的参数计算，保证了控制器对输入信号的精确跟踪，以及相位补偿的精度。提高了系统的稳态性能[8]，对逆变器的输出波形质量有了显著的改善，最后通过仿真实验证明方案的可行性。

1 系统数学模型

单相中频逆变器模型如图1 所示，图中udc为直流母线电压；VT1～VT4 为逆变器开关管；ui为桥臂侧电压；iL为电感电流；R为电路等效电阻；L为滤波电感；ic为电容电流；C为滤波电容；io为输出电流；uo为输出电压；uref为参考电压。

图1 单相中频逆变器模型

由此可得单相中频逆变器的数学模型为：

式中：d(t)为占空比。

忽略系统的采样延时，根据系统的数学模型，变换后可得被控对象的传递函数为：

2 分数延迟FIR滤波器设计

传统的重复控制器对频率变化非常敏感，即便是很小的频率变化，也会使得传统重复控制器性能下降，抑制谐波能力不足，导致逆变器输出波形质量变差。分数阶延迟的思想，就是通过对重复控制器内膜的改造，可以得到任意数值的N，使重复控制器对参考频率变化具有很强的适应性。

本文方案就是基于有限冲击响应（FIR）滤波器[9-11]的分数延迟近似方法。当周期采样数N不为整数时，可以令：

式中：int(N)为整数部分；D为分数部分。

则可以得到：

z-D可以使用拉格朗日线性插值法[12]进行计算，计算公式如式（5）所示。

式中：h(n)是滤波器的系数；M是滤波器的阶数；M的取值一般为D的2倍。

在做分数延迟时，D的取值范围是1～2，所以，取M= 3，表1列出了z-1.1～z-1.9的系数。

表1 M=3时z-1.1～z-1.9的系数

以实际参数为例，当载波频率fs= 40 kHz，输出频率为f= 600 Hz，此时N≈66.7，则有z-66.7=z-65·z-1.7，由表1可得：

3 分数阶重复控制器设计

重复控制的基本原理就是内模原理[13]，内模原理的意义就是将输入信号放在一个稳定的闭环系统中，当不存在输入信号时控制器也能稳定的输出信号，保证输入信号能被输出信号精确地跟踪。

重复控制能将上一周期的误差信号与本周期的误差信号一起施加到被控对象上，重复利用误差信号达到重复控制的效果，从而提高控制器的跟踪精度。传统的重复控制内膜的传递函数为：

离散后的重复控制内膜为：

式中：N=fs/f，N为每个周期采样数，fs为载波频率，f为输出频率；z-N为基波周期延迟环节，作用是将控制器的输出延迟一个基波环节；Q(z)一般为低通滤波器或是一个小于1的常数[14]，用来削弱误差信号累加造成的影响。

本文采用了一种基于有限脉冲响应的分数阶重复控制的控制方案，其控制系统框图如图2所示。

图2 分数阶重复控制系统框图

图中补偿环节C(z) =krzkS1(z)S2(z)，比例项kr为幅值增益，可以用来控制加入补偿量的强度。增大kr，系统的响应速度会变快，但是系统的稳定性会变差。zk为相位补偿环节（k＞0），用来补偿由控制对象P(z)和低通滤波器S2(z)引起的系统相位滞后，使得zkS2(z)P(z)在中低频段没有相移。S1(z)为零相移陷波器，能将被控对象的中低频段的增益校正为1，并抵消被控对象的谐振尖峰。S2(z)为低通滤波器，能增强前向通道的高频衰减特性，提高系统稳定性和高频抗干扰能力。

3.1 Q（z）的设计

Q（z）可以削弱控制器误差信号累加造成的影响，是控制系统实现无静差跟踪和维持稳定性的重要参数。Q（z）一般设计为低通滤波器或是一个接近1，且小于1的常数。当Q（z）取常数为1 的时候，能实现无静差跟踪，减小Q（z）会破坏无静差特性，控制系统稳定性降低，但是谐波抑制能力会增强。

对比Q（z）取常数的方法，当Q（z）为低通滤波器时，控制系统的稳定性会提高，但是在中高频段谐波抑制能力会下降。为提高控制系统的稳态性能，经过综合分析，选取Q（z）为低通滤波器Q(z) =(z+ 2 +z-1)/4。

3.2 补偿环节S1(z)、S2(z)的设计

为实现系统的零相位补偿，补偿器C（z）最好为控制对象P（z）的倒数。然而现实中往往无法获得精确的P（z）模型。此外，逆模型可能具有单位圆以外的极点，导致系统不稳定。最常用的方法就是根据P（z）的结构特点和频率特性，通过设计相应的陷波器S1(z)、低通滤波器S2(z)、相位超前环节zk去补偿P（z）。如图3 所示，在未补偿的情况下，可以看出P（z）的幅频特性曲线存在谐振峰。本文设计了一种零相移陷波器来抑制谐振峰，零相移陷波器基本公式如式（10）所示。

图3 P（z）补偿前后的幅频特性曲线

式中：m为滤波器的阶数。

式（10）可以写为：

根据陷波器的设计准则，第一个陷波点是中频范围内的谐振点。设S1(θ) = 0，则可以得到：

而ω= 2πfr，已知LC的谐振频率为fr= 9 980 Hz，采样时间Ts= 1/fs，载波频率fs= 40 kHz，可得m≈2，因此陷波器的设计为：

从图3 中可以看出，加入陷波器后只能在陷波点产生显著衰减。为了在高频范围内实现明显的衰减，本文设计一个截止频率为8 kHz四阶巴特沃斯低通滤波器[15]来增强高频抑制能力，滤波器的传递函数为：

系统加入陷波器和低通滤波器补偿之后的伯德图如图3 所示，不仅消除了谐振峰，更是增强了前向通道的高频衰减特性，提高了系统的高频抗干扰能力。

3.3 分数相位超前FIR滤波器设计

采用整数阶相位补偿，k分别取值2、3、4 时，zk对S1(z)S2(z)P(z)相位补偿如图4所示。由图可以看出当k=4 时，随着频率的增大，zk对S1(z)S2(z)P(z)的相位补偿明显超过了其所需要的，达不到零相移的目的。而当k=3 时，随着频率的增大，补偿效果又略显不足。可见，整数阶相位补偿不能解决使系统零相移的问题，本文采用了一种分数相位超前的设计方案。

图4 整数阶相位补偿相频特性曲线

设计方法与上述分数延迟FIR 滤波器设计方法相同，k的取值范围为3～4 之间，取M= 7，然后求出z3.1～z3.9的表达式。以k= 3.4 为例，z3.4可以表示为z3.4=z5·z-1.6，由表1可得

则z3.4可以表示为：

根据所求出的z3.1～z3.9，采用分数阶相位补偿，补偿效果如图5 所示。从图中可以看出当k=3.4 时，zk对S1(z)S2(z)P(z)相位补偿效果最好。

图5 分数阶相位补偿相频特性曲线

4 实验结果分析

为了验证双分数阶重复控制在360～800 Hz变频逆变器应用中的可行性和有效性，在MATLAB/Simulink中搭建了单相中频逆变器的仿真模型。单相中频逆变器模型相关参数如表2所示，实验以360、600、800 Hz三个参考频率为例。

表2 单相中频逆变器参数

4.1 逆变器频率为360 Hz

当逆变器带整流性负载时，此时，N=111.1，传统RC 和双分数阶RC 的误差收敛如图6 所示，传统RC 下输出电压误差15 V 明显大于双分数阶RC 的10 V 误差，显然双分数阶RC控制系统的稳态性能更好。

图6 输出电压误差收敛

两种控制系统下的稳态响应如图7～8 所示。对比图7（b）和图8（b），传统RC 和双分数阶RC 输出电压的THD 分别为2.09%和1.63%，电压波形未出现明显畸变，且双分数阶RC 输出电压的THD 更低，可见双分数阶RC控制系统的谐波抑制能力更强。

图8 双分数阶RC下的稳态响应

4.2 逆变器频率为600 Hz

逆变器带整流性负载时，此时，N=66.7，传统RC和双分数阶RC 的误差收敛如图9 所示，传统RC 下输出电压误差为30 V，而双分数阶RC 下的误差小于20 V，显然双分数阶RC系统的稳态性能更好。

图9 输出电压误差收敛

两种控制系统下的稳态响应如图10～11 所示。对比图10（b）和图11（b），传统RC 和双分数阶RC 输出电压的THD 分别为3.34%和2.40%，电压波形未出现明显畸变，且双分数阶RC 输出电压的THD 更低，可见双分数阶RC控制系统的谐波抑制能力更强。

图10 RC下的稳态响应

图11 双分数阶RC下的稳态响应

4.3 逆变器频率为800 Hz

当逆变器带整流性负载时，此时，N=50，传统RC和双分数阶RC 的误差收敛如图12所示，传统RC 下输出电压误差大于20 V，而双分数阶RC 下的误差为15 V 左右，显然双分数阶RC控制系统的稳态性能更好。

图12 输出电压误差收敛

两种控制系统下的稳态响应如图13～14 所示。对比图13（b）和图14（b），传统RC 和双分数阶RC 输出电压的THD 分别为3.54%和2.82%，电压波形未出现明显畸变，且双分数阶RC 输出电压的THD 更低，可见双分数阶RC控制系统的谐波抑制能力更强。

图13 RC下的稳态响应

图14 双分数阶RC下的稳态响应

5 结束语

本文针对360～800 Hz 单相变频逆变器系统调频时，系统参考频率变化使得采样频率与输出频率比值可能不为整数，从而导致变频逆变器输出稳态误差较大，输出电压波形质量较差的问题。提出了一种双分数阶重复控制的控制策略，采用了分数延迟和分数相位超前，分别设计了分数延迟FIR 滤波器和分数相位超前FIR 滤波器，提高了系统的控制精度，给出了控制器的设计思路，以及参数计算方式。并通过仿真实验验证，在带整流性负载时，与重复控制系统相比，双分数阶重复控制系统输出稳态误差更小，输出电压波形质量更好。