自由曲面仿真实验的教学方法研讨

2023-12-11杨华军邬劭轶胡力中

实验室研究与探索 2023年9期

江萍，杨华军，邬劭轶，胡力中

（电子科技大学物理学院，成都 611731）

0 引言

光学实验是理工类高校学生专业核心课程的重要组成部分，传统教学缺乏理论建模、编程实践和科研促教环节，导致学生编程仿真能力和挑战性创新探索能力不足［1-4］。本文将可视化仿真实验与挑战性考研训练用于“光通信前沿实验”本科生挑战课程和“光学系统设计”研究生小班研讨课中，将自由曲面仿真实验进行编程实践教学，将抽象、复杂的理论模型和繁琐的计算过程通过案例的形式，生动、形象地表现出来。

1 仿真实验设计思路

自由曲面光学系统因其自由度高、结构简单、传输效率高、可同时实现波前和辐照度控制等诸多优点，具有广泛的应用价值，是当前光学设计、光通信、数控技术等领域的科技前沿和重要研究对象［5-8］。自由曲面理论抽象、结构复杂、编程设计过程烦琐，学生理解困难。自由曲面由于加工困难，在科学研究中通常采用仿真实验的形式开展，在“光通信前沿实验”和“光学系统设计”等课程中，将自由曲面仿真实验作为科研促教的重要案例进行了编程实践教学，仿真实验设计思路如图1 所示，仿真实验内容由简单到复杂，难度由低到高，系统由旋转对称的二维结构到非旋转对称的三维结构，既包括折射式自由曲面又包括反射式自由曲面系统仿真实验。其中案例1、2 为基础仿真实验，用于本科生的课堂仿真训练；案例3、4 为创新探索环节，以课程论文的形式进行考核，用于研究生的课堂仿真训练和编程能力较强的本科生挑战性创新实践。自由曲面仿真设计流程图如图2 所示，入射光线矢量A1和出射光线矢量A2满足矢量折反射定律［9］。

图1 自由曲面仿真实验设计思路

图2 自由曲面仿真设计流程图

式中：n1和n2分别为入射光线和出射光线所在空间折射率；对于折射系统Γ ＝n2N·A2-n1N·A1，反射系统Γ ＝-2n1（N·A1）；N为曲面法线单位矢量。

以二维系统为例，基于能量守恒定律，根据等光通量映射关系确定入射面S0和目标面Sm内的网络节点坐标，选取每个自由曲面上的中心点或边缘点P1作为起点，根据矢量折反射定律计算第n个曲面Sn上第i个取样点的法向量Nn，i，再计算第i＋1 根光线与切线Tn，i的交点坐标，采样点数目N足够大，迭代得到的点阵构成自由曲线，再绕光轴旋转360°得到所求的自由曲面。

2 仿真实验案例解析

2.1 旋转对称折射式自由曲面

案例1 对旋转对称自由曲面折射面进行仿真，实现将点光源发出的发散光束准直为平行光束。

由于是旋转对称系统，自由曲面可以通过将xOy平面内求得的二维曲线S1绕光轴y轴旋转360°得到，如图3（a）所示。对于单折射面，第i条入射光线A1，i与S1交点Pi的坐标为（x1，i，y1，i），折射光线与光轴平行，即A2，i＝［0，1］，与目标平面S2交点Mi的坐标为（x2，i，y2，i），假设S1与S2边缘点P1和M1的纵坐标分别为y1，1＝h和y2，1＝L，以P1和M1为起点利用矢量折射定律（式（1））求出Pi处的法向量N1，i，再求出光线A1，i＋1与切线N1，i的交点坐标，近似为Pi＋1点，迭代后得到S1面上各采样点的坐标。

图3 旋转对称折射式自由曲面迭代原理和仿真结果

根据二次曲面的等光程原理，当折射率n1＜n2时，折射面应为双曲面，当折射率n1＞n2时，折射面应为椭圆面，分别编程绘制两种情况下的二次曲面，与自由曲面进行对比，仿真结果分别如图3（b）和（c）所示，两种情况下的S1面与二次曲面均重合，该方法用于验证自由曲面编程的正确性。

案例2 设计一个自由曲面透镜，实现将点光源发出的圆对称高斯光束准直整形为均匀分布的圆光斑。

仿真设计思路为：自由曲面透镜的第2 个折射面S2上过Qi的切线与第i＋1 条折射光线A2，i＋1的交点可近似为Qi＋1点，出射光束为准直光线A3，i＝［0，1］，如图4（a）所示。假设入射面S0上光强为高斯分布，目标平面S3上为圆形均匀光斑，将入射面S0和目标面S3按等光通量进行网格划分，由于是旋转对称系统，沿x轴方向将光斑半径划分为N份，在极坐标系下构成的N个圆环中每个圆环面积内光通量相等，得到S0和S3面上网络坐标。以边缘点P1和Q1为起点基于矢量折射定律求得S1上采样点Pi和Pi＋1，以及S2上Qi和Qi＋1之间的迭代关系，将S1和S2曲线绕y轴旋转360°构成自由曲面，三维仿真结果如图4（b）。该透镜将入射高斯光束准直整形为均匀圆光斑［见图4（c）］。

图4 旋转对称自由曲面透镜设计原理和仿真结果

2.2 旋转对称反射式自由曲面

望远镜系统是“光通信前沿实验”和“光学系统设计”课程的重点，光学天线通常采用反射式望远镜结构。

案例1 对旋转对称自由曲面反射面进行仿真，实现将点光源发出的发散光束准直为平行光束。

如图5（a）所示，光线由坐标原点发出，经S1面反射的光线平行于x轴，即A2，i＝［-1，0］，以S1在x轴上的中心点P1点为起点，编程计算得到S1面上各采样点的坐标，二维仿真结果如图5（b）所示。根据二次曲面的等光程原理，位于抛物面焦点处点光源发出的光线经抛物面反射后为平行光，绘制出该抛物面，与自由曲面S1重合，以验证编程的正确性。

图5 反射式自由曲面的迭代原理和仿真结果

案例2 传统卡塞格伦光学天线由于次镜中心反射造成能量损失，设计一个同轴反射式自由曲面光学天线［10］，主次镜半径分别为75 和15 mm，将入射高斯光束准直整形为半径为45 mm的空心高斯光束，避免能量损失以提高天线发射效率。

仿真设计思路为：光学天线的主次镜采用同轴结构，均为旋转对称自由曲面，可简化为二维结构，如图6（a）所示，以次镜S1在光轴上的中心点P1为起点，其反射光线反射至主镜S2的内边缘Q1点以避免能量损失。最后的出射光束平行于x轴，则A3，i＝［1，0］入射面S0上为高斯分布，目标面S3上为空心高斯分布，根据等光通量映射法得到S0和S3面上的网络坐标，基于矢量反射定律求得S1和S2面上采样点坐标，二维仿真结果如图6（b）所示。将S1和S2绕x轴旋转360°分别构成发射天线的次镜和主镜，三维仿真结果见图6（c）。该系统将入射高斯光束［见图6（d）］准直整形为半径为45 mm的空心高斯光束［见图6（e）］。

图6 同轴反射式自由曲面光学天线设计原理和仿真结果

2.3 非旋转对称折射式自由曲面

非旋转对称的光场调控必须通过非旋转对称的光学系统来实现。非旋转对称自由曲面系统仿真实验涉及复杂的三维空间点线面的计算，是光学系统设计等课程仿真教学的难点。

案例马路照明系统通常采用LED光源，在路面的投影光斑通常为圆形非均匀分布，如图7（a）所示，设计一个产生均匀辐照度矩形光斑［见图7（b）］的自由曲面透镜，以提高LED照明系统的光利用率。

图7 马路照明系统光斑示意图

仿真设计思路：假设出射光线为准直光束A3，i＝［0，0，1］，以中心光线为起点基于矢量折射定律计算透镜上下表面采样点Pi点和Qi点的法向量，假设下表面S1上采样点Pi（x1，i，y1，i，z1，i）处的法向量Ni，j＝［Nx，Ny，Nz］，其切平面方程为

求出相邻入射光线与切平面的交点，其中离Pi点最近的交点作为下一个采样点Pi＋1，结合表面S2迭代得到自由曲面透镜上下表面各采样点的坐标，三维仿真结果如图8（a）所示，其中光源入射面S0按空间立体角内等光通量进行网络划分［见图8（b）］，目标平面S3按等面积网络划分以实现矩形均匀辐照度分布［见图8（c）］。通过透镜上下表面S1和S2的面型来控制光源上各立体角内的光通量入射到目标平面上对应区域的网格内，实现将入射面上圆对称郎伯光源光强分布［见图8（d）］整形为目标面上的均匀矩形光强分布［见图8（e）］。

图8 产生均匀辐照度矩形光斑的非旋转对称自由曲面透镜仿真结果

2.4 非旋转对称反射式自由曲面

案例与共轴反射式光学系统相比，离轴反射式光学系统具有无中心遮挡、视场角大、体积小等优点。二次曲面或柱面离轴光学系统的整形结果通常成梨形光斑分布［11］，设计一个离轴反射式自由曲面光学天线，实现将半导体激光器出射的椭圆高斯光束准直整形为圆对称高斯光束。

仿真设计思路为：首先确定入射面内椭圆高斯分布和目标面内圆对称高斯分布的等光通量网格映射关系，然后设定各反射镜中心点坐标，以中心点为起点进行迭代得到各自由曲面。本案例中以两反射镜和三反射镜两种离轴自由曲面光学天线系统为参考，仿真结果如图9（a）和（b）所示。两种天线的入射面和目标平面的极坐标系下网格划分如图9（c）和（d）所示，入射面内椭圆高斯光强分布和目标平面上圆对称高斯光强分布仿真结果如图9（e）和（f）所示。

图9 离轴反射式自由曲面光学天线仿真结果

指导学生对4 类自由曲面系统进一步展开研究，对自由曲面进行多项式拟合、误差计算、像差分析等，完成课程设计论文的撰写。自由曲面仿真实验在“光通信前沿实验”和“光学系统设计”课程中取得显著的教学效果。本科生设计的双反射镜离轴发射光学天线，输出光束的束腰比从2.999 8 降低到1.000 3，最大发散角压缩到3.98 μrad，并以论文形式正式发表［11］。研究生设计的同轴发射光学天线，将入射高斯光束准直整形为空心高斯光束，有效提高光通信系统的传输效率，其论文在SCI收录期刊上发表［10］。